淺談三角函數的解題方法

楊進花

摘要：在高中數學研究中，對三角函數的掌握可以幫助學生分析問題，很好的深入掌握一些函數的性質和圖像，不同類型的三角函數用不同的方法進行求解，對這個主題進行研究和總結是非常有必要的，在高考數學中，三角函數的求解是占了很大的比例，在高中數學學習中學好三角函數對我們是非常重要的。

關鍵詞：三角函數;單調性;周期性;奇偶性;最值;對稱性

三角函數的學習涉及廣泛，需要學生用大量時間學習相關知識，所以學生在學習過程當中會感覺到有一定的難度，教師在教學過程中要啟發和引導學生學習類比，推廣，特殊化，整體代換等的數學思想，使學生學會數學思考與推理，不斷提高數學思維能力。從解析幾何的學習中，我們感受到代數方法（數及其運算）在研究幾何問題中的作用和有效性，通過本章的學習可以發現，“只變其形其質”的代數變換，這種變換是解決數學問題的重要手段，三角變換也是“只變其形其質”的，這種變換是解決問題的關鍵;所以在教學中我們要”觀察”，“思考”，“探究”相結合，教學是教師的教與學生的學的統一的過程，是師生交流，積極互動，共同發展的過程，一種全新的，主體性的教學模式應運而生，引起教師與學生之間知識上有意義上的討論，學生掌握知識，形成能力，溝通現實生活與數學學習，將抽象的數學問題與抽象定義之間的橋梁，誘發學生思維的積極性，引起學習更多的聯想，能容易調動學生已有的知識經驗，感受和興趣，學生不會感到枯燥，使學生自主參與知識獲得過程，問題的解決過程，讓學生的學習興趣大大的提高，同時也極大的促進了學生的學習能力。

一 三角函數的定義：

我們知道，實數集與角的集合之間可以建立一一對應關系，而一個確定的角又對應的唯一的正弦（余弦）值，由這個對應法則確定的函數叫正弦（余弦）函數，用y=sinx（y=cosx），他們的定義域都是實數集R。

二 三角函數的圖像

[1]三角函數的圖像可以通過實驗得到：

在高中數學教學中，三角函數的圖像是塑料瓶底部扎一個小孔做成一個漏抖，再掛在架子上，做成一個簡單的單擺，在正弦余弦的下方放一塊紙板，板的中間畫一條直線作為坐標系的橫坐標，把漏抖灌上細沙并拉離平衡位置，放手使它擺動，同時勻速拉動紙板，這樣就可以得到一個正余弦曲線。

[2]數學方法得到正弦余弦曲線

將單位圓均分成12等分，過圓上各分點作X軸的垂線，得到對應于 ... 。角的正弦線，相應地，再把x軸上從0到 的這一段分成12等分，把X軸的正弦線向右平移，使它的起點與X軸重合，再把這些正弦線向右平行，使它的起點與X軸的點重合，再把這些正弦線的終點用光滑的曲線連接起來，就可以得到正弦函數的圖像了。

[3]學生作正弦函數的圖像時常采用的五點作圖法。解題時常采用整體代換的思想。

三 三角函數的性質：

【周期性】由三角函數的圖像可知三角函數是一個周期函數，并且最小的正周期為2 ，計算公式為：

【定義域】正弦函數的定義域為R。

【單調性】正（余）弦函數的圖像在R上是一個連續的無限延展波浪形狀的數學圖像，y=sinx單調遞增區間為[ ，單調遞減區間為 ;y=cosx的單調遞增區間為 ，單調遞減區間為 。在求解正（余）弦函數的單調性時一定要保證表達式中 的系數為正，但系數為負數時要先提出一個系數來，變成y=-sinx，單調性與原來函數相反，余弦函數的單調性與原來函數相同。

【奇偶性】正弦函數為奇函數，圖像關于原點對稱，余弦函數為偶函數，圖像關于Y軸對稱。

【最值】正弦函數和余弦函數的圖像都夾在Y=1和Y=-1之間，對于y=sinx，在 時取得最大值為1，在 時取得最小值為-1;對于y=cosx，在 時取得最大值為1，在 時取得最小值為-1.

四 三角函數 的解析式

求解三角函數的解析式在高考中有重要的意義，主要有以下幾個方面：A等于函數的最大值減最小值的二分之一;求W前必須先求周期T，而一個簡諧運動中四段為一個周期，依據函數的圖像可以求解出T，即又因為 ，可以求出W的值， 要用五點法來進行求解，主要是設第一點： 第二點設 ，第三點設 ，第四點設 ;B等于函數的最大值加最小值的二分之一。

五：三角函數 中求解問題。

中求解周期，單調性，最值，對稱性，主要的方法就用整體代換，即將 看成一個整體，將 換成 型的形式，利用標準的 的圖像和性質來進行求解，但問題就來了，在具體求解的三角函數中，往往不會給你 的形式，是需要求轉換為標準形式，一般情況下利用以下幾種方法將轉換為標準形式，（1）利用和差角公式，（2）利用二倍角正弦公式，（3）利用正余弦函數的升角降冪公式，（4）利用三角恒等變換公式： ，利用以上四種方法將三角式子換成標準形式 ，就可以求解了。

總之：三角函數這章的知識面比較廣，問題具有一定的復雜性，需要記憶和理解知識多，而且還要靈活的運用涉及的公式，需要通過總結復習，對所學的理論進一步強化，應做好錯題記錄本和練習本，了解自身的不足，并對自身的不足進行反思，完善，找到適合自己的學習方法，做到舉一反三，養成反思的好習慣，最終實現高效學習。教師在教學過程中要幫助學生掌握正確而科學的學習方法，能讓他們終身受益，古人云：“授人以魚，不如授人以漁。”我要求學生根據相關的問題要主動的去查詢資料，然后去整理利用這些信息來設計恰當的學習活動，有助于學生掌握知識和能力要求。

參考文獻：

[1]彭雨韻，《關于高中學習的心得體會》

[2]章建躍，普通高中課程實驗教材人教版。

[3]《中學生報.教研周刊》知網查詢方法http：//cnki.net。