中值點存在性中輔助函數(shù)的構(gòu)造

李遠(yuǎn)梅

摘要：針對中值點存在性問題，對輔助函數(shù)的構(gòu)造進(jìn)行了一種實質(zhì)性的探索，求原函數(shù)的方法使學(xué)生更易理解掌握。

關(guān)鍵詞：中值點;輔助函數(shù);原函數(shù)

高等數(shù)學(xué)中有許多內(nèi)容涉及到中值點的存在性問題 ，這既是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個重點也是一個難點。輔助函數(shù)的構(gòu)造成為解決此問題的關(guān)鍵，特別是在利用中值定理證明各類含導(dǎo)數(shù)的等式及不等式中。本文就構(gòu)造輔助函數(shù)的實質(zhì)——尋找原函數(shù)，進(jìn)行分析、舉證說明。

一、分析

首先羅爾定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理中函數(shù)滿足的前兩個條件：閉區(qū)間上連續(xù)，開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)都一樣，結(jié)論都是至少存在一個中值點使得等式成立。唯一不同是條件三越來越弱。但拉格朗日中值定理，柯西中值定理結(jié)論可以通過移項變成與羅爾定理形式一樣的結(jié)論，即等式左邊是含導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，右邊為零。只需尋找使得羅爾定理條件三成立的輔助函數(shù)。又因為結(jié)論是。所以構(gòu)造的輔助函數(shù)實質(zhì)就是，即結(jié)論中等式左邊的式的原函數(shù)。

三、結(jié)論

通過上述例子發(fā)現(xiàn)構(gòu)造輔助函數(shù)時，往往需要將結(jié)論經(jīng)過等式變形才容易求得原函數(shù)。通常在不能直接求得原函數(shù)的情況下，需要將結(jié)論乘以或。為什么這樣做的主要原因是指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是其本身，冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)除常系數(shù)外就是降次。用求原函數(shù)的方法對解決此類含導(dǎo)數(shù)的中值點的存在性問題不失為一種簡便，有效的方法。

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