線性代數方法在高等數學解題中的應用簡析

韋艷剛

摘要：《高等數學》與《線性代數》均是高等院校中許多專業的必修課程，作為高等數學的一個重要分支，線性代數方法在高等數學解題中有著廣泛的應用，提高學生在高等數學解題中應用線性代數方法的能力，不僅能夠拓展學生的數學思維、加深學生對于高等數學知識的理解，而且還能有效培養學生形成良好的綜合數學應用能力、推動學生將線性代數知識和高等數學知識融會貫通，從而減小學生的學習難度，激發學生對于這兩門課程的求知和探索熱情。為此，有必要分析線性代數方法在高等數學解題中的具體應用領域和應用策略，并探討提高學生應用線性代數方法解決高等數學問題能力的措施，力求使學生發現線性代數與高等數學的相同之處，增強線性代數及高等數學教學實效性。

關鍵詞：線性代數方法;高等數學解題;應用

作為高等數學的一個重要分支，線性代數所解決的問題主要是線性之間的關系，其與高等數學之間存在著極其密切的聯系[1]。比如，線性代數中對于“線性”的定義是“未知變量的次數為一次”，在高等數學中也有類似定義，如一階線性微分方程等[2]。當前，高等院校在進行這兩門課程的教學時，采取的主要方法是分開授課，并不注重實現兩門課程的相互滲透，因而未能充分發揮線性代數方法對于提高學生解決高等數學實際問題能力的積極促進作用。針對這一狀況，本文主要結合具體實例，分析線性代數方法在高等數學解題中的具體應用領域及相關應用策略，并探討提高學生應用線性代數方法解決高等數學問題能力的措施。

一、線性代數方法在高等數學解題中的具體應用領域和應用策略

（一）應用線性代數方法解決高等數學中二次曲面方程問題

應用線性代數中的“正交變換”，可以有效解決高等數學中的二次曲面方程間題。二次曲面方程是一類三元二次方程，使用線性代數中而得正交變換方法，可以有效地將二次曲面方程化簡為標準形式，從而為判定二次曲面的形狀提供便利。線性代數的正交變換方法較高等數學中所給出的旋轉或平移化簡方法而言具有顯著優勢，因此可以應用正交變換來有效化簡二次曲面方程。例如，對于“將二次曲面方程3x+5y+5z+4xy-4xz-10yz=1化為標準方程”這道高等數學題，就可以先根據其特征根方程求出其特征根，再確定與其特征根相對應的曲面主方向X：Y：Z，然后應用正交變換求出這三各個主徑面的標準方程，再依據所得主徑面標準方程作坐標變換，分別解出x，y，z的值，然后將x，y，z代入原二次曲面方程，將原二次曲面方程進行化簡，從而判斷出原二次曲面方程所代表的圖形。

（二）應用線性代數方法解決高等數學中的極限問題

在高等數學的數列部分中有一類較難的求數列極限問題，應用線性代數方法可以方便快捷地解決數列的極限問題。比如，在求解“設m和m均大于0，a和a均為已知常數且a+a不等于零而數列{a}滿足a=ma +2，試求”這道高等數學中的數列極限題目時就可以使用線性代數方法來解答。

（三）應用線性代數方法解決高等數學中的極梢問題

應用線性代數中的“二次型定理”，結合最大特征值和最小特征值的具體定義，可以有效解決高等數學中的極值問題。具體做法是先根據二次型定理確定最大特征值和最小特征值，然后列出二次型矩陣，以此求函數的極值，或者求函數達到最大值和最小值時函數中各變量的具體取值。例如，求f（m，n）=m-n+3（m+y-3x）的極值這道高等數學函數極值題目時，就可以使用二次型定理及其推導定理來求出其駐點以及矩陣A，再根據矩陣類型判斷函數的極值取值。

二、提高學生應用線性代數方法解決高等數學問題能力的具體措施

（一）培養學生的抽象思維能力和逆向思維能力

要想學生在高等數學解題過程中高效應用高等數學解題方法，教師就必須著力培養學生形成抽象思維能力和逆向思維能力[3]，只有這樣學生才能全面理解線性代數中的抽象概念和知識，比如向量組、矩陣、線性方程組等。同時，也只有當學生具備抽象思維能力和逆向思維能力之后，他們才能理解這些抽象概念之間的復雜關系，從而順利完成應用和解題。為此，教師應注意結合線性代數的相關知識創設問題情境，重視引導學生對所提出的問題進行獨立思考，比如“通過學習二次型定理在高等數學解題中的應用，你對二次型定理有了什么全新認知？”“通過使用線性代數方法求數列極限，你對于數列極限有了怎樣的全新體會？”等，讓學生從解題結果反思解題過程，有效培養學生思維。

（二）重視對經典高等數學題進行線性代數方法應用分析

在明確線性代數方法在高等數學中應用領域和應用策略后，教師就可以多選取一些經典例題，在課堂上引導學生一同對這些經典例題展開分析，探討其中所體現的數學思維和線性代數法應用思路。比如教師可以有針對性地選取二次曲面方程、數列極限和函數極值例題，在課堂上帶領學生一同從線性代數的角度出發對這些例題進行分析，比較線性代數方法和高等數學一般方法之間存在的不同，讓學生感受線性代數方法的優越性。此外，教師還需要有意識地多為學生布置這幾類高等數學題，增加學生實踐和應用線性代數方法解決高數問題的機會，促使學生在應用中全面把握這些高等數學題的線性代數解決方法。

（三）重視幫助學生建構線性代數和高等數學知識體系

學習遷移理論強調在整合現有知識的基礎上學習新知識并遷移應用舊知識，因此教師要重視幫助學生建構線性代數整體知識體系和高等數學整體知識體系，在此基礎上再實現線性代數知識和高等數學知識的銜接和轉換，讓學生更好地把握兩者之間的聯系和區別，從而在解決高等數學問題時拓展解題思路，不局限于某一特定方法，而嘗試不同的解題思路和解題方法。

三、結束語

總而言之，線性代數在高等數學解題中的主要應用領域是空間解析幾何中的二次曲面方程以及求函數極值、數列極限。為了提高學生應用線性代數方法解決高等數學問題的能力，教師應培養學生形成逆向思維和抽象思維能力，并多分析有代表性的經典高等數學題目，讓學生舉一反三、觸類旁通，同時重視幫助學生建構線性代數和高等數學知識體系，拓寬學生的解題思路。

參考文獻：

[1]向文，黃友霞.淺談《高等數學》與《線性代數》課程的相通性[J].教育教學論壇，2016（32）：196-197.

[2]吳建強.用“升階法”求解一類一階線性微分方程——兼談逆向思維能力的培養[J].高等數學研究，2016（3）：26-28.

[3]賴景東.高等數學解題采用線性代數方法的探討[J].數學大世界（下旬），2016（1）：39-40.