大端接圓柱桿的復(fù)合圓錐形變幅桿設(shè)計及應(yīng)用

靳濤，胡小平，于保華

（杭州電子科技大學(xué) 機械工程學(xué)院，杭州310018）

超聲切削加工系統(tǒng)一般包括超聲波發(fā)生器、換能器、變幅桿和加工刀具等［1-2］。由于換能器輸出振幅不能滿足刀具加工需要，需在換能器與加工刀具之間添加一種振幅放大機構(gòu)，即變幅桿［3］。

超聲變幅桿是超聲切削加工系統(tǒng)中的重要組成部件，其作用是把換能器輸出端的振動位移或速度振幅進行放大，此外，超聲變幅桿還可以作為機械阻抗變換器，在換能器和聲負(fù)載之間進行阻抗匹配，使超聲能量更有效地從換能器向負(fù)載傳輸［4-6］。根據(jù)需求的不同，變幅桿可分為單一型和復(fù)合型［7］。

變幅桿的振動特性理論分析，通常基于其波動方程，由邊值問題定解［8-9］。變幅桿的設(shè)計通常按照半波、空載考慮，實際應(yīng)用時再加以調(diào)整［10］。在高強度超聲應(yīng)用中，往往要求變幅桿末端具有較大的振動幅度，這就要求變幅桿的形狀因數(shù)φ和放大倍數(shù)Mp的值都盡可能大［11］。同時為了保證變幅桿能夠持續(xù)工作較長時間，變幅桿工作時應(yīng)具有較小的最大應(yīng)力。為了兼顧以上優(yōu)點，設(shè)計了一種新型復(fù)合變幅桿。

本文首先基于傳統(tǒng)的振動理論，設(shè)計一種1／2波長大端接圓柱桿的復(fù)合圓錐形變幅桿（簡稱為新型復(fù)合變幅桿）；然后借助有限元分析軟件驗證其理論公式的正確性，并且與單一型變幅桿以及小端接圓柱桿的復(fù)合圓錐形變幅桿的性能參數(shù)進行比較，利用有限元分析軟件對新型復(fù)合變幅桿進行優(yōu)化設(shè)計，并通過實驗驗證了其振動情況。

1 新型復(fù)合變幅桿的理論模型

圖1為新型復(fù)合變幅桿的示意圖，為了簡化模型，假設(shè)變幅桿由均勻、各向同性材料構(gòu)成。

圖1 新型復(fù)合變幅桿Fig.1 New compound horn

在簡諧共振的條件下，變幅桿縱向振動的波動方程為［12］

式中：S＝S（x）為變幅桿的橫截面積函數(shù)；ξ＝ξ（x）為質(zhì)點位移函數(shù)；k＝ω／c，k為圓波數(shù)，ω為圓頻率，c為縱波在變幅桿中的傳播速度。

設(shè)Ⅰ段的末端為坐標(biāo)原點，則各段的面積函數(shù)表達式為

將每段變幅桿的面積函數(shù)代入波動方程式（1）中，并聯(lián)立式（3）～式（5）：

自由邊界條件為

變幅桿左端位移邊界條件為

兩段變幅桿之間的位移、應(yīng)變連續(xù)條件為

解得每段變幅桿的位移函數(shù)為

應(yīng)變分布的表達式為

1）頻率方程

由式（7）和邊界條件（3）可以推導(dǎo)出變幅桿的頻率方程為

由式（8）求出根（kl2）之后，可由式（9）求出l2長度：

式中：λ為波長。

2）位移節(jié)點x0

由式（6），當(dāng)x＝x0時ξ＝0得節(jié)點位移x0為

3）放大倍數(shù)Mp

4）輸入力阻抗Zi

可得

5）形狀因數(shù)φ

當(dāng)不滿足條件時，則Ⅱ段沒有應(yīng)變極大點，應(yīng)變最大點在xm＝l2處，則φ＝1。

2 變幅桿的動力學(xué)分析

利用ANSYSWorkbench有限元分析軟件對所設(shè)計的新型復(fù)合變幅桿進行動力學(xué)分析，通過比較各項參數(shù)，驗證理論公式的正確性。

2.1 理論數(shù)據(jù)計算

在變幅桿設(shè)計中，需要進行大量的數(shù)學(xué)計算，其中包括求解超越方程。這些計算很難用手工精確和快速的進行，這就需要借助MATLAB軟件計算。

由頻率方程可知，變幅桿的各項參數(shù)不僅和面積系數(shù)N有關(guān)還與Ⅰ段l1有關(guān)。

分別假設(shè)Ⅰ段長度l1＝31.25mm以及面積系數(shù)N＝3.5，變幅桿工作時的諧振頻率FREQ＝20 000 Hz，通過式（8）求得不同的面積系數(shù)N時圓錐桿的長度l2以及不同的Ⅰ段長度l1時圓錐桿的長度l2，然后由式（11）、式（13）和式（14）分別求得相應(yīng)的放大倍數(shù)Mp、形狀因數(shù)φ和應(yīng)變極大點xm，結(jié)果如表1、表2所示。

2.2 動力學(xué)分析結(jié)果與理論數(shù)據(jù)比較

由于變幅桿工作過程中一直處在高頻的振動狀態(tài)，因此所選材料必須具有一定的強度和韌性［13］。試驗選用性能優(yōu)良的00Cr17Ni14Mo2材料來制作變幅桿，材料參數(shù)如表3所示。

利用CAD軟件對變幅桿建模，導(dǎo)入ANSYS Workbench軟件中，對變幅桿進行模態(tài)分析，提取各階模態(tài)，選取縱振情況下的諧振頻率。在模態(tài)分析的基礎(chǔ)上，選用Harmonic Response模塊對變幅桿進行諧響應(yīng)分析，法蘭的位移為零，在變幅桿大端xy平面施加0.04mm的位移載荷，得到變幅桿的放大倍數(shù)Mp、應(yīng)變極大點xm和最大應(yīng)力σmax。

表1 N對變幅桿性能參數(shù)的影響Tab le 1 E ffect of N on perform ance param eters of horn

表2 l1 對變幅桿性能參數(shù)的影響Tab le 2 E ffect of l1 on perform ance param eters of horn

表3 00Cr17Ni14M o2材料參數(shù)Table 3 00Cr17Ni14M o2 m aterial param eters

對表1、表2不同結(jié)構(gòu)參數(shù)的變幅桿進行動力學(xué)分析，結(jié)果如表4、表5所示。

表4 N對動力學(xué)分析的影響Table 4 Effect of N on kinetic analysis

表5 l1 對動力學(xué)分析的影響Tab le 5 E ffect of l1 on k inetic analysis

比較表1和表4求解的結(jié)果，Ⅰ段長度l1保持不變時，諧振頻率FREQ、放大倍數(shù)Mp和應(yīng)變極大點xm的相對誤差如表6所示。

比較表2和表5的求解的結(jié)果，面積系數(shù)N保持不變時，諧振頻率FREQ、放大倍數(shù)Mp和應(yīng)變極大點xm的相對誤差如表7所示。

由表6、表7分析可知，解析法計算的結(jié)果與有限元分析的結(jié)果基本吻合，諧振頻率FREQ的相對誤差最大為2.59% ＜5%，放大倍數(shù)Mp的相對誤差最大為4.59% ＜5%，應(yīng)變極大點xm的相對誤差最大為4.29% ＜5%。因此，在可允許的范圍內(nèi)，驗證了理論公式的正確性。

表6 N對相對誤差的影響Tab le 6 Effect of N on relative error

表7 l1 對相對誤差的影響Tab le 7 Effect of l1 on relative error

3 變幅桿性能參數(shù)和最大應(yīng)力對比

3.1 變幅桿的性能參數(shù)對比

以放大倍數(shù)Mp和形狀因數(shù)φ作為關(guān)鍵參數(shù)，與單一型變幅桿以及小端接圓柱桿的復(fù)合圓錐形變幅桿進行比較，結(jié)果如圖2所示。

圖2 各類變幅桿性能參數(shù)對比Fig.2 Comparison of performance parameters of various horns

由圖2可知，隨著面積系數(shù)的增大，小端接圓柱桿的復(fù)合圓錐形變幅桿的放大倍數(shù)增大且增大速率最快，但是形狀因數(shù)明顯小于其他3種型號的變幅桿且處于較低的水平。而新型復(fù)合變幅桿的放大倍數(shù)也隨著面積系數(shù)的增大而增大，一直大于圓錐形變幅桿放大倍數(shù)，與指數(shù)形變幅桿接近，并且形狀因數(shù)一直大于其他3種類型的變幅桿。新型復(fù)合圓錐形變幅桿兩者兼顧，變幅桿末端能達到較大的振幅，因此設(shè)計的新型復(fù)合變幅桿綜合性能最優(yōu)。

3.2 變幅桿的最大應(yīng)力對比

根據(jù)材料的疲勞-壽命曲線可知，材料的性能參數(shù)相同時，變幅桿工作時的最大應(yīng)力直接影響到變幅桿的壽命，為了保證變幅桿能夠持續(xù)工作較長時間，具有較長的使用壽命，所以在設(shè)計變幅桿時除了要滿足振幅的設(shè)計要求以外，還要重點考慮變幅桿的最大應(yīng)力［14］。4種變幅桿的最大應(yīng)力對比如圖3所示。

由圖3可以看出，隨著面積系數(shù)的增大，各類變幅桿的最大應(yīng)力都會增大。但明顯可以看出，小端接圓柱桿的復(fù)合圓錐形變幅桿的最大應(yīng)力隨面積系數(shù)增大將快速增大，在面積系數(shù)大于1.5后明顯大于其他3種變幅桿的最大應(yīng)力，新型復(fù)合圓錐形變幅桿和圓錐形變幅桿的最大應(yīng)力增加速度最為緩慢且一直處于較低的水平，符合設(shè)計的需求。

圖3 各類變幅桿最大應(yīng)力對比Fig.3 Comparison ofmaximum stress of various horns

綜合比較分析可知，新型復(fù)合變幅桿具有更好的綜合性能和更小的最大應(yīng)力，所以新型復(fù)合變幅桿的結(jié)構(gòu)更優(yōu)良。

4 新型復(fù)合變幅桿的實際應(yīng)用

4.1 變幅桿的尺寸設(shè)計

為了降低換能器、刀具以及變幅桿大小端結(jié)合處的能量損耗，要求變幅桿大端直徑D1等于換能器輸出端直徑、小端直徑D2等于刀座直徑［15］。在實際設(shè)計中，對于20 kHz的超聲振動切削系統(tǒng)，根據(jù)選定的換能器型號，變幅桿的面積系數(shù)要求為N＝3.5，變幅桿大端直徑D1＝56 mm，小端直徑D2＝16mm。同時為了保證刀具的輸出振幅滿足要求，變幅桿的放大倍數(shù)Mp≥3。

根據(jù)表2可知，當(dāng)面積系數(shù)N＝3.5時Ⅰ段長度滿足條件15.14mm＜l1＜31.25mm，變幅桿的放大倍數(shù)可以達到Mp≥3，滿足振幅的需要。當(dāng)圓柱桿長度l1＝31.25mm時，最大應(yīng)力較小且形狀因數(shù)φ較好。所以，新型復(fù)合變幅桿的尺寸初步設(shè)計參數(shù)如表8所示。

由于變幅桿的大端面與換能器螺紋連接，變幅桿的小端面與刀具螺紋連接，所以需要在變幅桿的大端面和小端面各加工一個螺紋孔。

根據(jù)變幅桿設(shè)計的等效質(zhì)量塊法可知，為了抵消螺紋孔的影響，可以在變幅桿的小端面處沿軸向正方向增加一段短圓柱l3。

表8 新型復(fù)合變幅桿參數(shù)Table 8 New com posite horn param eters

固定大端直徑D1、小端直徑D2，以最大應(yīng)力為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，定義設(shè)計變量l1、l2、l3，定義頻率范圍為19 000Hz≤FREQ≤21000Hz，在保證放大倍數(shù)Mp≥3的條件下，進行變幅桿優(yōu)化設(shè)計分析，優(yōu)化后的變幅桿的有限元分析結(jié)果如圖4所示，得到優(yōu)化后的尺寸如表9所示。

表9 變幅桿優(yōu)化設(shè)計結(jié)果Tab le 9 Resu lts of horn design op tim ization

4.2 變幅桿的性能測試

根據(jù)優(yōu)化設(shè)計結(jié)果，加工制作變幅桿，如圖5所示。

圖5 變幅桿實物Fig.5 Photo of horn

采用北京邦聯(lián)時代電子科技有線公司PV70A的阻抗分析儀對換能器和變幅桿進行阻抗分析，如圖6所示。由圖6可知，變幅桿的導(dǎo)納圓圓度較好，電導(dǎo)曲線正常。振動系統(tǒng)的機械品質(zhì)因數(shù)較高，即系統(tǒng)的電聲轉(zhuǎn)化效率高，說明所設(shè)計變幅桿的尺寸及其結(jié)構(gòu)都十分合理。變幅桿的實測頻率20013Hz與理論設(shè)計頻率20 000 Hz的誤差在1%以內(nèi)，進一步驗證理論公式的正確性。

圖6 阻抗分析結(jié)果Fig.6 Result of impedance analysis

選用型號HK-008W 的激光位移傳感器對換能器和變幅桿的輸出端進行振幅測試，在150V驅(qū)動電壓的激勵下，測量換能器與變幅桿組件的輸出振幅，卸載變幅桿后同樣在150 V驅(qū)動電壓的激勵下，測量換能器的輸出振幅，振幅測試的結(jié)果如圖7所示。由圖7可知：超聲變幅桿系統(tǒng)振動狀態(tài)穩(wěn)定，實測變幅桿穩(wěn)定輸出振幅峰峰值為40μm，換能器的輸出振幅峰峰值為13μm，變幅桿的放大倍數(shù)Mp＝3.08，與理論計算結(jié)果基本吻合，證明了理論公式的正確性。

圖7 振幅測試結(jié)果Fig.7 Results of amplitude test

新型復(fù)合變幅桿的理論設(shè)計參數(shù)、有限元分析結(jié)果以及實測結(jié)果存在一定的誤差。這主要由3方面因數(shù)造成：①理論計算時未考慮變幅桿首尾端連接螺紋孔以及窄端接修整桿l3的存在；②實驗測量的是整個聲學(xué)系統(tǒng)的諧振頻率，但是理論設(shè)計和有限元分析時未考慮換能器的影響；③未能同時測量換能器與變幅桿的輸出振幅，變幅桿作為純阻負(fù)載對實驗結(jié)果造成一定影響，所以實際測得的振幅放大倍數(shù)存在誤差。

5 結(jié) 論

各種傳統(tǒng)形狀變幅桿各具有其優(yōu)點，但是都不是最理想的：圓錐形和指數(shù)形的變幅桿的振幅放大倍數(shù)較低，小端接圓柱桿的復(fù)合圓錐形變幅桿雖然具有較大的振幅放大倍數(shù)，但它的形狀因數(shù)較小以及工作時具有很大的最大應(yīng)力。因此采用了解析法設(shè)計了一種既能滿足振幅條件，工作時最大應(yīng)力較小的新型復(fù)合變幅桿。借助有限元分析軟件對其進行模態(tài)和諧響應(yīng)分析，得到變幅桿的諧振頻率、放大倍數(shù)及應(yīng)力極大點位置，與理論值基本吻合。加工和測試優(yōu)化設(shè)計后的新型復(fù)合變幅桿，實測結(jié)果與理論設(shè)計參數(shù)十分接近，進一步驗證了理論公式的正確性。