求數列通項公式的常用方法探討

馮淑萍

摘??要：在高中數學必修課程中數列屬于重要課程內容，在做數列題時數列通項公式求解屬于基礎。此次研究主要是探討分析了求數列通項公式的常用方法，希望能夠為教師教學提供參考作用。

關鍵詞：數列;通項公式;常用方法

在高中數學課程中數列屬于必考內容內容，近些年難度有所下降，屬中檔以下題目。數列的通項求解是數列知識的重要內容，也是考查數列知識的重要形式。數列能夠培養學生的邏輯思維能力和觀察理解能力。在高考中也多次考察了數列知識。數列知識中的核心內容之一就是通項公式，與函數解析式的作用類似。在得知數列通項公式之后就能夠計算出數列中任一項以及前n項之和，得出數列通項公式是求解數列問題的關鍵步驟。

1、觀察法

該種方法主要是對數列特征進行觀察，尋找出各項共同構成規律，分析各項數列的關系結構以及內在聯系，這樣能夠歸納出數列通項公式，之后通過數學歸納法進行驗證。

例如下列題目;假設，若b=1，求解及數列的通項公式。

解：從題意可得

所以可以猜想，之后應用數學歸納法證明上式計算正確。

2、定義法

該種求解方法主要是直接應用等比數列或等差數列的基本定義求解通項的方法，定義法適用于已知數列類型的題目。

例：已知等差數列滿足，（1）求解的通項公式;（2）設等比數列滿足，問與數列的第幾項相等。

解：（1）設等比數列的公差為d，因為，所以d=2，有因為，所以，故，所以（n=1，2……）

（2）設等比數列的公比為q，因為，所以，所以，由，得到n=63，所以與數列的第63項相等。

3、公式法

如果已知數列前n項和與的關系，求數列的通項可用公式求解。

例：設數列的前n項之和為，已知，求數列的通項公式。

解：由可得，當n=1時，，當時，。而，所以。

4、累加法

若在已知數列中相鄰兩項存在：的關系，可用“累加法”求通項. 先給遞推式中的從2開始賦值，一直到，一共得到個式子，再把這個式子左右兩邊對應相加化簡，即得到數列的通項.

例：??若滿足?，并且，那么數列的前10項總和為____。

解：?從題意能夠得出=（）+（）+…+（）+ =n+（n-1）+…+2+1= ，所以= =。所以， ?= + +…+ = = ，所以= 。

5、累乘法

在已知數列中相鄰兩項存在：的關系，可用“累乘法”求通項. 先給遞推式中的從2開始賦值，一直到，一共得到個式子，再把這個式子左右兩邊對應相乘化簡，即得到數列的通項.

例：已知數列滿足，求的通項公式。

解：由條件可知=，在上式中n依次取值1，2，3，…，（n-1），得到n-1個等式累乘之，即=，即，有因為，所以。

6、構造法

第一，如果遞推公式為=（在該式中p、q都屬于常數，并且p，q，p-1不等于0），一般情況下，該種遞推公式的解題步驟就是先將原遞推公式轉化為-t=p（-t） ，其中t=之后通過換元法將其轉化為等比數列，之后再進行求解。比如2014年新課標全國卷Ⅱ中關于數列通項公式的題目。

例：已知數列{}滿足=1，=3+1，證明{+}是等比數列，并且計算出{}的通項公式。

解：由于=3+1能夠得出+=3（+），又因為+=，所以{+?}是首項為，公比為3的等比數列，所以+ =×3n-1= ，所以數列{}的通項公式為=。

第二，如果遞推公式為=p+kn+b（在上式中，p、k、b均為常數，并且pk不等于0）時，一般情況下，解題思路就是將原遞推公式轉化為+x（n+1）+y=p（+xn+y），其中x、y的值是由方程給出，比如2007年天津市文科數學關于數列通項公式的題目。

例：在數列{}中，=2，=4-3n+1，求解數列{}的通項。

解：由=4 -3n+1能夠得出-（n+1）=4（-n），又因為-1=1，所以數列{-n}是首項為1，公比為4的等比數列，所以–n=4n-1，即=4n-1+n。

第三，如果遞推公式為=p+cn（在該式中p、c均屬于常數，并且pc不等于0）時，一般情況下，解題思路為將原遞推公式轉化為=·+。第一種情況：如果p=c，那么 ?-=，此時數列{}是以為首項，公差為的等差數列，那么=+（n-1）·，即=（n+-1）cn-1。第二種情況：如果p不等于c，那么可將原式轉化為-t=（-t），在該式中t=，此時能夠求解。

參考文獻：

[1]?李萍，張孝梅.多題歸一在求數列通項公式中的運用與拓展——以形如α_（n+1）=pα_n+f（n）的遞推公式為例[J].延邊教育學院學報，2016，30（03）：127-129.

[2]?劉鐵龍.利用函數思想解釋數列通項公式求法——以《一類數列通項公式的求法》一課教學為例[J].延邊教育學院學報，2015，29（02）：120-122.

（作者單位：云南省曲靖市第一中學）