一道期末考試題引發(fā)的思考

李紅

[摘? 要：本文初探了重積分部分如何按照結(jié)構(gòu)性教學(xué)原則實(shí)施教學(xué)方案，完善和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提高教學(xué)的效率和學(xué)生學(xué)習(xí)的效率。

關(guān)鍵詞：結(jié)構(gòu)性原則;重積分;知識(shí)結(jié)構(gòu);思維結(jié)構(gòu)]

由于二重積分的計(jì)算是高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要環(huán)節(jié)，是相關(guān)學(xué)科學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)計(jì)算，因此在這次我校高等數(shù)學(xué)A（二）期末考試中我們出了一道二重積分直角坐標(biāo)計(jì)算的填空題，出了一道大題。出題者本意是大題考學(xué)生極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算以及二重積分的幾何意義，但是大題解答真的出乎我們的想象，學(xué)生給出了直角坐標(biāo)計(jì)算、極坐標(biāo)計(jì)算、利用質(zhì)心計(jì)算、變量代換計(jì)算和幾何意義加極坐標(biāo)計(jì)算五種方法，充分展現(xiàn)了學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)新意識(shí)，同時(shí)也展現(xiàn)了我們重積分計(jì)算結(jié)構(gòu)性教學(xué)的成果。

數(shù)學(xué)教學(xué)的結(jié)構(gòu)性原則是從數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)和學(xué)生原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)出發(fā)設(shè)計(jì)和組織教學(xué)，促使學(xué)生從整體上把握數(shù)學(xué)的觀念和方法，完善和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提高教學(xué)的效率和學(xué)生學(xué)習(xí)的效率。我們?cè)谥胤e分部分的教學(xué)上按照結(jié)構(gòu)性教學(xué)原則制定了如下教學(xué)方案。

一、突出知識(shí)結(jié)構(gòu)，促進(jìn)對(duì)知識(shí)的理解和鞏固

格式塔心理學(xué)派認(rèn)為人對(duì)事物的認(rèn)識(shí)是一個(gè)“整體——局部——整體”的過程。因此，在多元函數(shù)重積分的教學(xué)之初，我們簡(jiǎn)略地將這部分內(nèi)容結(jié)構(gòu)框圖呈現(xiàn)在學(xué)生眼前，讓學(xué)生初步地直觀地了解到該單元的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系。增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)這部分知識(shí)的目的性和自覺性，形成初步的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而對(duì)以后所學(xué)知識(shí)進(jìn)行歸類、同化，促進(jìn)對(duì)知識(shí)的吸收理解和鞏固，但是結(jié)構(gòu)圖一定要突出數(shù)學(xué)知識(shí)的整體性和系統(tǒng)性，教師有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生去把握數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展的脈絡(luò)，去揭示數(shù)學(xué)基本概念、基本原理及基本方法之間的內(nèi)在邏輯聯(lián)系。促成學(xué)生對(duì)知識(shí)結(jié)構(gòu)的掌握和新認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成。

二、站在結(jié)構(gòu)與整體的高度組織教學(xué)

數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容不是零碎知識(shí)的簡(jiǎn)單組合，而是完整的、系統(tǒng)的有著嚴(yán)密邏輯聯(lián)系的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)。傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)總是把一個(gè)知識(shí)單元的完整結(jié)構(gòu)劃分為一個(gè)又一個(gè)的知識(shí)片斷，這樣不利于對(duì)知識(shí)結(jié)構(gòu)的掌握。在重積分教學(xué)中，我們重視知識(shí)間的聯(lián)系，貫徹結(jié)構(gòu)性原則。

1.從概念上調(diào)整學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)

2.從基本計(jì)算的方法上突出知識(shí)結(jié)構(gòu)的聯(lián)系

重積分與定積分思想一致，二者計(jì)算上一定既有區(qū)別又存在必然聯(lián)系。二重積分被積函數(shù)為二元函數(shù)，積分區(qū)域是二維區(qū)域，故二重積分計(jì)算必須把積分域降維轉(zhuǎn)化為兩個(gè)定積分（即二次積分）才能實(shí)現(xiàn)。例如：

三重積分被積函數(shù)為三元函數(shù)，積分區(qū)域是三維區(qū)域，三重積分計(jì)算必須把積分域降維轉(zhuǎn)化為先一后二或先二后一，從而轉(zhuǎn)化為三個(gè)定積分（三次積分）才能實(shí)現(xiàn)。例如：

如果教師在基本計(jì)算授課過程中清楚地傳授了這種降維的思想，學(xué)生不僅能體會(huì)到計(jì)算的樂趣，還能系統(tǒng)構(gòu)建起重積分的計(jì)算方法，提高學(xué)習(xí)效率。

三、計(jì)算技巧促進(jìn)學(xué)生思維結(jié)構(gòu)的完善

知識(shí)更新周期越來越短，每個(gè)人都需要終身學(xué)習(xí)。要具備這種高效學(xué)習(xí)能力，學(xué)生必須具有完善的思維結(jié)構(gòu)。在掌握基本計(jì)算的基礎(chǔ)上，技巧題是訓(xùn)練發(fā)散與收斂性思維的一劑良方。例如我們期終試題：

學(xué)生作出積分域，可以按照基本計(jì)算的方法選擇直角坐標(biāo)或極坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算過程有些繁瑣，但還是能算出正確結(jié)果。

學(xué)生根據(jù)已有的知識(shí)完成一些開放型題目，在做題過程中不斷發(fā)現(xiàn)新方法，通過各種方法的對(duì)比，不僅加深學(xué)生對(duì)于方法的理解，更主要的是鍛煉學(xué)生的發(fā)散性思維和創(chuàng)造力，同時(shí)完善的思維結(jié)構(gòu)又進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)結(jié)構(gòu)的掌握。

參考文獻(xiàn)

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[2]王仲春等.數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)方法論[M].高等教育出版社，1989.