建立新變量的線性關系解決物理問題

朱新中

摘 要：一次函數圖像的知識屬于高中物理能力考查中的應用數學工具的能力范疇內。在解決相應問題時巧妙建立變量之間的線性關系并結合圖像靈活運用斜率、截距、面積等知識會使問題更加明了。

關鍵詞：物理量 函數關系 圖像

高考是選拔性的考試，是選拔具有學習能力的學生到大學繼續學習。物理學科能力考查體現在五大能力上，其中要求學生具有應用數學工具的能力解決物理問題。一次函數圖像的應用就屬于這個能力的范圍內。而一次函數圖像的斜率，截距，以及圖像與坐標軸圍成的面積在物理問題中也得到了很好的體現。一些問題中需要一個建立關系的過程，現在就通過一些實例簡單分析如何靈活建立變量之間的函數關系并結合圖像解決物理問題。

一、巧妙建立物理量之間函數關系簡化分析過程

一般情況下建立物理量之間的函數關系時，作出圖像進行研究。有時作出的圖像不易分析如雙曲線，這個時候我們可以變換一下坐標軸的物理量把圖像變為線性關系再去分析，如加速度與質量的關系。[1]

例1、一只螞蟻離開巢穴的速度和距離成反比，已知開始距離巢穴d1，速度為v1，請問螞蟻爬到d2（d2>d1）處需要的時間？

圖1

分析此問題，這個運動既不是勻速運動，也不是勻變速運動。求這段時間學生會無從下手。深入思考，發現題目中有個速度與距離成反比，那么此問題可以借助圖像來幫助分析。如果直接作出v與d的圖像反比例曲線我們解決起來非常困難。這個時候建立新的變量之間的關系，把函數進行一個變換。由v=k/d 到1/v=d/k 。再次建立圖像就是如圖1所示的線性關系。這個圖像的與坐標軸圍成的面積的意義為d·1/v 此式子的含義為時間，所以圖中陰影部分面積即為題目所求時間t=（d2/2-d1/2）（1/v1+d2/d1d2）。

二、根據已知圖像尋找物理量的函數關系利用斜率截距分析問題

如果一個物體做勻變速直線運動，告訴了其運動位移與時間的比值x/t隨運動時間t的關系如圖所示，那么處理時可以把x=v0t+at2/2變換成圖像中橫縱坐標之間的函數關系式即x/t=v0t+at2/2 ，然后結合圖像得斜率為a/2以及截距為初速度。這樣就可以更容易的去解決問題。

圖2

利用上面解決問題的思想，就可以解決很多類似的問題。特別在電學實驗中出現此類問題時，抓住已給圖像的橫縱坐標，根據已有規律以及式子嘗試建立橫縱坐標物理量之間的函數關系。結合圖像的斜率以及截距去解決問題。

例2、某同學準備利用下列器材測量干電池的電動勢和內阻。

A.待測干電池兩節，每節電池電動勢約為1.5 V，內阻為幾歐姆

B.直流電壓表V1、V2，量程均為3 V，內阻約為3 kΩ

C.定值電阻R0

D.滑動變阻器R，最大阻值為Rm E.導線和開關

設計電路如圖3所示：

圖3

圖4

實驗中移動滑動變阻器觸頭，讀出電壓表V1和V2的多組數據U1、U2，描繪出U1-U2圖像如圖4所示，圖中直線斜率為k，在橫軸上的截距為a，則兩節干電池的總電動勢E=________，總內阻r=________.（用k、a、R0表示）

分析：由閉合電路歐姆定律可知E=U2+（U2-U1）r/R0，由于圖像坐標軸為U1、U2 ，處理變形得這兩個量的函數關系U1=（R0+r）·U2/r-R0E/r，結合U1--U2圖像可知（R0+r）/r=k，解得r=R0/（k-1）；由（R0+r）·a/r=R0E/r，解得E=ka/（k-1）。

由以上所述，靈活變換物理量建立新的函數關系，結合圖像解決問題，會給學生帶來極大的方便。也會給學生帶來一種分析問題的思維。未給出圖像的問題，可以分析各物理量之間的關系適當選擇變量建立出一次函數關系。已給圖像的問題，以橫縱坐標量為新的變量，建立函數關系，應用圖像知識解決問題。

【參考文獻】

[1] 張大昌 《普通高中課程標準實驗教科書 物理必修1》人民教育出版社 第72頁

[2] 肖德好 《全品高考第二輪專題作業手冊》 陽光出版社 第29頁