通過數學實驗認識圓周角定理及其推論

鄭容

摘? 要：教師使用《幾何畫板》中的動態(tài)功能和度量功能，通過演示，讓學生在動態(tài)環(huán)境中觀察和發(fā)現圓周角和圓心角的關系，即在某些數量變化的過程中讓學生觀察不變的數量關系，在演示中，教師進行了如下操作①圓周角的頂點在圓周上運動②改變弧的大?、鄹淖儓A的大小，不僅讓學生獲得最直接的觀察思考，還從更廣泛的角度去驗證學生的猜想，幫助學生更好地理解圓周角定理及相關推論，針對該班學生基礎較薄弱的實際，借助《幾何畫板》讓孩子更直觀的理解圖形的生成，不僅方便而且科學嚴謹，具有充分的說服力。

關鍵詞：幾何畫板，圓周角定理，探索

在初三數學中，不少學生對《圓》一章的學習感到畏懼，面對抽象變化的圖形和定理感到含糊不解，因此課堂上我們老師想到了用《幾何畫板》模擬圖形的變化，通過數學實驗讓學生更好地認識圓周角定理及其推論

一、學習目標描述

1、了解圓周角的概念，通過畫圖、觀察、度量、歸納等方式探索發(fā)現“一條弧所對的圓周角與圓心角之間的關系”及其相關推論

2、能根據圓心與圓周角的位置關系對同弧所對的圓周角進行分類，理解證明圓周角定理需要分三種情況的必要性，以及證明該定理時，可以把圓心在圓周角的內部和外部兩種情況轉化成特殊情況（圓心在角的邊上）

3、結合圓周角定理的探索與證明的過程，進一步體會分類討論，化歸的思想方法

二、學習內容分析

1、學生要動手畫圓周角，在動手操作中體會圓心與圓周角的三種位置關系

2、學生以學習小組為單位，合作交流，先度量角的度數，再猜想，然后教師利用軟件在動態(tài)環(huán)境中驗證

3、從特殊位置關系入手，再將其他一般情形轉化為特殊情形

4、在學習中，要讓學生充分動手，能夠以畫圖、觀察、度量、歸納等方式發(fā)現相關的結論

5、在學習中，注重領悟數學中分類討論，化歸，由特殊到一般的思想

三、學生學情分析

學習本節(jié)課時，學生已經具備一定的邏輯推理能力，但對于一個幾何命題要分情況證明的經驗還很缺乏。部分學生符合語言的運用能力不足，學生有小組合作學習的經驗，課堂學習交流意識強

四、教學環(huán)節(jié)

環(huán)節(jié)1：學生閱讀課本，并觀察圖形，教師引導學生結合圖形理解圓周角的概念1、頂點在圓上2、角的兩邊都和圓相交，接著學生思考并回答練習中的問題，鞏固對圓周角的理解

環(huán)節(jié)2：

1、學生畫圖，并觀察圖中∠BAC和∠BOC的位置關系，找到它們的關聯：都對著弧BC，從而誘發(fā)對兩角度數關系的思考，對兩角進行度量，發(fā)現數量關系∠BAC=∠BOC

2、教師利用《幾何畫板》進一步拖拽點A在圓周上運動，和學生共同記下∠BCA和∠BOC變化的數據，用實驗驗證猜想

①圓周角的頂點在優(yōu)弧BC上運動

②改變弧的大小

③改變圓的大小

3、把猜想用文字敘述為：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半

環(huán)節(jié)3：

1、學生進一步畫圖：在圓上任意取弧BC，畫出圓心角∠BOC和圓周角∠BAC，教師同時提問：圓心與圓周角有幾種位置關系？

2、學生以小組為單位，交流并思考，得到圓心與圓周角的三種位置關系，并畫出來

①圓心圓周角的一邊上

②圓心在圓周角的內部

③圓心在圓周角的外部

3、教師提問：如何證明一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半？學生以小組為單位，結合三種位置的圖形，認識到先情形①是特殊情況，此時如圖，A、O、B三點在同一條直線上，利用圓內等腰三角形和外角性質，證明比較簡單，討論后，請學生板書出證明過程

4、教師提問：在②③種情況下，又如何證明猜想是正確的？學生思考交流，嘗試解決問題，教師可根據學生的情況提示：將情形②③轉化為①，并共同完成證明如下

由情形①的證明可得：

∠BAD=∠BOD，∠CAD=∠COD

∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=∠BOD+∠COD= （∠BOD+∠COD）= ∠BOC

學生再獨立完成③的證明，從而猜想是真命題，得到圓周角定理

5、教師引導學生總結證明過程

①在動點問題中運用分類討論

②研究數學問題可從特殊到一般，再將一般化為特殊情況，這種數學思想叫做化歸

③類比我們前面所學知識，進一步認識圖形中的數量關系

五、信息技術運用

1、在環(huán)節(jié)1中，學生在⊙O中，觀察圓周角∠C，運用《幾何畫板》的度量功能量出∠A的度數，用動畫功能使點C在圓周上自由的運動，同時觀察∠C的度數可能有什么變化，學生可以很快發(fā)現∠A的度數在一定條件下只有有兩個可能，如41°和139°，且它們相加正好等于180°，教師再引導學生以小組為單位討論歸納：是什么條件，可反復觀察圖形的生成，用相關的語言盡可能的描述，最后總結出：

①同弧所對的圓周角相等;

②同弦所對的圓周角相等或互補;

③圓內接四邊形的兩個對角的和為180°。

使用數學軟件模擬事物的變化，引起學生的興趣與積極性，并大大降低了原本數學問題探究上的難度，更重要的是，讓學生在事前獲得相關知識的情感體驗，先學后教，進一步發(fā)展學生的歸納思維和推理思維，符合本班學生的認知實際

2、環(huán)節(jié)2中，在1的基礎上連OB和OC，觀察圓心角∠BOC和∠A，，觀察兩角的度數變化①通過點A運動改變∠A的位置，但所對的弧不變;②點A的位置始終不變，改變弧BC的大小，觀察兩角之間的大小關系，最后從中獲取若干組數據進行對比歸納，學生從中學習科學研究事物變化的方法，猜想歸納，數學能力得到發(fā)展，更輕松的理解圓周角定理。

由上可以感受到老師對教材不再是照搬，而是根據學生知識的生成進行了改造與整合，打破了先有定理再有推論的一貫教學。

在本課中，教師使用數學軟件《幾何畫板》中的動態(tài)功能和度量功能，通過演示，讓學生在動態(tài)環(huán)境中觀察和發(fā)現圓周角和圓心角的關系，即在某些數量變化的過程中讓學生觀察不變的數量關系，在演示中，教師進行了如下操作①圓周角的頂點在圓周上運動②改變弧的大小③改變圓的大小，不僅讓學生獲得最直接的觀察思考，還從更廣泛的角度去驗證學生的猜想，幫助學生更好地理解圓周角定理及相關推論，針對該班學生基礎較薄弱的實際，借助《幾何畫板》讓孩子更直觀的理解圖形的生成，不僅方便而且科學嚴謹，具有充分的說服力。