利用圖形計(jì)算器，加強(qiáng)數(shù)學(xué)理解

高麗娟

一、問題的提出

在“互聯(lián)網(wǎng)+”時代，信息技術(shù)的廣泛應(yīng)用正在對數(shù)學(xué)教育產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，信息技術(shù)是學(xué)生學(xué)習(xí)和教師教學(xué)的重要輔助手段，為學(xué)習(xí)和教學(xué)提供了豐富的資源。因此，教師應(yīng)重視信息技術(shù)的運(yùn)用，優(yōu)化課堂教學(xué)，轉(zhuǎn)變教學(xué)和學(xué)習(xí)方式。《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》2017版在實(shí)施建議理指出“重視信息技術(shù)運(yùn)用，實(shí)現(xiàn)信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合”特別是利用信息技術(shù)，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)，有助于學(xué)生的學(xué)習(xí)。

《拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程》選自普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)》人教B版選修2-1，2.4節(jié).傳統(tǒng)的教學(xué)方法是：教師利用丁字尺在黑板上畫出拋物線，讓學(xué)生觀察運(yùn)動過程中的動點(diǎn)，定點(diǎn)，定直線，發(fā)現(xiàn)動點(diǎn)滿足的條件，給出拋物線的定義。這樣的教法雖然也完成了拋物線的定義的教學(xué)，但是對于對于為什么要研究這種曲線，如何從知識系統(tǒng)的角度理解這種曲線？如何保證動點(diǎn)到定點(diǎn)和定直線的距離相等，從而深刻理解拋物線？ 這些問題都不能解決。我嘗試?yán)脠D形計(jì)算器探究動點(diǎn)的軌跡及方程，有助于學(xué)生對于拋物線的數(shù)學(xué)理解。

二、教學(xué)實(shí)踐

中學(xué)階段，學(xué)生對于拋物線的認(rèn)識要經(jīng)歷兩次：第一次，在學(xué)習(xí)二次函數(shù)時，認(rèn)識到二次函數(shù)的圖象叫拋物線，是從形的角度認(rèn)識拋物線，并且只知道開口向上（或向下）拋物線。第二次是在圓錐曲線這一章里，作為一種特殊的二次曲線來學(xué)習(xí)，從滿足的動點(diǎn)的軌跡角度定義拋物線。這是從曲線與方程的角度認(rèn)識拋物線。同時，學(xué)生前面學(xué)習(xí)了橢圓和雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程，因此學(xué)習(xí)本節(jié)課的內(nèi)容，是對前面已經(jīng)學(xué)習(xí)的圓錐曲線內(nèi)容的復(fù)習(xí)與延續(xù)，可以幫助學(xué)生進(jìn)一步了解曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系，也可以再次體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用，同時，熟悉坐標(biāo)法在解決幾何問題時的應(yīng)用，能夠運(yùn)用平面解析幾何的思想解決一些簡單的實(shí)際問題，提升學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

活動1梳理知識、提出問題：

前面我們研究了平面上到兩個定點(diǎn)的距離的和或差是一個常數(shù)的動點(diǎn)的軌跡問題。

問題1：我們還研究過哪些類似的問題呢？

學(xué)生活動：回顧總結(jié)我們研究過點(diǎn)的軌跡問題，并進(jìn)行梳理.

教師活動：引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行梳理。

問題2：你還能提出哪些類似的問題？

明確本節(jié)課研究的問題：平面內(nèi)與一個定點(diǎn)和一條定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡，其方程是什么？

[設(shè)計(jì)意圖]：從數(shù)學(xué)角度引入，幫學(xué)生回顧研究過的點(diǎn)的軌跡問題，希望學(xué)生講過的內(nèi)容串成線，連成片，從系統(tǒng)的角度認(rèn)識數(shù)學(xué)知識。梳理時關(guān)注研究對象和動點(diǎn)特征，有利于激發(fā)學(xué)生的進(jìn)一步的思考，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力。

活動2 問題探究、關(guān)注本質(zhì)

問題3 請大家在平面上畫一個點(diǎn)F和一條定直線l（F?l），你能畫出找到與點(diǎn)F和定直線l（F?l）距離相等的點(diǎn)的軌跡嗎？

我們選擇四種特殊的位置關(guān)系來研究，即點(diǎn)在水平直線的上、下，點(diǎn)在垂直直線的左、右.

學(xué)生活動：按照上面四種圖形，把學(xué)生分成四組，可以利用圖形計(jì)算器進(jìn)行自主探究，小組交流合作，分組展示不同的作法及作圖的依據(jù)。

方案1：學(xué)生手畫，很容易找到第一個點(diǎn)，但其他點(diǎn)就不好操作了。

方案2：利用到雙軌跡，找交點(diǎn)法，用圖形計(jì)算器做圖，如圖：

方案3：將和點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到直線的距離.即：在直線l（F?l）上任取一點(diǎn)A，做AF的垂直平分線l1，過點(diǎn)A做直線垂直于l1，交l1于點(diǎn)B，追蹤點(diǎn)B的軌跡。

教師點(diǎn)評： 法1的同學(xué)能找到一個點(diǎn)，其他點(diǎn)不好找的情況下聯(lián)系我們已有經(jīng)驗(yàn);法2的同學(xué)想到了做橢圓和雙曲線的同心圓法，分別找到與定點(diǎn)和定直線的距離為定值的點(diǎn)的軌跡，然后找兩軌跡的交點(diǎn)即可;法3的同學(xué)聯(lián)系了到兩點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡，巧妙地利用了轉(zhuǎn)化.同時，我們也得到了四種開口方向不同的拋物線。

活動3：合理建系 探究方程

問題4 如圖，假設(shè)焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離為p（p>0）， 你能選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出拋物線的方程嗎？學(xué)生活動：先建系，再求方程，然后小組內(nèi)討論建系與方程的關(guān)系

學(xué)生建系方案：

由于前面的橢圓，雙曲線的體驗(yàn)，學(xué)生很容易推導(dǎo)出拋物線的方程.設(shè)計(jì)意圖：推導(dǎo)拋物線方程是學(xué)生體會不同建系方法對方程的影響的最好例子，因此，一定讓學(xué)生體會一下.

問題5 選擇哪種方案建系，得到標(biāo)準(zhǔn)方程呢？

學(xué)生討論：從方程的形式的簡潔，建系的對稱性等方面思考問題，從而確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px（p>0）。

三、課例教學(xué)反思

《拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程》是在學(xué)生學(xué)習(xí)了橢圓、雙曲線之后進(jìn)行的最后一種圓錐曲線的學(xué)習(xí)。因此在教學(xué)中我始終類比學(xué)習(xí)橢圓、雙曲線的方法，讓學(xué)生在自己的認(rèn)知基礎(chǔ)之上進(jìn)行自我知識建構(gòu)。

1.在梳理原有知識體系的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)問題和提出問題。

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在課程目標(biāo)中指出：通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得進(jìn)一步學(xué)習(xí)和未來發(fā)展所必須的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗(yàn)（簡稱“四基”），提高從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力 （簡稱“四基”）。因此，在本節(jié)課的第一環(huán)節(jié)-梳理知識、提出問題中，我首先讓學(xué)生梳理學(xué)過的軌跡問題，使學(xué)生對于這些軌跡有一個系統(tǒng)地把握，在梳理的過程中，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，并提出新的問題，從而引入本節(jié)課的課題。同時這些軌跡的形成對于新軌跡的探究有很大幫助，能進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化。

2.借助圖形計(jì)算器進(jìn)行探究數(shù)學(xué)活動，加強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解。

本節(jié)課中，設(shè)計(jì)了兩次探究活動。

探究一、平面內(nèi)與一個定點(diǎn)和一條定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡。

在這個探究活動中，學(xué)生首先明確與直線的位置關(guān)系，先研究什么樣的直線，因此確定四種位置關(guān)系，為后面的探究方程提供方便。接著要思考：如何保證動點(diǎn)到頂點(diǎn)與定直線的距離相等。由于有了橢圓和雙曲線的體驗(yàn)，大部分學(xué)生會想到：先分別找到與定點(diǎn)和定直線距離為同一定值的點(diǎn)的軌跡，然后找到兩個軌跡的交點(diǎn)，描出這些交點(diǎn)的軌跡極為所求。一部分學(xué)生會想到轉(zhuǎn)化，因?yàn)榈絻蓚€定點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)是連接這兩點(diǎn)的線段的垂直平分線，于是，將所求軌跡轉(zhuǎn)化為：直線上任意點(diǎn)與定點(diǎn)的構(gòu)成的線段的垂直平分線與過這一點(diǎn)且與定直線垂直的直線的交點(diǎn)的軌跡，這是將新的軌跡為轉(zhuǎn)為原有的軌跡問題來解決。在探究軌跡的過程中，學(xué)生首先要理解數(shù)學(xué)問題，然后依據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)，解決新的問題。

探究二、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

在這個探究活動中，學(xué)生將真正體驗(yàn)建立不同的坐標(biāo)系，得到不同形式的方程的過程。我把它分為兩段，先建系，再推導(dǎo)，并且體驗(yàn)不同的建系方法，得到不同形式的方程。學(xué)生通常會想到三種建系方式，得到三種形式的方程。在求拋物線的方程時，通過比較，感受標(biāo)準(zhǔn)方程的簡潔、對稱、和諧之美。

兩個探究活動，都注重學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，對數(shù)學(xué)問題的分析，并且基于學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)行問題解決。這樣的探究活動，也關(guān)注了學(xué)生數(shù)學(xué)抽象，邏輯推理，直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的的發(fā)展。