盜用行列式的性質簡單證明克拉默法則

秦鳳

摘要：對于所有的高等院校來說，只要學校開設了高等數學這門課，那么線性代數就是必須要學習的一塊內容，因此Cramer法則也就是一定要接觸的知識。而對于Cramer法則的證明，無論是數學專業學生用的高等代數還是非數學專業學生用的線性代數，其中給出的證明方法基本都是先證有解，然后證明解唯一。這種證明方法對于數學專業或者生源較好的一本、二本院校的學生來說可以接受，但是相對于生源較差的獨立院校的學生，讓他們掌握并理解這種證明方法就比較困難，故本文根據獨立學院學生的基礎情況給出一種用行列式的性質簡單說明克拉默法則的證明，以此讓獨立學院的學生更容易接受并理解應用Cramer法則。

關鍵詞：高等數學 獨立學院Cramer法則

一、教材的基本證明方法

我們知道無論是一本、二本院校還是獨立學院，只要學校開設了線性代數，那么克拉默法則也是必學的一塊內容，但是對于很多教材，比如數學專業的高等代數，普通文科、工科的線性代數，對于克拉默法則的證明基本都是這樣過程給出的。

定理：如果線性方程組

的系數矩陣，

的行列式

則線

性方程組（1）有解，并且解是唯一的，解可以通過系數表示為

此定理隱含了三層結論：一是此線性方程組是有解的;二是解是唯一的;三是唯一解是由上面的式子給出的。

一般教材的證明方法都是分成了兩步：

證明：1）把線性方程組（1）寫成

首先證明（3）是（1）的解。

把（3）代入第1個方程，左端為

因為

所以

由代數余子式與行列式的相關定理可得

這與第i個方程的右端是一樣的，故（3）確為方程組（1）的解。

2）設（C1，C2，Acn）是方程組（1）的一個解，于是有n個恒等式

（7）

為了證明

，取系數矩陣中第k列元素的代數余子式A1k，A2k，AAnk用它們分別乘以（7）中n個恒等式，有

把這n個恒等式加起來，即得

等式右端等于在行列式D按第k列的展開式中把aij分別換成bi（i=1，2，An）。因此，它等于把行列式D中第k列換成b1，b2，A，bn所得的行列式，也就是Dk。（8）式的左端，即

由行列式與代數余子式定理可得

所以

于是， （8）即為Dck=Dk，K=l，2，A，n 也即是

故若（c1，c2，Acn）是方程組（1）的一個解，則它必為

，因此線性方程組（1）最多有一組解。

二、用行列式的性質簡單證明Cramer法則

對于數學系的學生來說上面的證明方法是必要且必須掌握的，但是對非數學專業的學生尤其是獨立學院的學生，此證明過程對他們來說理解起來比較困難，而且非數學專業的學生對于定理更側重于應用，所以我們可以用下面簡單的證明方法來幫助學生理解該定理的內容及定理的正確性。

證明：設方程組（1）有解且設為x1，，x2，Axn，則有

同理

故原方程組（1）有唯一解。

由于獨立學院學生的整體數學基礎比較薄弱，對大部分同學來說，他們可以理解并應用前面學習過簡單的定理或性質，此處對克拉默法則的證明僅僅使用了前面章節剛學過的行列式的性質，沒有牽扯到其它關聯知識點，獨立學院的學生會感到這種證明方法讓他們很好理解，而且此證明過程也是對行列式性質的一種應用。因此，對數學基礎薄弱的學生來說，此證明方法即是對前文知識點的復習應用又可很輕松地學到新的知識點，可謂一舉兩得。

三、小結

本文結合獨立學院的實際情況，在教材已有的克拉默法則證明基礎上，給出了用行列式的性質簡單證明Cramer法則的過程，筆者認為，此證明方法對于獨立學院的學生更適用，且有利于他們理解行列式的性質和克拉默法則的意義，而且簡單的證明方法更能激起獨立學院學生的學習熱情，有助于他們對后續知識的學習。

參考文獻

[1]王萼芳，石生明.高等代數（第三版）[D].高等教育出版社，2009.

[2]李志林，涂慶偉王強，大學數學線性代數[D].江蘇大學出版社，2018.

[3]韓旭里，大學數學教程：線性代數（第三版）[D].科學出版社，2015.