萬物有波

馬慧元

傅立葉是誰

“傅立葉級數”，遠比傅立葉有名，不過法國多事之秋中的數學家傅立葉其人，也有不少故事。

傅立葉（Jean-Baptiste Joseph Fourier，1768-1830），出生于離巴黎不遠的小城歐塞爾（Auxerre）的一個裁縫之家。九歲成了孤兒之后，進入本篤會（Benedictines）修道院，又在本地的一所軍事學校繼續讀書，開始愛上了數學。他在教室里到處撿人家丟棄的蠟燭頭，晚上好接著鉆研數學。十三四歲的時候，他已經自學完了貝祖定理，成了校中的學霸，不要說數學，連歌唱都拿了獎，他的理想是憑成績進入軍事學校學工程。不過，這個快樂、敏捷的孩子十六歲之后患上了哮喘病，不得不花整整一年的時間休養。此外，軍事學校要求必須出身貴族才能繼續學習軍事工程，這樣，他被軍事學校狠狠地拒絕了，“哪怕他是第二個牛頓”，官員這樣說。

軍事學校的路子被堵死了，但二十出頭的傅立葉找到機會在歐塞爾的一所修道院里教數學。當時的法國修道院往往是教育、科研的場所，有些修道院在后來的法國大革命中被關閉，也有的因為擁有雄厚的教育實力而幸免于難。傅立葉所在的修道院就是這樣，平安度過了動亂期，只是他在這里并不開心。當時，在家長們的要求下，拉丁文已經漸漸讓位給數學，雖然是數學控，但傅立葉很不滿意學校放棄拉丁文，他終生都愛讀人文書籍。此外，他在寫給朋友的信中還不斷抱怨，本來是要獻身于研究和信仰，不料每天面對的都是雞毛蒜皮和種種摩擦。他每天的生活很有規律，但沒什么自己的生活。日日無書可讀，他曾經就用一本殘缺的蒙田來消磨時日。他在日記中寫道：“昨天是我二十一歲生日，牛頓和帕斯卡已經成就斐然的年紀。”

一七九二年，法國大革命處在高潮，人心惶惶，不過安靜的小城歐塞爾并沒有受到很大的影響。后來形勢突變，歐塞爾不再寧靜，傅立葉突然決定投身本地的政治，而此時過了九月，革命又進入恐怖時期。他萌生了退意，但為時已晚，很難抽身了。他被派到奧爾良執行任務，中間卷入了一些沖突，細節并沒有太多記錄，但他在日記中說：“絕對沒有違背大革命的原則。” 到底什么是大革命的原則呢？這即使在雅各賓派的核心之內也有異議。在王后和一些吉倫特派成員被送上斷頭臺之后的高壓環境里，傅立葉處境危險，幸好有人力保才沒有被當作敵人。此時人人自危，命如草芥，斷頭臺下前仆后繼。

而后傅立葉回到了歐塞爾，當上了歐塞爾革命委員會的頭領，擁有了那么一點點自保的特權。大革命爆發的這兩年里，近二十萬法國公民在《嫌疑犯法令》（Law Of Suspects）之下被捕，一萬七千多人被處死。一七九四年十月，傅立葉也被逮捕了，有人說他“不適合公職”。他被釋放后又被重新逮捕，罪名起源是在奧爾良的一次運動中，他站隊到無褲黨（Sans-culottes，又稱“無套褲漢”，原意指法國下層階級老百姓，也指大革命早期的激進主義者）那邊，被羅伯斯庇爾的人視為威脅。此時恐怖氣氛愈演愈烈，殺人如割韭菜，二十六歲的他，在死亡恐懼中度日如年。萬幸的是，幾天以后羅伯斯庇爾自己被送上了斷頭臺。消息抵達歐塞爾之后，包括傅立葉在內的許許多多身處危險的人都松了口氣。又煎熬了一個月，他才被釋放。

此時傅立葉雖然仍然有政治職務在身，但終于當上了歐塞爾學院的數學教授。不過，后來他被法國師范學院（那時還不叫高等師范學院）錄取，就來到了恐怖氣氛未除的巴黎。進了學校，傅立葉如魚得水，他遇到了拉普拉斯、拉格朗日、蒙日這些一流數學家。

在這里，他總算是遠離政治，并且恨不得把“革命”的過往從自己身上洗清了。可他畢竟是革命委員會的前主席，人家可沒忘記舊賬。有消息傳來，說因為恐怖時期跟權力相聯系的過往，他可能會被學校開除。不久，他果然再次被捕。他要求公審，并申明自己在歐塞爾任職期間，從未加害于人，從未允許和參與恐怖的屠殺;相反，他自己倒險些被極端的革命者送上斷頭臺。他救過不少無辜者，當然，不可避免地，也簽署過很多人的逮捕證。他申辯說，他們以為以我的位置，可以拯救所有人。諷刺的是，現在指控他的人，有一些屬于他支持的無褲黨，不久前傅立葉還因為他們而入獄。最終，他又被糊里糊涂地給放了出來。回學校教書的時候，中央公共工程學院（?cole centrale des travaux publics）已更名為巴黎綜合理工學院（?cole Polytechnique）。他自然繼續夾起尾巴做人，這位前雅各賓派熱血青年閉口不再提革命。

一七九八年，拿破侖將軍要出征埃及（并且有著“科學考察”的目的），征召了一批科學家、學者甚至藝術家，僅僅巴黎綜合理工學院就有不少人，傅立葉也作為數學家應征。士兵去了三萬人，一共出動十八艘船。順便說一下，混血的騎兵軍官托馬·亞歷山大·仲馬也在其中，他是貴族和黑奴的孩子，一生跌宕傳奇，而他的兒子，就是寫了《基度山伯爵》的大仲馬。

話說這開往埃及的海路極為漫長，拿破侖每每不暈船的時候，都會召人來談談科學問題，后來演變成一個“開羅學會”，傅立葉任秘書。旅途極為艱苦危險，一度與大陸斷了聯系。種種坎坷之中，拿破侖仍然定期跟學會的人見面。這個學會不僅是為推進關于埃及的研究，某種程度上也是拿破侖的智囊團，討論的問題從在當地釀啤酒到造風車，無所不包。科學家和學者對這種生活深感興奮，比如傅立葉聽到傳聞說要撤離開羅的時候，直追著蒙日等人到大街上理論;同行者中卻也有人追著拿破侖苦苦央求帶他回法國。

最終，他們還是狼狽兮兮地返回了法國。這次探險在歷史上留下了許多話柄，比如給當地人帶來了巨大災難，再比如拿破侖也損失慘重，還拋棄了官兵自己秘密逃回法國，留下個爛攤子。他曾經許諾讓每位士兵帶回六畝地的財產，其實最終能幸運回去的人，能帶回一些“傳說”和一點戰利品就不錯了。而拿破侖此行，對埃及古文化、象形文字的研究、“埃及學”的創立所作的貢獻，倒是彪炳后世。傅立葉在這里的時光，從表面看只是履行使命，認真整理開羅當地的地理和文物資料，日后出版了一冊詳細的《埃及記敘》（Description de l'?gypte）。今天的科學學生們，誰能想到數學家傅立葉竟然是“埃及學”的創始人之一。

三年后，三十三歲的傅立葉被拿破侖任命為伊澤爾省（Isère）的省長（Prefect，當時的法國共有八十三個省），可他本來是打算回師范學院繼續當數學教師的。沒有辦法，他只得硬著頭皮上任，工作很多很雜，從城市的排水到修路，還在省會格諾伯勒成立了“藝術與科學學會”，政績極出色。正是從這段時間開始，他對熱傳導產生了興趣。他身體不好，總要待在溫暖的房間里，而從炎熱的埃及回到寒冷的伊澤爾省之后，健康更加糟糕，他得盡力維持房間的溫度。大約是出于這樣的原因，熱在固體中的傳導、擴散一直是他喜歡思考的問題。一八○七年，這位年輕省長的政績中，居然增添了一篇記載于史冊的熱學論文—《熱在固體中的傳播》。這是他一生看重的熱傳導研究的開始。

在成功的仕途中，傅立葉并不快樂。他的數學家師友們大多在巴黎，他們都知道傅立葉渴望回歸數學圈子，也都盡力建議拿破侖放傅立葉回學校教書，但拿破侖充耳不聞。很多人悄悄猜測，大約傅立葉曾經力挺過拿破侖的一個政敵。看上去，傅立葉得在伊澤爾省做到退休了。

命運卻出現了轉折。一八一四年，普魯士、俄國等國的盟軍攻入巴黎，拿破侖打了敗仗（此時距上次外國軍隊攻入巴黎已經有二十年了），伊澤爾省被奧地利軍隊圍困。而此時，拿破侖在被流放到厄爾巴島的路上，正好要途經這里。這可尷尬了，作為省長不能不迎接，但怎么面對失勢的舊主呢？躲起來不站隊也不可能。傅立葉沒有好辦法，懊喪地等待那一刻。不過到了那一天，消息突然傳來，拿破侖繞道而行，不經過這里了。傅立葉終于松了口氣。不過有人發現，其實這是傅立葉自己“爭取”到的福利，他試著放風給拿破侖，說歡迎人群可能太多，有些危險云云。

這段時間里，被砍頭的路易十六的弟弟，從大革命時期就流亡在外的路易十八已經回到法國，波旁王朝復辟。風頭突變，誰都摸不準形勢。一八一五年二月，傅立葉突然收到鄰省省長來信，拿破侖又帶著一千多人來格勒諾布爾了。怎么辦呢？傅立葉這次不能再躲了，趕緊跟市民申明“必須跟國王一條心”，違者必究。最后，拿破侖還是讓人強行打開大門，此時傅立葉已經從另一個門消失掉了，給拿破侖留下一封信，說實在無奈，必須對國王盡忠，希望舊主海涵。后來，拿破侖從厄爾巴島逃回，建立了“百日王朝”。拿破侖對傅立葉記恨不淺，把他伊澤爾省長的職務停掉，并派他到里昂。不久，傅立葉就在官員們的人際斗爭中落敗、辭職。拿破侖給了傅立葉一筆退休金，讓他告老還鄉了事。

傅立葉終于擺脫了案牘勞形的生活，回到巴黎，跟數學家拉普拉斯、蒙日等人再次聚首。此時風云再變，拿破侖戰敗，法國又復辟成了波旁王朝，傅立葉的退休金被廢止。恐怖時期又開始了，只是換了個方向：前雅各賓派、拿破侖黨都受到保皇黨的迫害。最后，在一個熟人，也是埃及之行的同僚之一的幫助下，傅立葉爭取到小筆收入，就是在塞納的統計局獲得一份監管之職。而忠誠地跟隨拿破侖出征埃及，后來又兢兢業業為法國高等教育盡力的蒙日，則沒那么幸運。他被驅逐出科學院，死于潦倒。

傅立葉此時希望自己能逐漸恢復在科學界的地位，比如進入法蘭西科學院，另外申請一份比較舒服的待遇，起碼恢復拿破侖批準的退休金，這些都被國王無情地否決了。雖然，他當年卷入雅各賓派的污點沒有遭到“再度曝光”，但他在拿破侖百日王朝這段時間對舊主有所支持，雖然最終與拿破侖反目，但新國王顯然更反感他，傅立葉就這樣被兩方唾棄。為了爭取一份體面的待遇，他經歷了一場痛苦的拉鋸戰。傅立葉在寫給法國內政部的信中指出，自己當年主持《埃及記敘》的編訂，耗盡心力也沒拿到報酬;在伊澤爾省為了排水工程自掏腰包也沒有報銷。拖到一八一六年，傅立葉似乎有機會進入法蘭西科學院，卻被國王無情地否決了，之后傅立葉不斷地申訴，他的朋友也不斷地向國王請求、解釋。又過了一年，科學院的物理分支有了個空缺，傅立葉在五十票中獲得四十七票，再加上朋友大力活動、推薦，終于進來了。至此，他終于拿到了一筆穩定的收入，也算正式進入了科學圈子，這才可以全心全意地工作了。

一八二二年，法蘭西科學院的永久秘書長去世，傅立葉眾望所歸，當選為新秘書長。不久，拉普拉斯去世。此時法國數學界依然活躍，除了身居高位的泊松，還有江湖之外的高人柯西、伽羅華和阿貝爾。科學界雖然有不少名位之爭，大師有時也會打壓異己，但法國在如此亂世之中取得的科學成就十分驚人，如今一個普通的工程、科學類高中生、大學生在教科書中都會屢屢遭遇那個時代的法國科學家的名字，從微積分到概率論，從電流單位到復數概念。

傅立葉終身未婚，似乎也無心屬之人，后人只在他的信件中讀到他多次提及自學成才的數學家索菲亞·熱爾曼（Marie-Sophie Germain，1776-1831）。在一封寫給法蘭西學院推薦索菲亞的信中，他說：“這位罕見的優秀又美麗的女士配得上您對她的關注。我溫柔地愛著她，并且深深感激您為她所做的一切。”這些蛛絲馬跡，就是傅立葉存世的全部浪漫史。

一八三○年，他當選為瑞典皇家科學院外籍院士，也陸續獲得了很多榮譽，但身體愈加糟糕，類風濕愈加嚴重，幾乎不能出門，只能裹著厚厚的毛衣待在家里，后來連呼吸都愈加困難。在最后的日子里，他得把自己包裹得像個大匣子，只有頭和胳膊伸出來，才能工作。只要有可能，他還是瘋狂地工作。當年這個有野心的年輕人在日記里寫道：“昨天是我二十一歲生日，是牛頓和帕斯卡已經成就斐然的年紀。” 現在一切都不同了，他的時光已經耗盡。

當年三月，他突然在樓梯上跌倒，兩星期后去世。

什么是傅立葉級數

以上是數學家傅立葉的故事。不過在生命的大部分時段，傅立葉不是專業數學家，而是一個仕途平靜的地方官員，愛數學，愛生活，兢兢業業完成各種任務，同時一生受疾病所擾，最終天不假年。他因為時代之故卷入了政治，一生沉浮非己身所能左右，但很幸運地茍全于亂世，最終在數學圈子里獲得了教職，跟很多一流數學家都有交流。數學家傅立葉的精神世界，其實遠比那個作為軍官、政治家的傅立葉要精彩得多。

我們今天生活的方方面面，都沒有逃脫傅立葉級數的影響。

讓我們以聲波為例，介紹傅立葉最重要的數學成就“傅立葉級數”（包括傅立葉變換、傅立葉分析）。大家都知道聲音是由物體在媒介（常常是空氣）中的振動產生的，聲波的幾個彼此獨立的要素有振動周期（波峰到下一個波峰的時間長度）、頻率（每秒振動次數）和振幅（跟響度成正比）。因為現成的正弦和余弦公式完美簡潔地表達了周期性，所以人們借用這個工具來描述波形。真正的振動過程是復雜的，比如音樂中的撥弦樂器：

但是，正弦/余弦函數表達的波形，并不能直接畫出這個手指撥出的“尖角”，它一定是各種波形復合的產物。所以上圖的撥弦，產生的聲波如下圖（橫軸為時間，縱軸為振幅）。

但也有些時候（比如需要取出或者過濾某個頻率的聲音），頻率成為縱坐標。而某個“凌亂”的頻率波形終將分解成若干“純凈”的三角函數之和：

f （t） = a0 + a1cosωt + b1sinωt + a2cos2ωt + b2sin2ωt + a3cos3ωt + b3sin3ωt+…

也就是f （t） = a0+∑∞（n=1） （ancosnωt + bnsinnωt）（這里ω是角速度）而a0、a1、b1、a2這些系數都必須求出來。傅立葉提供了十分巧妙優雅的解法（所以這些系數也被稱為傅立葉系數），有興趣的讀者可以輕易搜索到它。

關于聲波的疊加，這里只舉個實際的例子，幾種樂器的聲波（想象一下，縱軸為頻率，橫軸為時間）：

它們分別是長笛、雙簧管和小提琴的聲波。為什么三種樂器在演奏同一個音的時候會呈現非常不同的音色？而上述求和公式就告訴我們，每個分量前面那個系數不同，也就是有多少個四百赫茲、多少個六百赫茲、多少個八百赫茲……組合不同，聲波的形狀就不同，音色也就不同，而占據主導的那個頻率，正是我們所說的基音頻率，也就是樂器上你正在彈（撥、拉）出的那個音，至于它的泛音，應該是另一篇文章的話題了。

那么，在上述的求和公式f （t）中，正弦和余弦明明是兩個相關的函數，為什么不合二為一？感謝天才的瑞士數學家歐拉（Leonhard Euler，1707-1783），不僅發明了e這個神奇的自然常數，還發現了e、復數和三角函數之間的關系，這就是歐拉公式：

cosθ + isinθ = eiθ

話說復數這個如今高中生也要費點思量去理解的概念，十六世紀的意大利人卡爾達諾（Gerolamo Cardano，1501-1576）就已經提出來了，而它真正完善成我們所知的樣子，經歷了兩百余年。

這樣，含有正弦、余弦的求和公式在無限時間域內統一為含有e的表達—

原本是頻率的f （x），變成另一個變量ξ的函數，時間變量不復存在，因為它整合進了ξ的函數。當然，這個積分并不容易求，所以漸漸有了各種算法去逼近它。但關鍵在于，不管你有一個什么樣彎彎曲曲的周期連續函數f （x）（哪怕它不是周期函數，也可以在一定條件下用求極限的方式轉換為周期函數），都能表達成一個積分（在離散條件下，就是求和）公式，f （x）就這樣被“化解”了。在實際應用中，時間域有限，你能用一系列正弦函數和余弦函數的和來逼近這個彎彎曲曲的f （x），而所謂“濾波”、去噪音的過程，都是應用它的結果。而那個謎底f （x），產生傅立葉系列的“原初”連續函數，也可以在合適的條件下用積分還原，所謂逆變換。比較一下上面的公式，兩者顯示出驚人的對稱：

上面說到坐標系，橫坐標為時間，縱坐標為頻率，但也可以有別的表達方式，比如極坐標系，任何一點都可以通過用它從原點旋轉的角度和距原點的距離來表示。如果用它來描述波形運動和傅立葉變換的話，任何一個形狀的圖案，都可以疊加若干直徑的小圓圈（疊加即為向量求和）畫出來。下圖是一個視頻的截圖，人臉就是這樣畫出來的。左上部一團小圓圈，正是運動著勾畫出人臉細部的步驟，是傅立葉級數疊加的過程。萬物皆圓，多么迷人的過程：

這樣一來，許許多多的數據變化形態，都可以被模擬。聲音、電流不用說，地震、心跳、血流、股票、氣象也都不在話下;任何看上去高低不平的噪音式波形，都可以乖乖地分解成若干個整整齊齊的，帶有系數的周期性三角函數波形的疊加，它們也可以組裝成原來的樣子。這中間會有一些“約等于”造成的信息損耗，不過一般可以達到我們需要的精度。

盡管這些公式初看十分復雜抽象，但其實相對于真實而言，公式都是描摹世界的極簡版。你我隨便撥一下琴弦、敲一下鼓，在這個世界上造成的變化遠比這些公式復雜得多。公式們要么大刀闊斧，對細節視而不見，要么高屋建瓴，對混亂表象只取平均值，才有了我們對世界牙牙學語般的初級認識，也才有了種種粗糙模仿。無數電子設備、電聲樂器，都源于此。傅立葉級數幫人分析、模擬音響，也可以創造出自然中不存在的音響，整個電子音樂產業，沒有傅立葉級數就不會存在。

最為有趣的是，雖然傅立葉變換這個數學工具不過存在了兩百多年，但自古以來，人耳卻一直依靠自己的生理結構頑強地做著“傅立葉變換”，這才有了人類以及多數哺乳動物對音樂、聲音的接收。這個結構大概來說就是耳蝸（cochlea）中錐形的基底膜（basilar membrane），不同的“地段”有不同的寬度、厚度和硬度（也就是從硬的一端漸漸變軟變細），這些物理性的區別會形成不同的振動，硬的一端頻率較高，沿著基底膜遞減。膜上有很多毛細胞，它們對不同的振頻有不同的反應，把電勢能通過神經細胞輸送給大腦。膜外也有毛細胞，可以把大腦的取舍、調整反饋回來。注意，基底膜的物理形態就是把聲波做出“傅立葉變換”的關鍵。而大腦那一端對聲音的處理就復雜多了，習慣、訓練、文化環境都會影響它。

萬物有波

傅立葉的名字，最終刻上了埃菲爾鐵塔。塔上的七十二個名字中，還有柯西、蒙日、泊松、拉普拉斯、拉格朗日等數學家，他們都經歷了法國大革命及拿破侖時代，多少都受到政治的影響。而那時的軍事熱情也推動了應用數學的發展，從這個角度來說，傅立葉的發現也離不開那個時代。

不過，他最早感興趣的題目是熱傳導。他對溫度、熱傳導的話題真是從不疲倦，如今的“溫室效應”也是他提出的。他早年最有影響的、獲得法蘭西科學院大獎的論文就是關于熱的解析。所謂傅立葉級數，正是在熱傳導方程的求解過程中提出來的。傅立葉研究熱學的路漫長而曲折，最早因為“觀點不夠原創，前人已經提出來了”，遭到泊松、拉普拉斯等人的質疑，傅立葉在壓力之下不斷尋求改進，寫出了好幾篇重要論文，最后被逼出來最有意義的用三角函數拆解一般函數的結果，為后來的數學發展打開了一扇大門。

當然，如今的傅立葉變換理論，并不完全出自傅立葉之手，許多前人、后人都對它有所貢獻，傅立葉本人的論證，甚至有一些錯誤，但他提出了本質的思想，尤其是解決了波形的一般性表達，故居功至偉。而聲波的分解和疊加，是傅立葉變換的典型應用之一，它的精彩之處在于它體現了許許多多事物的核心，以及那種萬物歸一的力量。常常，在一個用求和來“模擬”波形的過程中，當n=1，2，3的時候，被轉換的函數的形狀離原函數似乎全不搭界，當n逐漸增加之后，卻漸漸如同精細的手工描繪一樣逼近。又因為可以雙向轉化，我們可以把一段音頻分解之后，去掉一個高音頻再重組。這樣看來，聲音甚至音樂，反倒一點也不特殊了，至于音樂的電子化、數字化，只是水到渠成而已。傅立葉系列，確實揭示了一部分音樂的秘密，它將聲音的傳播方式工業化，也改變了音樂工業化的進程。在歐洲文明里，音樂曾經有著那么神圣和根本的地位，而如今對它的模擬和再現都成為可能。音樂和數學，有著天然本質的聯系，或許僅僅是因為，數學形式在世上無所不在。

從歐洲的啟蒙時代開始，人愈加自信甚至狂妄，因為科學似乎無所不能;可同時人也變謙卑了，因為會更客觀地看自身，知道自然并非為取悅人而存在。物理學研究聲音，就應該面對各種聲音（包括人聽不見的振動），而非“好聽的聲音”，所以科學家的研究，從對和聲、和諧的認知變成聲學，數學和音樂的分裂已經不可避免。到了二十世紀，學科越來越細，卻也越來越多，有一部分就來自傳統學科的交叉，所以有了“計算音樂”這么個分支。數學家們發現，一些音樂現象和作品，是可以用數學來解釋的，比如音階的七個音，天然可以用離散傅立葉級數來表達;許多計算音樂領域內的論文，直接涉及音樂分析，比如一些音樂中能量和情感爆發的狀態，在數學上也能夠觀察和預測，并體現數學意義。尤其是二十一世紀，用傅立葉分析來研究音樂的方向相當紅火，并非危言聳聽，作曲家真的可以從空間、幾何等方面認知吸收一些靈感了。

幸好，科學能解構、能建構、能分解、能模擬，人世卻是動態的，算法之網恢恢，人尚有逃逸的空間。傅立葉變換并未將聲音尤其是音樂的秘密一網打盡。人腦仍然會給聲音施加生理和文化的影響，比如對音樂會“腦補”出一些并不存在的頻率，有時人耳感覺最舒服的未必是數學預測最完美的，等等，更不要提傾聽習慣軟化困難的力量。尤其是，數學細節之美，尚未普遍內化為大腦的快樂，“遠古大腦”們仍然高高興興地擁抱故事、圖像、旋律等感性的幸福，科學苦口婆心也未必能說服它。科學在進步，AI在擴張，我們不斷發現自己可以控制和模擬的事物，同時也不斷發現新死角，兩者競賽，即便前者勝券在握，后者只剩被圍剿的命運，人類的“龜爬”尚有時日殘喘吧。

參考文獻：

Joseph Fourier： The Man and the Physicist， by John Herivel， Oxford University Press， 1975;

Measured Tones： The Interplay of Physics and Music， by Ian Johnston， CRC Press， 2009;

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Physics and Music： The Science of Musical Sound， by Harvey E. White， Dover Publications， 2014;

Who Is Fourier？ A Mathematical Adventure， by Transitional College of LEX， Language Research Foundation， 2012.