結合公式法的卡諾圖化簡教學

夏強勝，李 娟

（安慶師范大學物理與電氣工程學院，安徽安慶246133）

數字電路中，邏輯函數表達式是邏輯電路圖的實現基礎。為了使用最少的電子器件實現某一邏輯功能，最簡的邏輯函數表達式是這一過程實現的前提，因此，邏輯函數表達式化簡就顯得尤為關鍵。通常，公式法和卡諾圖法是邏輯函數化簡的兩種主要方法。然而，兩種化簡方法各有優勢和不足[1-3]。公式法適用范圍廣，但化簡過程較為繁瑣，需要扎實的邏輯代數基礎；卡諾圖法化簡過程直觀清晰，但在邏輯變量較多時，過程也趨于復雜。

一般地，在卡諾圖法化簡教學中，大家習慣于從化簡的步驟出發學習卡諾圖法化簡。這種學習過程割裂公式法和卡諾圖法之間的內在聯系，使得對卡諾圖法化簡的利用僅停留在方法的層次上，而沒有上升到本質理解的層次。其實，公式法和卡諾圖法化簡存在緊密的聯系，教學過程中可通過對兩者聯系的學習和分析，達到對卡諾圖法化簡的更好掌握。本文在卡諾圖法的化簡教學中通過聯系公式法化簡，幫助大家理解卡諾圖法化簡過程中的物理意義，實現對卡諾圖法化簡的更深層次理解和應用。

1 邏輯函數的卡諾圖表示

要實現邏輯函數的卡諾圖化簡，先得用卡諾圖將邏輯函數表示出來。一般地，卡諾圖采用小方格一一對應邏輯函數最小項的方式來表示邏輯函數。2變量邏輯函數使用22個小方格表示，3變量邏輯函數使用23個小方格表示，以此類推。為了方便卡諾圖的相鄰項化簡，這些最小項不能任意或者順序排列，而必須按照特定的規律排列[4]。考慮到在公式法化簡中，當兩個最小項有且僅有一個變量取值不同時，可消除取值不同的變量進而得到更簡單的與項，如。這就要求卡諾圖中最小項排列應遵循的原則：幾何相鄰的最小項有且僅有一個變量取值不同。格雷碼的編碼方式正好滿足此條件，所以表示最小項的卡諾圖小方格采用格雷碼的編碼方式，進而實現幾何相鄰項也就是邏輯相鄰項。圖1所示為2到4變量情形下采用格雷碼方式表示的卡諾圖最小項。

圖1 卡諾圖的編碼方式

由于邏輯函數可以表示為若干最小項之和的形式，因此任意一個邏輯函數都可以用卡諾圖表示出來。具體方法：將邏輯函數表示為最小項之和的形式，并在最小項對應的卡諾圖小方格中填1，其余位置填0。同時，為了使卡諾圖更簡潔，化簡過程更清晰，此處的0可省略[5]。例如邏輯函數用卡諾圖表示，如圖2所示。

圖2 邏輯函數Y的卡諾圖表示

2 卡諾圖相鄰項的確定

由于卡諾圖采用格雷碼的編排方式，最小項的幾何相鄰也就是邏輯相鄰，相鄰項可依據規則進行化簡。如圖 3(a)所示，2個相鄰的最小項可合并化簡，消去 1個變量，消除的是取值不同的那個變量實現化簡[6]。這里變量B取值不同，消去；變量A和變量C取值相同，保留。2個最小項相鄰除了位置上的幾何相鄰，還應考慮到卡諾圖上的首尾相鄰，卡諾圖中的首尾最小項同樣是邏輯相鄰，可合并化簡，如圖 3(b)所示。

圖3 2個最小項相鄰情形

圖 4(a)所示為 4 個最小項相鄰的情形，結合公式法化簡可得化簡規則：4個最小項相鄰，消去取值不同的2個變量。本例中變量A和變量C有兩種不同取值，消去；變量B和變量D取值相同，保留。除此之外，4個最小項相鄰的情形還包括圖4(b)～(d)所示情形，都可以通過消去取值不同的2個變量以獲得最簡表達式[7]。

圖4 4個最小項相鄰情形

圖5 （a）所示為8個最小項相鄰情形，結合公式法化簡，消去取值不同的變量A、B和C，可得此外，8 個最小項相鄰還有圖 5（b）所示情形。綜上所述，2n個最小項相鄰可消去n個取值不同的變量，得到最簡的與式。

圖5 8個最小項相鄰情形

3 卡諾圖的化簡規律

卡諾圖化簡的本質就是相鄰項的確定，以上已對最小項相鄰的可能情形進行了羅列，但在具體問題中，相鄰項的確定還需要考慮到以下因素。下面通過具體實例對卡諾圖化簡中的相鄰項規律進行歸納總結。

圖6所示為例1邏輯函數卡諾圖。先可以確定最小項m1，m3，m5和 m7，消去取值不同的變量可化簡為C；同時，在這4個最小項內部，m1和m3，m1和m5，m3和m7，m5和m7兩兩相鄰，如其中m1和m3相鄰的化簡結果為(圖6中虛線圈所示)：可 以 發 現 ，是 C 的 子 項 ，能 為 C 吸 收因此，當2n個最小項構成的相鄰項確定后，其內部所有的2n-1到21個最小項所構成的相鄰項都是最大相鄰項的子項，可以被吸收，無需圈出。最大相鄰項確立后，還剩唯一的最小項m6，本著表達式最簡的原則，將m6和m7作為相鄰項圈起來進行化簡可得所以，卡諾圖的化簡最終結果為這種利用已用過的最小項化簡在公式法化簡中同樣能找到依據：上式第2步將最小項m7兩次利用，這在邏輯函數的公式法化簡中是合情合理的。在卡諾圖的化簡中，最小項m7被圈了2次，這和公式法化簡中的最小項m7兩次利用是同一機理。所以，確立相鄰項第1條準則：先從最多的最小項相鄰找起，一直找到所有最小項都被圈起來，同時要保證不能出現子項。

圖6 邏輯函數Y1的卡諾圖化簡

圖7所示為例2邏輯函數卡諾圖。依據確立的相鄰項的第1條準則，很容易圈出圖7所示相鄰項，化簡結果為然而，這個結果并不是最簡的。在公式法化簡中，已知BC是AB和兩項的冗余項，可以被這兩項所吸收。在卡諾圖化簡中，處理冗余項的方法也就是確立相鄰項的第2條準則：檢查已圈出的相鄰項，保證每一個被圈出的相鄰項至少有一個獨立的最小項；如果滿足此條件，相鄰項保留，否則略去。本例中BC項所對應的圈中的最小項都不是獨立的，分別被AB和兩項包含，所以BC項是它們的冗余項，卡諾圖化簡中必須把此相鄰項略去。

圖7 邏輯函數Y2的卡諾圖化簡

此例是余孟嘗版《數字電子技術》教材中利用公式法化簡的例題。這里，結合公式法和卡諾圖法進行分析。先利用公式法化簡，通過添加前兩項的冗余項后，分別和后兩項結合實現對前兩項的消除，如(2)式所示；同時發現，通過添加后兩項的冗余項后，分別和前兩項結合實現后兩項的消除，如(3)式所示。兩種化簡方式都正確，結果也都是最簡的，但邏輯函數的形式卻不盡相同。為了找出這種不同產生的原因，可借助卡諾圖化簡。

圖8 邏輯函數Y3的卡諾圖化簡

4 總結

綜上所述，本文在卡諾圖的化簡教學中結合公式法化簡，把卡諾圖化簡的物理意義呈現出來，幫助學生從本質上理解卡諾圖的化簡，并通過總結給出卡諾圖化簡的一般規律，達到更好地理解和利用卡諾圖化簡邏輯函數的目的。另外，要想熟練使用卡諾圖化簡邏輯函數，還需多做練習，歸納總結出卡諾圖化簡方法的潛在規律。