有理數集的可數性與稠密性應用

祁瑞生，徐大樹

（東北大學秦皇島分校數學與統計學院，河北秦皇島066000）

1 在數學分析中的應用

1.1 解函數方程的柯西法

函數方程是指含有未知函數的等式，它與代數方程、微分方程不同，并沒有普遍的解法，盡管如此，還是有一些經典的方法，如換元法、待定系數法、柯西法等。其中，柯西法基于有理數集的稠密性，是一個重要的求解函數方程的方法。

注1 利用柯西法，還可以求解如下幾個經典的函數方程[3]：

注2 例1的結論應用廣泛，利用例1的結論可以證明泛函分析中的兩個命題。

命題1[2]設V是賦范線性空間，若它的范數則可以在V上定義內積(?,?)，使得該范數由內積誘導而成。

命題2[2]實賦范線性空間E到E1的連續可加算子必滿足齊次性，從而是連續線性算子。

1.2 證明函數不等式

基于有理數集的稠密性，可以證明許多與連續函數有關的命題，利用函數的連續性與海涅定理，可以先研究連續函數在有理點處的性質，進而再由有理數集的稠密性找到有理數數列逼近定義域內任何一個實數，從而得到一般結論。

注3 利用與例2證明相似的方法，可以證明：設f(x),g(x)是定義在實數域R上的連續實函數，且對任一有理數r，有則這表明連續函數的取值完全由它在定義域中有理數點處的取值所決定。

注4 例1與例2的證明中都利用了Q在R中的稠密性，即對任一實數r∈R，都存在有理數數列，使得

1.3 構造分析學中的反例

有理數集的可數性與稠密性為構造分析學中的許多反例提供了思路，如有界卻黎曼不可積的狄利克雷函數[5]；在無理點連續，而在有理點不連續的黎曼函數[6]。

例3 試構造反例說明以下兩個命題均為錯誤的：

（1）若函數在一點連續，則在該點的某個鄰域內每一點都連續。

（2）若函數在一點可導，則在該點的某個鄰域內每一點都可導。

解 構造反例如下：令f(x)=x2D(x)，其中D(x)表示狄利克雷函數，即

1.4 證明連續函數介值定理的逆定理

定義在連通集上的連續實函數具有介值性，即若f(x)可以取到a和b，則f(x)可以取到a和b之間的任意一個數。反之，具有介值性的函數卻未必連續。但利用有理數集的稠密性，可以證明一個介值定理的逆定理。有理數集的稠密性表明任意兩個實數之間總是存在一個有理數[7]，利用這一性質，可以證明連續函數介值定理的一個逆定理。

命題3[8]設f(x)是定義在實數集R上的實函數且具有介值性，即對，存在x介于a,b之間，使得f(x)=c。若對任一有理數是閉集，證明：f(x)在R上連續。

證明 用反證法，設x0為f(x)的不連續點，根據海涅定理，存在一個數列滿足，但于是存在f(x0)的開鄰域使得數列有無限項在該鄰域之外，亦即存在的子列使得不失一般性，設由有理數集的稠密性可知存在有理數r使得由介值性可知存在tk介于x0,yk之間，使得故由得，而E是閉集，故x0∈E，所以，這與矛盾。

2 在實分析中的應用

稱一維直線E1的子集G為開集，如果它的每個點都是內點。在實分析中，考慮一維直線上有界開集的結構是一個重要的問題，基于有理數集的可數性，證明下面的命題。

命題4[9]一維非空有界開集可以表示成至多可數個互不相交的開區間的并。

證明 設G為一有界開集，可以證明：任取x∈G，存在開區間(a,b)，使得x∈(a,b)，且(a,b)?G，a,b?G[9]。已知G中任意一點x都對應一個開區間(ax,bx)?G，當x≠y，對應的開區間(ax,bx),(ay,by)若相交，則必重合。否則，將與ax,ay,bx,by?G矛盾，從而G可以表示成一些互不相交的開區間的并。由于這些開區間互不相交，由有理數集的稠密性與可數性，可在每個開區間內取一個有理數與這個開區間構成一一對應，這些有理數是至多可數個，從而這些開區間為至多可數個。

3 在點集拓撲中的應用

定義1[10]設X為一個拓撲空間中的點p稱為集合A的聚點，如果p任一鄰域都包含中的至少一點。A的聚點的全體稱為A的導集，記為d(A)。

在拓撲學中有如下經典習題：

例4[10]給R賦予余可數拓撲，即定義R上的拓撲為可數集記Q為全體有理數集合，試求有理數集Q的導集d(Q)。

解 任取x∈R。若x∈Q，下面證明x不是Q的聚點。事實上，取，則可數，所以注意到，從而x不是Q的聚點。若，取，則Bc=Q可數，所以注意到，從而x不是Q的聚點。綜上所述，?x∈R都不是Q的聚點，所以

4 在泛函分析中的應用

先引入度量空間可分性的定義。

定義2[2]設A，B均為度量空間X的子集，如果，則稱B在A中稠密。

定義3[2]設X為度量空間，若X存在稠密的可數子集，則稱X可分。

有理數集是可數的，從而可以從有理數集出發構造一系列的可數集，例如利用這些構造出的可數集，可以證明一些度量空間的可分性。

利用與例5相似的方法，可以證明下面的例6與例7。

例7 設c為一切收斂實數列構成的集合，在c中定義線性運算如下：其 中在 c 中 定 義 范 數 為其 中 x=設d(x,y)為范數誘導出的度量，即證明c在度量d下可分。

下面的例8在研究可分希爾伯特空間的結構時有著重要的作用。

例8 設V是實內積空間，若V中存在完備的規范正交系，則V可分。

5 結束語

有理數集的可數性與稠密性在本文的例題與命題中得到充分的運用，從有理數集的可數性與稠密性出發，可以將相關的結論推廣到更一般的拓撲空間上。