探究施瓦茨引理到非歐幾何

安家成 蘇州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院17 級(jí)基地班

一、施瓦茨引理

（一）施瓦茨引理1：

設(shè)f(z)是單位圓D（0，1）到自身的解析映射，滿足f(0)=0，則

該定理的證明：

證畢

（二）施瓦茨引理2：

該定理的證明：

證畢

（三）施瓦茨引理3：

用A(D(0，1))來(lái)表示所有由D(0，1)到自身的解析自同胚所組成的群，

這一性質(zhì)我們稱它是D(0，1)在群A(D(0，1))作用下是可傳遞的.

通過(guò)“從z 到0”可知，對(duì)于D(0，1)中任意兩個(gè)點(diǎn)均存在一個(gè)

解析自同胚將一個(gè)點(diǎn)映射到另一個(gè)點(diǎn)，

∴我們可以將“f(0)=0”這一條件去掉，即施瓦茨引理：

該定理的證明：

證畢

二、歐式幾何與非歐幾何

歐式幾何中的弧長(zhǎng)公式：如果l 起點(diǎn)為a，終點(diǎn)為b，表達(dá)式為

由歐式度量所確定的歐式幾何性質(zhì)就成為歐式幾何.

即非歐度量在D(0，1)的全純自同胚的作用下保持不變

設(shè)D(0，1)內(nèi)一段分段光滑曲線l：起點(diǎn)為a，終點(diǎn)為b，表達(dá)式為z(t)，我們定義l 的非歐長(zhǎng)度為，定義非歐距離為

非歐度量在單位圓的全純自同胚群作用下保持不變，∴曲線的非歐長(zhǎng)度、任意兩點(diǎn)的非歐距離、測(cè)地線等在單位圓的全純自同胚作用下也保持不變，于是，為了研究?jī)蓚€(gè)點(diǎn)的非歐距離，首先考慮特殊情況，

∴對(duì)于l 中 的非歐距離s(l)，有

非歐幾何最早是因?yàn)闅W幾里得中的平行公理，平行公理是指：過(guò)直線 外任意一點(diǎn)p，存在唯一的一條直線與已知直線 平行，但是俄國(guó)數(shù)學(xué)家N.I.Lobatchevxky(1793-1856)率先對(duì)這個(gè)平行公理可能獨(dú)立于歐幾里得其他公理的問(wèn)題做了深入研究.上面的在單位圓上構(gòu)造的非歐幾何模型就是由Poincare 提出，所以非歐度量也稱為Poincare 度量.Poincare 驗(yàn)證了歐幾里得其他公理均成立，但是我們由以上不難看出平行公理不成立，即過(guò)測(cè)地線 外一點(diǎn)p，有無(wú)數(shù)條測(cè)地線與 相交，這就證明了平行公理是獨(dú)立于歐氏幾何的其他公理的.同時(shí)這也說(shuō)明平行公理的反命題“過(guò)直線外一點(diǎn)存在無(wú)數(shù)條直線與給定直線平行”與歐式幾何的其他公理是相容的.