用最小二乘法擬合水位流量關系線的方法

(四川省岷江水文水資源局彭山水文站，四川 彭山，620800)

流量是過水斷面上的平均流速和過水斷面面積的乘積。對于河流及任何明渠水流來說，過水斷面面積由水位決定。水位可隨時準確測記，但過水斷面上各點流速不一樣，要實時測得流量仍有一定困難，還難免有誤差。日常工作中多采用在一年中的不同時期或時段，在各級水位實測流量，點繪水位、流量關系圖，通過點群重心建立全年或多個時段的水位流量關系線，以水位推求任何時刻的流量的方法。此方法采取目估并用專門的曲線板在圖上畫出關系線，再從線上查讀一些點次做成水位流量關系節點表，用于推求需要時刻的流量。但此項工作不僅量大且易受人為因素影響，因此，利用某種相關函數式表達水位流量關系線，以水位為自變量推定任何時刻的流量就顯得尤為必要。而高等數學中的最小二乘法就是求解最優數值和相關函數式的可靠又方便的方法。

1 最小二乘法概述

1.1 最小二乘法的原理

最小二乘法(又稱最小平方法)是一種數學優化技術，它通過最小化誤差的平方和尋找數據的最佳函數匹配。利用最小二乘法可以簡便地求得未知的數據，并使得這些求得的數據與實際數據之間誤差的平方和為最小。

從幾何意義上講，就是尋求與給定點(xi，yi)(i=0，1，…，m)的距離平方和為最小的曲線y=p(x)。函數p(x)稱為擬合函數或最小二乘解，求擬合函數p(x)的方法稱為曲線擬合的最小二乘法[1]。

1.2 利用最小二乘法進行曲線擬合的基本方法

利用最小二乘法進行多項式擬合的一般方法可歸納為以下幾步：

(1)由已知數據繪制出函數粗略的圖形——散點圖，確定擬合多項式的次數n。建議用2次或3次多項式，即n=2或n=3。多數以n=3為好，個別n=2時也很好，不妨都試一下，選用最優者。

(2)根據最小二乘法原理確定函數式各項系數，如當函數為n次多項式，即Y=A0+A1X+A2X2+…+AnXn，則使下式

∑[Yi-(A0+A1Xi+A2Xi2+……+AnXin〗2=Min

(1)

(3)對式(1)中的A0、A1、A2、A3…An分別求偏導數并令其等于0，列出方程組求解出A0、A1、A2、A3…An等系數值。

(4)寫出擬合多項式。

2 最小二乘法在水位流量關系式推定中的應用

本文中所用水文資料來源于四川省岷江水文水資源局彭山水文站。

2.1 最小二乘法的曲線擬合

根據彭山站2018年1線水文測量資料(表1)繪制散點圖，并根據散點圖的最佳擬合效果(圖1)，確定擬合多項式的次數n=3。

表1 彭山站2018年實測流量的1線資料、最小二乘法定線及誤差

根據式(1)，當n=3時，求解系數A0、A1、A2、A3的方程組為式(2)

(2)

圖1 彭山站2018年實測流量散點及曲線擬合

上述擬合計算可用Excel(電子表格)軟件完成。經Excel擬合后圖1的關系式為：

Y=404.34X3-323.06X2+2536X-2023(R2=0.9987)

(3)

根據式(3)計算出各施測號數基本水尺水位對應的流量(表1中的機定流量)，經誤差(表1中的機線誤差)分析可知，其最大相對誤差絕對值為4.2，而人工定線誤差絕對值為4.9，機線誤差總體上小于人工定線誤差，即最小二乘法定線優于人工定線。

用Excel擬合水位流量關系式的具體方法如下：

(1)在表格中輸入用于定線的實測點的施測號數、基本水尺水位和流量(任何一次基本水尺水位的整米數值都不能省略)；

(2)選出基本水尺水位最低的水位數值，將其整米數值記為Z0，再將基本水尺水位中各水位值減去Z0，這一列的數值后面用于計算流量，叫它計算水位(見表1)。因基本水尺水位規定取至0.01m，一般有4～6位數字。如直接用此數值，當n=3時，就會計算到此數值的6次方，數值的位數太多，不利于計算，因此，須減一個我們稱它為Z0的數值；

(3)將計算水位數值和流量數值作為做圖數據，在“圖表”中選“散點圖”，將出現以計算水位和實測流量為數據源的點群關系圖。此圖的橫坐標是水位，縱坐標是流量，與水文部門點繪的水位流量關系圖相反。這是由于數學上一般采用橫軸為自變量，縱軸為函數值，其不影響最后結果；

(4)右擊圖上任一關系點，點擊“増添趨勢線”，再選“多項式”及“次數”后，點擊“選項”欄，確定顯示“公式”和“R平方值”，最后點“確定”。這時圖上方將顯示水位流量關系式及R平方值。式中Y為Q，X是計算流量用的水位數值，稱為計算水位，由實時水位值減去Z0所得；

(5)將水位流量關系式代入各實測流量計算水位值即可計算相應水位在線上的流量值，并可算出實測流量與線上流量的誤差；

(6)如認為所得函數式符合要求，即可將推流時段內水位值減去Z0后，代入式中計算其相應流量。亦可用函數式制作水位流量關系節點表，供現行資料整編的推流用。

2.2 最小二乘法的改進應用

一般情況下，用Excel軟件擬合的水位流量關系線可完全滿足推流要求。但若水位變幅大，時段內最大最小流量相差幾十倍甚至上百倍，如2011年彭山站當年最大實測流量為7850m3/s，最小流量僅為353m3/s，兩者相差達22倍(表2)。而實際工作中一年只定一條線，這時用Excel定出的關系線就不太理想。

以彭山站2011年3線水文測量資料為例，繪制彭山站2011年3線水文測量資料散點圖，并根據散點圖的最佳擬合效果，確定擬合多項式的次數n=3，見圖2。經Excel擬合后圖2的關系式為：

表2 彭山站2011年站實測流量的3線資料、最小二乘法定線及誤差

Y=-20.231X3+340.96X2+116.16X+72.861(R2=0.9989)

(4)

根據上式(4)計算出各施測號數基本水尺水位對應的流量(表2中的機定流量)，經誤差(表2中的機線誤差)分析可知，其絕對誤差均<5%，總體上小于人工定線誤差。

圖2 彭山站2011年3線水位流量散點及曲線擬合

但由式(1)可知，求得的函數式的各系數(A0、A1、A2、A3…An)是使實測值與函數值之絕對誤差的平方和達最小。在水位流量關系線的定線實踐中，低水部分關系點距線很近但相對誤差卻很大甚至不合格；高水部分的關系點有些看似離線遠但相對誤差并不大，顯然由式(1)確定的函數式對高水部分的關系點考慮多些。如果以下式

(5)

就是使實測值與函數值的相對誤差之平方和為最小來求得函數式各系數。但n=3時，上式中的A0、A1、A2、A3等由解下列方程組求得：

(6)

以彭山站2011年3線水文測量數據為例，其方程組為：

(7)

注：為方便計算，式(7)方程組中等式兩邊均乘以106。

解得函數式為：

Y=48.46+154.09X+324.40X2-18.32X3(R2=0.9932)

(8)

據上式(8)求得各點線上流量(表2中的相對誤差定線)及與實測流量對比，其誤差(表2中的相對誤差定線誤差)總體上小于人工定線誤差和用式(1)擬合的定線誤差(表2中的機定誤差)，相對誤差均<5%，優于人工定線和用式(1)擬合的定線。高原、山區的水文站多數年水位變幅不太大，過水斷面穩定，河道坡降也大，往往一年只定一條水位流量關系線，此方法更適用這類測站。

3 結論與討論

(1)利用最小二乘法原理的水文基礎測量的水位流量推定，流量測驗精度高，計算可利用Excel軟件，簡便易行，可在實際工作中推廣應用；

(2)通常以多項式函數表達水位流量關系式。日常工作中利用最小二乘法計算得出的水位流量關系函數式一般取用3次多項式。個別關系線也有2次多項式比3次多項式還稍好，建議用Excel軟件時可分別用2次多項式和3次多項式求出結果進行比較后選定函數式。3次以上的多項式不宜采用；

(3)在使實測值與函數值的相對誤差之平方和為最小來求得函數式各系數的最小二乘法方法中，解得的A0、A1、A2、A3等系數建議取至3位小數。此方法更適用于年水位變幅不太大，過水斷面穩定，河道坡降也大的高原、山區水文站；

(4)若在擬定水位流量關系線時測點數較少且水位變幅不大，可試選冪函數或指數函數擬合曲線；

(5)為了避免計算水位出現負值，前述的Z0建議選定為推流時段中最低水位的整米數值。