基于超圖理論的線路脆弱性評估

余 快, 羅萍萍

(1.國網(wǎng)上海市電力公司檢修公司, 上海 200122; 2.上海電力學(xué)院, 上海 200082)

近年來,大停電事故頻頻發(fā)生[1]。其中,系統(tǒng)脆弱元件的故障有可能使得故障波及范圍更廣。因此,如何準(zhǔn)確地找到電網(wǎng)的脆弱環(huán)節(jié)并進(jìn)行預(yù)防是一個非常重要的課題。目前,基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論的電力系統(tǒng)脆弱性研究受到國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注[2]。文獻(xiàn)[3-9]通過邊介數(shù)法對線路進(jìn)行了脆弱性評估。但是,復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論著重體現(xiàn)電網(wǎng)各電氣元件之間的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),不能充分體現(xiàn)各電氣元件間的電氣屬性。同樣,電力網(wǎng)絡(luò)中的各個元件存在多重聯(lián)系,簡單的有向圖不能真實刻畫電力網(wǎng)絡(luò)的特性[10]。因此,本文采用能有效處理元件之間多元關(guān)系的超圖理論。

超網(wǎng)絡(luò)理論是近些年提出的仍處于模型構(gòu)建和描述階段的理論[11]。1970年,貝爾熱 C提出了超圖的最初概念[12]。2011年,王眾托院士在文獻(xiàn)[10]和文獻(xiàn)[13]中對基于超圖的超網(wǎng)絡(luò)理論的應(yīng)用進(jìn)行了歸納總結(jié)。文獻(xiàn)[14]將超網(wǎng)絡(luò)、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)和D譜理論應(yīng)用于評估網(wǎng)絡(luò)中的重要節(jié)點。文獻(xiàn)[15]將超網(wǎng)絡(luò)理論應(yīng)用于微博,以識別影響力較大的關(guān)鍵節(jié)點。在電網(wǎng)中,節(jié)點和線路之間除了物理上的連接關(guān)系之外,仍存在其他多種電氣聯(lián)系,且兩者相互影響。超圖理論能將具有相同屬性的對象以集合的形式歸類,體現(xiàn)出各個對象之間的隱含聯(lián)系。因此,通過超圖理論能夠體現(xiàn)節(jié)點和線路之間的隱含聯(lián)系,從而更準(zhǔn)確有效地判別其脆弱性。

1 超圖相關(guān)理論

超圖的定義如下:設(shè)V={v1,v2,v3,…,vn}是一個有限集,若滿足:

(1)Ei=φ,i=1,2,3,…,m;

則稱H=(V,E)為超圖,記為(V,E)或H。其中,V的元素v1,v2,v3,…,vn為超圖的節(jié)點;E為超圖中超邊的集合,E={E1,E2,E3,…,Em}。

超圖可以用圖形來表示[14]。例如,超邊E1與節(jié)點2,節(jié)點3,節(jié)點4存在關(guān)聯(lián),E2與節(jié)點1,節(jié)點2,節(jié)點3存在關(guān)聯(lián),則以超圖的形式表達(dá)為E1(2,3,4),E2(1,2,3),其圖形如圖1所示。

本文將電力系統(tǒng)中的線路作為超圖中的節(jié)點,簡稱超圖節(jié)點;以電力系統(tǒng)中的節(jié)點作為超圖中的超邊,簡稱超圖超邊。根據(jù)節(jié)點和線路之間的聯(lián)系,建立簡單的加權(quán)超圖模型。通過電網(wǎng)中最基本的潮流來判斷節(jié)點和線路之間的聯(lián)系。

圖1 超圖的圖形化表示

以IEEE-5節(jié)點系統(tǒng)為例,如圖2所示。IEEE-5節(jié)點系統(tǒng)中,節(jié)點1,節(jié)點3,節(jié)點5為發(fā)電節(jié)點,節(jié)點2和節(jié)點4為負(fù)荷節(jié)點。在電力系統(tǒng)中,潮流從發(fā)電節(jié)點流向負(fù)荷節(jié)點。因此,IEEE 5節(jié)點系統(tǒng)的所有發(fā)電-負(fù)荷路徑有:1—2;1—4—3—2;1—4;3—2;5—1—2;5—1—4—3—2;5—4—3—2;5—4;5—1—4。顯然,在任意一條發(fā)電-負(fù)荷路徑中,所有的節(jié)點和線路都相互聯(lián)系。根據(jù)與各超圖超邊存在聯(lián)系的超圖節(jié)點,從而建立適用于電力系統(tǒng)的超圖模型。

圖2 IEEE-5節(jié)點系統(tǒng)

IEEE-5節(jié)點系統(tǒng)的超圖模型中,超圖節(jié)點為V=[1,2,3,4,5,6],超圖超邊為E=[E1,E2,E3,E4,E5].節(jié)點與線路之間的聯(lián)系為:E1(1,2,3,4,5),E2(1,2,3,4,5,6),E3(2,3,4,5,6),E4(2,3,4,5,6),E5(1,2,3,4,5,6)。IEEE-5節(jié)點系統(tǒng)的超圖示例如圖3所示。

圖3 IEEE-5節(jié)點系統(tǒng)超圖

2 數(shù)據(jù)場相關(guān)理論

在數(shù)域空間中的每一個對象都可以當(dāng)作一個質(zhì)點,并且每一個對象周圍都存在一個場域[16],在該場域內(nèi)的任一對象(除本體以外)都會受到它的作用。因此,在整個空間中可以確定數(shù)據(jù)場。數(shù)據(jù)場理論的基本觀點為:在同一數(shù)據(jù)空間中,數(shù)據(jù)對象之間相互聯(lián)系、相互影響;每一個數(shù)據(jù)對象既對其他數(shù)據(jù)對象產(chǎn)生作用,同時也受到其他所有對象的影響;所有數(shù)據(jù)對象的作用力呈現(xiàn)出空間分布的特性,并且隨著對象之間距離的增加而衰弱,隨著該對象本身質(zhì)量的增加而增強[17];在數(shù)值計算上,數(shù)據(jù)場的數(shù)學(xué)表達(dá)式具有多種形式,依據(jù)具體問題域的不同而有所不同[17]。

在給定空間Ω中的數(shù)據(jù)對象x,?y∈Ω,記對象x在點y處產(chǎn)生的勢值為Φx(y),則Φx(y)應(yīng)同時滿足:

(1)Φx(y)是定義在空間Ω上的連續(xù)、光滑、有限函數(shù);

(2)Φx(y)各向同性;

本文選用經(jīng)典的核力場作為勢函數(shù)

(1)

式中:mc——場源強度;

σ——影響因子,用于控制對象之間的作用程度;

kc——距離指數(shù)。

根據(jù)文獻(xiàn)[17]所述,短程場的勢函數(shù)能更好地描述對象之間的相互作用,因此選擇k=2。

空間中任一點x的勢值可以表示為

(2)

3 電網(wǎng)脆弱線路評估方法

3.1 質(zhì)量指標(biāo)

線路的質(zhì)量表示線路輻射周圍線路的能力。線路的質(zhì)量越大,其輻射能力越大。在一般圖模型中,沒有對線路質(zhì)量的具體描述,可以將其理解為該線路的固有屬性,比如拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)(度乘積[18]、邊介數(shù))和運行狀態(tài)(熵等)。

本文定義FL={fl1,fl2,fl3,…,fln}為線路的一組屬性。首先,本文定義G為發(fā)電機節(jié)點,L為負(fù)荷節(jié)點,節(jié)點發(fā)電度DG(i)為節(jié)點i的鄰居節(jié)點的發(fā)電量之和,節(jié)點負(fù)荷度DL(i)為節(jié)點i的鄰居節(jié)點的負(fù)荷量之和,則有

(3)

(4)

式中:i,j——節(jié)點編號;

PGj——節(jié)點j的發(fā)電量;

PLj——節(jié)點j的負(fù)荷量。

基于節(jié)點發(fā)電度和節(jié)點負(fù)荷度,可以得出線路發(fā)電度乘積DPG(k)和線路負(fù)荷度乘積DPL(k)。

DPG(k)=DG(p)×DG(q)

(5)

DPL(k)=DL(p)×DL(q)

(6)

式中:p,q——線路k兩端的節(jié)點編號。

線路的度乘積屬性fl1(k)公式為

(7)

線路的電氣介數(shù)屬性fl2(k)公式為[19]

(8)

式中:Wi——發(fā)電機節(jié)點i的發(fā)電量;

Wj——負(fù)荷節(jié)點j的負(fù)荷量;

Iij(p,q)——發(fā)電機節(jié)點i至負(fù)荷節(jié)點j路徑上注入單位電流后,線路k上引起的電流。

線路的潮流轉(zhuǎn)移熵屬性fl3公式為[20]

(9)

(10)

Δλmk=Pmk-Pm0

(11)

式中:HT(k)——線路k的潮流轉(zhuǎn)移熵;

S——系統(tǒng)線路總數(shù);

βmk——潮流轉(zhuǎn)移沖擊率;

Δλmk——潮流增量;

Pmk——線路k斷開后,線路m上的潮流。

由于線路的各個屬性原則上具有不可公性。比如兩個屬性之間的數(shù)值差距較大,會導(dǎo)致無法反應(yīng)屬性之間的優(yōu)劣性。因此,本文將各個屬性歸一化,將線路的所有屬性值都控制在[0,1]內(nèi)。然后將FL={fl1,fl2,fl3}綜合成以α={α1,α2,α3}為投影方向的一維投影值zk

(12)

zk為線路的多屬性綜合評估指標(biāo),投影方向αi實際上反應(yīng)的是各個屬性的權(quán)值。為了計算簡便,本文假設(shè)α1=α2=α3=1/3。最終通過公式M=f(zk)求得線路的質(zhì)量。

3.2 最短路徑距離

本文基于Floyd的推廣算法,對所構(gòu)建的超圖模型中的最短路徑進(jìn)行計算。

定 義[21]超圖h中的長度為Q的路徑定義為頂點-超邊交錯序列(x1,E1,x2,E2,…,xQ+1,EQ+1),簡稱為P(x1-xQ+1),且滿足:

(1)x1,x2,x3,…,xQ+1為h中互異的頂點;

(2)E1,E2,E3,…,EQ+1為h中互異的超邊。

假設(shè)超邊的權(quán)值矩陣為w(Ei)1×n,稱之為超邊權(quán)。xi到xq+j的最小權(quán)路徑稱為xi到xq+j的最短路徑。

(13)

超邊的權(quán)值越大,則線路之間的距離越遠(yuǎn),線路之間的影響則越弱。

本文將電網(wǎng)中的發(fā)電節(jié)點和負(fù)荷節(jié)點作為超圖中的超邊。一個節(jié)點的發(fā)電量或者負(fù)荷量越大,則該節(jié)點周圍的線路影響力也越大。因此,本文定義超邊的權(quán)值w(i)為

(14)

若節(jié)點的發(fā)電量或者負(fù)荷量越大,則該條線路與鄰近線路的距離越近,對鄰近線路的影響就越大。

3.3 影響因子

定義超圖勢熵E為

(15)

(16)

(17)

式中:PL(i)——線路i的勢值;

Z——整個網(wǎng)絡(luò)的勢值。

根據(jù)熵的性質(zhì)判斷,當(dāng)超圖勢熵最小時,超圖的場分布最不均勻,其不確定性最小。因此,將求解σ的問題轉(zhuǎn)化為求勢熵最小的優(yōu)化問題。

3.4 線路脆弱性評估指標(biāo)

根據(jù)數(shù)據(jù)場理論的定義,本文認(rèn)為線路同樣存在場域,并對其場域內(nèi)的其他對象產(chǎn)生影響。若該對象本身處于其他對象的場域內(nèi),也將受到其他對象的影響。本文假設(shè)線路只對其場域內(nèi)的其他線路產(chǎn)生影響,而對超出其場域的線路所造成的影響忽略不計,則可根據(jù)該線路對其場域內(nèi)的其他線路所造成的影響之和來判斷該線路的脆弱性。因此,本文定義線路影響率(Influence Rate of Line,IRL)為

(18)

IRL表示線路j對整個電網(wǎng)的影響程度。當(dāng)IRL越大,則該條線路對電網(wǎng)的影響程度越大,也意味著其越脆弱。當(dāng)IRL越小,則該條線路對電網(wǎng)的影響程度越小,也就意味著其不重要。

根據(jù)上文所述,線路影響率計算流程如圖4所示。

圖4 線路影響率評估流程

4 案例分析

本文選用IEEE-39標(biāo)準(zhǔn)節(jié)點系統(tǒng)來驗證有效性。

圖5 IEEE-39節(jié)點系統(tǒng)線路脆弱性評估指標(biāo)

從上述結(jié)果中選取指標(biāo)排名前10的線路,與文獻(xiàn)[6]和文獻(xiàn)[8]進(jìn)行對比分析,如表1所示。表1中影響率指標(biāo)為歸一化后的結(jié)果。文獻(xiàn)[6]將線路電抗作為權(quán)重結(jié)合介數(shù),對線路進(jìn)行脆弱性分析。文獻(xiàn)[8]根據(jù)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)角度的介數(shù)指標(biāo)和運行狀態(tài)角度的潮流熵,綜合評價線路的脆弱性。本文利用超圖理論所建立的超圖模型,將發(fā)電機節(jié)點和負(fù)荷節(jié)點與線路之間的聯(lián)系具現(xiàn)化,并通過數(shù)據(jù)場理論對線路進(jìn)行分析,求得線路對整個網(wǎng)絡(luò)的影響。

表1 線路脆弱性評估及比較

由表1可以看出,線路15—16,16—17,17—18在文獻(xiàn)[6]和文獻(xiàn)[8]的結(jié)果中并不靠前,但是如果這些線路斷開,將會對電網(wǎng)中發(fā)電機節(jié)點和負(fù)荷節(jié)點產(chǎn)生較大的影響。線路16—19在文獻(xiàn)[6]中排名第3,線路13—14在文獻(xiàn)[8]中排名第1,這些線路的介數(shù)值比較高,但斷開后所產(chǎn)生的影響并不大。因此,基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論的介數(shù)法能夠從一定程度上評價線路的脆弱性,但是不夠全面。本文建立的超圖模型能清晰地反應(yīng)出電力系統(tǒng)中發(fā)電機、負(fù)荷和線路之間的聯(lián)系,能更準(zhǔn)確地判別線路的脆弱性。

在排名前10的線路中,文獻(xiàn)[6]與本文方法有5條線路相同。兩者之間存在差異的原因主要有:超圖理論基于節(jié)點和線路之間的虛擬聯(lián)系與復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論基于節(jié)點和線路的物理連接存在差異;文獻(xiàn)[6]采用電抗作為介數(shù)權(quán)重,并且只考慮了拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),而超圖理論綜合考慮了線路的自身屬性和拓?fù)涮卣鳌Ｍ瑯?文獻(xiàn)[8]得出的關(guān)鍵線路與本文方法有5條線路相同。文獻(xiàn)[8]將介數(shù)法和熵相結(jié)合,從拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和運行狀態(tài)綜合考慮線路的脆弱性,但只是通過加權(quán)的形式。相比之下,本文方法更為合理有效。

5 結(jié) 論

正確判斷電網(wǎng)中的脆弱線路對防范大停電事故具有重要意義。本文提出了一種基于超圖理論的線路脆弱性評估方法,為大型電網(wǎng)的線路脆弱性評估提供了參考依據(jù)。

(1) 基于電力系統(tǒng)中最基本的潮流得到電網(wǎng)中節(jié)點和線路之間的聯(lián)系,從而建立適用于電力系統(tǒng)的超圖模型。該模型能充分體現(xiàn)電力元件之間的多元關(guān)系。

(2) 從拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和運行狀態(tài)兩個角度建立了線路的質(zhì)量指標(biāo),能夠有效衡量線路對電網(wǎng)的影響能力。

(3) 利用數(shù)據(jù)場理論中的拓?fù)鋭荻x了線路影響率,對線路進(jìn)行脆弱性評估。其體現(xiàn)了線路在整個電網(wǎng)中的影響程度,影響程度越大,則線路越脆弱。