不確定混沌系統(tǒng)的濾波反演自適應(yīng)滑模控制

崔明月， 劉紅釗， 趙金姬， 屈重年， 劉 偉

(南陽師范學院 機電工程學院， 河南 南陽 473061)

0 引 言

混沌系統(tǒng)作為一種典型的非線性系統(tǒng)，在信息處理、通信保密等方面得到廣泛應(yīng)用。混沌系統(tǒng)的控制問題已經(jīng)成為研究的熱點，許多控制方法被研究人員提出，如反演控制[1]、自適應(yīng)控制[2]、最優(yōu)控制[3]等。在眾多混沌控制中，跟蹤控制就是通過對混沌系統(tǒng)施加控制力，使其輸出響應(yīng)跟蹤任意給定的參考信號[4]。

上述混沌系統(tǒng)控制方法大都要求建立被控對象準確數(shù)學模型，在工程實際中往往不易實現(xiàn)。因此，當系統(tǒng)中存在參數(shù)變化或不確定因素時，系統(tǒng)的魯棒性就會降低，動態(tài)性能也會變差。基于此，一些研究者提出了具有較強魯棒性與自適應(yīng)性的混沌控制方法，如：線性反饋控制[5]、基于Laypunov理論的指數(shù)控制法[6]、自適應(yīng)模糊控制[7]、滑模變結(jié)構(gòu)控制[8]等。其中，滑模控制(Sliding Mode Control, SMC)因其對系統(tǒng)參數(shù)變化及擾動不靈敏、無需系統(tǒng)在線辨識等優(yōu)點，被廣泛應(yīng)用于非線性系統(tǒng)控制中，但對于常規(guī)滑模變結(jié)構(gòu)控制，高的切換增益以及符號函數(shù)的存在是抖振現(xiàn)象產(chǎn)生的根源，從而影響了其在工程實際的應(yīng)用[8]。為削減抖振現(xiàn)象，對傳統(tǒng)滑模控制提出了許多改進措施，如：基于濾波器的滑模控制、動態(tài)滑模控制、基于觀測器的滑模控制、基于模糊邏輯的滑模控制等[8]。盡管這些控制方法能夠在一定程度上降低滑模控制信號的抖振，改善系統(tǒng)的控制性能，但要求系統(tǒng)具有完全能測量的狀態(tài)，否則上述控制方法將失效[9]。擴張狀態(tài)觀測器(Extended State Observer, ESO)被廣泛用于系統(tǒng)的未知狀態(tài)和不確定項的估計[10]。ESO幾乎不依賴于系統(tǒng)模型，且具有很強的抗干擾能力，因此廣泛應(yīng)用于非線性系統(tǒng)控制領(lǐng)域[11-12]。但是，當系統(tǒng)的模型階數(shù)與非線性程度較高時，上述控制方法往往不易實現(xiàn)。而Backstepping設(shè)計方法能夠?qū)碗s高階的非線性系統(tǒng)分解成多個低階子系統(tǒng)，通過選擇合適的Lyapunov函數(shù)逐步推導出最終的控制律，從而實現(xiàn)對系統(tǒng)的有效控制[13]。

針對狀態(tài)不可測的不確定混沌系統(tǒng)，本文提出基于ESO的Backstepping自適應(yīng)滑模控制方法。該方法運用線性ESO對混沌系統(tǒng)的狀態(tài)與總的不確定性進行估計，然后基于Backstepping策略設(shè)計滑模控制器，同時基于Lyapunov穩(wěn)定性理論設(shè)計滑模控制律與切換增益的自適應(yīng)更新律。通過一個濾波器獲得虛擬控制量的導數(shù)，避免微分項述的膨脹，大大簡化控制器的設(shè)計過程。

1 問題描述

考慮如下不確定非線性混沌系統(tǒng)：

(1)

假設(shè)狀態(tài)x1,x2,x3不能直接測量但可觀測，非線性函數(shù)f1(x1,x2,x3)，f2(x1,x2,x3)，f3(x1,x2,x3)未知可微，對狀態(tài)x1,x2,x3各階偏導存在且連續(xù)。

混沌系統(tǒng)具有較強的非線性，對初值非常敏感，且系統(tǒng)的狀態(tài)不易獲得，許多常規(guī)的控制策略已不能滿足控制效果。本文的目的在于針對狀態(tài)不可測的不確定混沌系統(tǒng)(1)設(shè)計一個ESO與自適應(yīng)滑模控制器，實現(xiàn)混沌系統(tǒng)狀態(tài)x1的穩(wěn)定跟蹤控制。

2 控制器設(shè)計

2.1 模型變換

由于未知函數(shù)f1(x1,x2,x3)對x1,x2,x3的各階偏導連續(xù)可微，故可構(gòu)造函數(shù)：

(2)

設(shè)計如下坐標變換:

(3)

由前面假設(shè)可知，未知函數(shù)g(x1,x2,x3)對狀態(tài)x1,x2,x3連續(xù)可微，故可將式(1)變換為如下嚴格參數(shù)反饋系統(tǒng):

(4)

為了對混沌系統(tǒng)進行控制，將控制輸入u加入系統(tǒng)，同時考慮系統(tǒng)的外部擾動，系統(tǒng)(4)可寫為

(5)

式中：u為控制輸入；b為控制輸入增益；

d(t)為系統(tǒng)未知的外部擾動。為了便于設(shè)計觀測器與控制器，將式(5)寫為如下等效形式:

(6)

式中：

w(x1,x2,x3)=f(x1,x2,x3)+d(t)

為混沌系統(tǒng)總的不確定性。

2.2 不確定性的估計

ESO是一種新型的非線性觀測器，可以對系統(tǒng)的狀態(tài)與未知的擾動進行估計[14]。針對式(6)設(shè)計如下的4階線性ESO：

(7)

(8)

定義觀測誤差向量

(9)

則, 式(8)可寫為

(10)

式中：矩陣

(11)

矩陣A的特征多項式為

|sI-A|=s4+β1s3+β2s2+β3s+β4

(12)

由Routh-Hurwitz穩(wěn)定性判據(jù)可知，若式(8)中的系數(shù)βi(i=1,2,3,4)滿足如下條件:

(13)

則觀測誤差動態(tài)系統(tǒng)(8)漸近穩(wěn)定, 即ESO觀測誤差eo收斂至0向量。

2.3 ESO增益的確定

ESO屬于高增益觀測器，觀測器增益βi>0,i=1,2,3,4對ESO至關(guān)重要，影響著觀測器的收斂速度。運用帶寬的概念來確定ESO的增益βi>0,i=1,2,3,4。ESO的期望特征多項式為

λ0(s)=(s+ω0)4=

(14)

式中：ω0為觀測器的帶寬。

比較式(12)與(14)可得：

(15)

2.4 自適應(yīng)滑模控制器設(shè)計

在對系統(tǒng)(6)的狀態(tài)與不確定部分進行估計的基礎(chǔ)上，規(guī)定控制目標是設(shè)計一個自適應(yīng)控制律u，使系統(tǒng)輸出y=x1漸進跟蹤一個有界參考信號yr,即

(16)

下面基于反演策略設(shè)計不確定混沌系統(tǒng)(6)的滑模跟蹤控制器。

步驟1定義跟蹤誤差e1=y-yr=y1-yr，假設(shè)參考信號yr充分光滑，由式(6)可知:

(17)

定義Lyapunov函數(shù)

(18)

則其沿式(17)的導數(shù)為

(19)

(20)

步驟2定義虛擬誤差

e2=y2-α1

(21)

則

(22)

由式(17)、(20)、(22)可得:

(23)

由式(22)、(23)可得：

(24)

考慮誤差動態(tài)方程(22)與(23)，將y3暫時作為“控制變量”實現(xiàn)此兩式的鎮(zhèn)定，定義Lyapunov函數(shù)

(25)

則V2沿式(23)和(24)軌跡的導數(shù)為

(26)

(27)

步驟3定義虛擬誤差

e3=y3-α2

(28)

則e3對時間t的導數(shù)為

(29)

由式(27)、(28)可得：

(30)

將式(30)代入式(24), 得:

(31)

將式(23)與(31)代入(29)得：

(32)

式中,

λ3=k1+k2

定義切換函數(shù)

s=c1e1+c2e2+e3

(33)

式中：c1與c2為正的常數(shù)。則s對時間t求導并考慮式(23)、(31)、(32), 化簡為

(34)

式中：

ρ1=c1k1+c2-λ1,ρ2=c1-c2k2-λ2

ρ3=c2+λ3

定義Lyapunov函數(shù)

V3=V2+0.5s2

(35)

則

(36)

設(shè)計滑模控制律為

h(s+εsgn(s))]

(37)

式中：h>0是設(shè)計常數(shù)；ε>0為切換增益。

在滑模控制律(37)中，為了削弱控制信號的抖振，更好地克服外部擾動，使系統(tǒng)具有更強的魯棒性，設(shè)計如下的切換增益ε的自適應(yīng)調(diào)整算法:

(38)

(39)

注1如不做特殊說明，上述控制律設(shè)計過程中的yi(i=1,2,3)及w均是指其由式(7)ESO得到的估計值。

2.5 穩(wěn)定性分析

定理1系統(tǒng)(6)在滑模控制律(39)與切換增益適應(yīng)律(38)的作用下, 設(shè)計如式(33)的切換函數(shù), 則閉環(huán)系統(tǒng)誤差e1,e2,e3漸近收斂到0.

證明定義如下的Lyapunov函數(shù)

(40)

則V3對時間t的求一階導數(shù), 并考慮式(33)、(36)、(38)、(39)可得:

hε|s|=-eTQe-hε|s|

(41)

(42)

通過選擇參數(shù)h，k1，k2，c1，c2，可使Q的各階順序主子式均大于0，從而保證Q為正定矩陣。從而可得

(43)

由式(43)對時間t求導, 得：

(44)

(45)

(46)

證畢

注2由文獻[13]可知，系統(tǒng)(6)滿足“分離定理”的條件，高增益的擴張狀態(tài)觀測器與自適應(yīng)滑模控制器設(shè)計可獨立進行，觀測器的收斂性不影響閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

3 濾波器的設(shè)計

由反演滑模控制律(37)的設(shè)計過程可知，在反推過程中需要反復計算虛擬控制信號的導數(shù)，這將導致微分項數(shù)的膨脹，使控制律的解析表達式非常復雜。因此，虛擬控制信號的求導通過濾波器，不必要解析求導，反演自適應(yīng)滑模控制器的實現(xiàn)過程將會大大簡化。濾波器的原理如圖1所示。

圖1 信號的濾波處理

濾波器的狀態(tài)方程為

(47)

(48)

式中：ζ是濾波器的阻尼比；ωn是自然角頻率。

基于ESO的不確定混沌系統(tǒng)的濾波反演自適應(yīng)滑模控制原理如圖2所示。

圖2 濾波反演自適應(yīng)滑模控制原理

4 仿真實驗

為驗證本文所設(shè)計的控制策略的有效性, 選擇Lorenz混沌系統(tǒng), 狀態(tài)方程如下:

(49)

式中: 當δ=16,ρ=49.52,b=4,x1(0)=20,x2(0)=20,x3(0)=50時產(chǎn)生混沌現(xiàn)象, 混沌吸引子如圖3所示。

圖3 Lorenz混沌系統(tǒng)的吸引子

定義函數(shù)：

(50)

由式(2)可得

g(x1,x2,x3)=1 048.32x1-272x2-16x1x3

應(yīng)用式(2)所示的坐標變換，式(49)可化為

(51)

將控制輸入u加入系統(tǒng), 控制輸入增益b取為1, 同時考慮考慮系統(tǒng)的外部擾動，系統(tǒng)(49)可寫為

(52)

式中：

為混沌系統(tǒng)總的不確定性, 系統(tǒng)的不確定外部擾動d(t)=2sint。對此系統(tǒng)(52)用擴張狀態(tài)觀測器(6)進行估計。擴張狀態(tài)觀測器的帶寬取ω0=60 rad, 觀測器增益由式(15)計算得出：

為驗證本文所設(shè)計控制方法的有效性和優(yōu)越性, 分別對式(7)、 (38)、 (39)、 (47)表示的基于ESO的濾波反演自適應(yīng)滑模控制(ESO+ FBASMC)、由式(7)、 (37)表示的基于ESO的常規(guī)反演滑模控制(ESO+BSMC)以及PID控制進行仿真實驗研究。采樣周期都設(shè)置為Ts=1 ms, 初始條件均設(shè)置為

x1(0)=20,x2(0)=20,x3(0)=50

滑模控制器的參數(shù)設(shè)置為

k1=70，k2=10，c1=50，c2=10

PID控制參數(shù)：比例系數(shù)kp=0.75，微分系數(shù)kd=0.32，積分系數(shù)ki=0.16。

3種控制方法的仿真實驗結(jié)果如圖4～8所示。 由圖4～6可知, 3種基于ESO的控制方法均能夠有效地控制混沌系統(tǒng), 并且最終的跟蹤誤差均為0，PID控

圖4 位置跟蹤結(jié)果

圖5 位置跟蹤誤差

圖6 控制輸入u

(a) 濾波反演自適應(yīng)滑模控制的ESO估計誤差(b) 反演滑模控制的ESO估計誤差

圖7 總的不確定性w的估計誤差

圖8 FBASMC切換增益ε的自適應(yīng)變化過程

制出現(xiàn)了長時間的振蕩。進一步對比圖5中跟蹤誤差可知，系統(tǒng)在3種控制器作用下，跟蹤誤差的曲線發(fā)生了劇烈的振蕩，PID控制的誤差曲線振蕩最為劇烈，常規(guī)滑模控制的誤差曲線的振蕩程度次之，反演自適應(yīng)滑模控制的誤差曲線最平緩, 跟蹤誤差收斂最快, 這是因為常規(guī)反演滑模控制方法的切換增益ε是固定值，一旦系統(tǒng)的外部擾動變化時, 控制器便無法這種變化；而對于反演自適應(yīng)滑模控制方法而言, 由于切換增益ε(t)能夠自適應(yīng)調(diào)節(jié)，控制器經(jīng)過更短時間的調(diào)整后使跟蹤誤差快速地收斂到零，而由于混沌系統(tǒng)是非線性程度較強的系統(tǒng)，PID控制的效果最差。

同時, 通過對比圖6中3個控制信號可見，濾波反演自適應(yīng)滑模控制方法在這3種控制信號中幅值是最小的，這也證明了此控制方法能夠在一定程度上削減抖振。圖7給出的是兩種反演滑模控制方法中系統(tǒng)總的不確定部分w的估計結(jié)果，結(jié)果表明ESO對系統(tǒng)的不確定性具有良好的估計能力。進一步比較圖7(a)與圖7(b)可知，濾波反演自適應(yīng)滑模控制方法中的ESO的估計效果要好于常規(guī)反演滑模控制中的ESO的估計效果。圖8給出了濾波反演自適應(yīng)滑模控制中切換增益ε(t)的自適應(yīng)曲線，參數(shù)ε(t)最終收斂至8左右，小于常規(guī)反演滑模控制方法中直接給定的控制增益ε=12。

5 結(jié) 語

本文綜合運用反演自適應(yīng)控制和擴張狀態(tài)觀測器理論，提出了一種狀態(tài)不可測的不確定非線性混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)滑模控制方法。通過非線性坐標變換，將一般的非線性系統(tǒng)模型變?yōu)楦m宜Backstepping控制器設(shè)計的嚴格參數(shù)反饋形式。設(shè)計了線性擴張狀態(tài)觀測器估計系統(tǒng)未知狀態(tài)及不確定項，并基于Backstepping策略設(shè)計自適應(yīng)滑模控制器以保證系統(tǒng)的跟蹤誤差漸近收斂至零點。同時，虛擬控制信號的導數(shù)通過濾波器獲得，避免了解析求導，簡化了控制器的設(shè)計過程。與常規(guī)反演滑模控制器及PID控制的對比仿真表明了該自適應(yīng)控制器的有效性與優(yōu)越性。