頁巖氣壓裂水平井控壓生產動態預測模型及其應用

賈愛林 位云生 劉 成 王軍磊 齊亞東 賈成業 李 波

1.中國石油勘探開發研究院 2.中國石油浙江油田公司 3.華能國際電力開發公司

0 引言

通常認為頁巖氣井產能下降是由于儲層應力敏感導致介質傳導能力下降而造成的[1-3]。根據有效應力與原地應力、孔隙壓力之間的函數關系[4]可知，隨著頁巖氣井的生產，地層壓力逐漸衰減，地層/裂縫受到的有效應力逐漸增加，由于裂縫中支撐劑流失、嵌入和被壓碎，頁巖氣流動的通道發生變形，導致其滲流能力降低。頁巖氣的開發實踐表明，控壓限產的生產方式可以有效提高頁巖氣最終可采量（以下簡稱為EUR）[5-7]。在北美地區，相比于Barnett、Marcellus等頁巖氣藏，Haynesville頁巖由于地層壓力較高，儲層應力敏感性特征顯著，在氣藏的實際開發過程中廣泛采用控壓限產的生產方式，實踐證明該方式較放壓生產方式，單井EUR可普遍提高28%[8]；國內長寧—威遠、昭通等頁巖氣示范區的地質條件與Haynesville頁巖氣藏相似，經過幾年的現場試驗后也逐步在推廣控壓限產的生產方式[9-10]。

與放壓生產相比，控壓限產有利于降低壓裂液返排率，更重要的作用在于保持人工裂縫的長期開啟，緩解滲流場的應力敏感效應[4,11]。裂縫系統的應力敏感效應直接受有效應力場控制，當原地應力場的變化幅度很小時，利用線性關系，有效應力可近似轉換為孔隙壓力，將壓力場的模擬結果與應力敏感曲線相結合可用于氣井生產動態的分析[12-14]，該方法雖簡潔有效，但有效應力估計值偏低，導致單井EUR預測值偏高，同時由于無法模擬井底壓力對有效應力場的直接影響，使得放壓和控壓兩種生產方式所引起的產量差異不明顯。尤其對于頁巖等非常規儲層，壓力場變化會引起原地應力場發生顯著變化，國內外學者較多利用流固耦合數值模型[4,15-16]、應力解析模型[17-18]來精確表征生產過程中壓力場—應力場的耦合變化，雖然能模擬不同控壓制度下單井的開發指標，但模型過于復雜且計算代價巨大，難以推廣應用。

為了理清頁巖氣壓裂水平井采取控壓生產制度延緩裂縫閉合與提高單井EUR的內在聯系，明確控壓生產的氣藏工程意義，筆者以有限導流裂縫為基本流動單元，引入變應力敏感系數，建立地層—裂縫耦合的壓裂水平井生產動態預測模型并求解，并與經典模型、Saphir軟件數值模型的計算結果進行對比，在此基礎上，采用所建立的模型分析了應力敏感性特征參數、控壓生產制度等因素對壓裂水平井生產動態的影響，進而對某兩口實例井在不同控壓制度下的生產動態進行擬合和預測。

1 裂縫—地層耦合流動模型

1.1 假設條件與參數

水平井進行水力壓裂改造后，流體從地層到井筒的流動分為從地層到裂縫和裂縫內部這兩個部分。裂縫與地層中的流量及壓力在裂縫壁面處相等，由此將這兩個部分流體的流動進行耦合，然后通過計算得到不同時刻地層中任一點的壓力。具體假設如下：①矩形地層均質、等厚，四周及上下均封閉；②壓裂裂縫縱向上穿透地層，裂縫垂直于水平井筒且關于井筒呈不對稱分布，且由跟端到趾端依次排列第1, …, n,…, nf條裂縫；③氣井以定井底壓力進行生產，整個流動過程均符合達西定律，不考慮井筒管流的影響；④氣井生產引入擬壓力，將氣體流動問題等效轉換為液體流動問題；⑤考慮人工裂縫具有強應力敏感性，未考慮儲層基質的應力敏感性[4-6]。

擬壓力表達式為：

式中pp表示擬壓力，Pa；μg表示氣體黏度；Pa·s；Zg表示氣體偏差因子；p表示地層壓力，Pa；p'表示壓力積分符號，Pa；下標i表示初始狀態。

相對于滲透率的應力敏感性，孔隙度的應力敏感性通常可忽略[19]。隨著裂縫承受的有效應力不斷增加，裂縫發生閉合，滲透率/導流能力降低，這里設定裂縫滲透率與有效應力呈指數關系，如式（2）所示；同時，由于不同區域有效應力變化的速率不同，導致裂縫的閉合程度也不同，且隨時間變化裂縫的導流能力將發生變化。

式中Kf表示裂縫滲透率，1012D；df表示滲透率模量，Pa-1；σeff表示有效應力，Pa；下標f表示裂縫。

由于裂縫壁面粗糙度較大，即使裂縫已經不再隨有效應力增加而閉合，裂縫仍具有一定滲流能力，此時所對應的最小裂縫滲透率（Kf,min）仍遠高于基質滲透率[20]。將式（2）改寫為：

式中下標min表示最小值。

為方便與滲流模型相結合，需將式（3）與孔隙壓力建立起函數關系。由于有效應力、原地應力和孔隙壓力滿足的關系式為：

式中σ表示原地應力，Pa；α表示Biot系數。

應力差與孔隙壓力差的關系式為[17]：

式中υ表示泊松比。

式中γf表示應力敏感系數。

df為常量或是與有效應力相關的變量，具體形式取決于介質類型。通常，對于硬地層，df為常量，而對于軟地層，df則為變量。Alramahi和Sundberg[20]提供了不同硬度地層中裂縫導流能力的實驗數據，并進行最優擬合，結果顯示對于硬地層，裂縫滲透率的自然對數與有效應力呈線性關系，而對于軟地層，二者滿足二項式關系。由長寧地區龍馬溪組頁巖人工裂縫的應力敏感性實驗的測試結果，顯示裂縫滲透率的自然對數與有效應力滿足二項式關系（圖1），滲透率模量是有效應力的函數，而不是常量。

圖1 Kf與σeff的半對數擬合曲線圖

基于滲透率模量與有效應力的函數關系式，再結合有效應力與孔隙壓力的關系式，應力敏感系數的表達式可轉換為：

式中a、b分別表示應力敏感特征系數；pf表示裂縫壓力，Pa。

為便于研究，定義無量綱時間（tD）、裂縫長度（LD）、導流能力（CfD）和應力敏感系數（γfD），具體表達式為：

式中Km表示儲層滲透率，1012D；t表示時間，s；φm表示儲層孔隙度；μ表示流體黏度，Pa·s；Ct表示綜合壓縮系數，Pa-1；Lref表示參考長度，m；L表示裂縫長度，m；wf表示裂縫寬度，m；aD、bD分別表示無量綱應力敏感特征系數；下標D表示無量綱。

在定產量條件下，針對裂縫無量綱壓力（pfD）、應力敏感系數（γfD）、流量（qwfD）及流量密度（εfD）的定義式為：

式中h表示儲層厚度，m；qw表示水平井流量，m3/s；B表示流體體積系數；qwf表示裂縫流量，m3/s；εf表示裂縫流量密度，m2/s。

在定井底壓力條件下，針對裂縫無量綱壓力、應力敏感系數、流量及流量密度的定義式為：

式中pw表示井底壓力，Pa。

對于氣井生產而言，需將式（12）、（16）～（19）中的壓力替換為擬壓力，相應式（8）、（12）、（18）～（19）中的 μ、B 替換為 μgi、Bgi。

1.2 數學模型的建立

地層中流體在裂縫中的流動為變流量密度線性流，而后由裂縫匯入到井筒中的流動為近井筒徑向流。因此，可將裂縫和井筒視為兩個獨立的流動空間（圖2）。

圖2 流體在裂縫和井筒中的流動模式示意圖

將裂縫內流體的流動簡化為一維穩態流動[21]，使用流量密度函數εf(x)描述流體沿裂縫的流動。點源函數δ描述井筒的采出，則第n條裂縫內流體流動的無量綱方程為：

式中xD表示無量綱裂縫坐標；xwfD表示無量綱井筒位置坐標；qcD表示無量綱截面流量；LfD表示無量綱裂縫長度；表示長度積分符號；下標n表示第n條裂縫。

無量綱動態導流能力計算式為：

式中CfD,min表示最小無量綱導流能力。

式（20）是典型的非線性微分方程，無法直接求解。筆者采用坐標轉換法進行線性化處理，轉換式為：

將式（22）代入式（20），再進行偏導數轉換，可得新的壓力控制方程，即

式中H表示Heaviside階躍函數。

式（23）符合線性微分方程的形式，對該式進行雙重積分，同時考慮近井筒附近的聚流效應，可以獲得裂縫內的無量綱壓力方程，即

式中pwD表示無量綱井底壓力；G表示Heaviside階躍函數的積分函數；ξwfD表示轉換坐標下的無量綱井筒位置坐標；Sc表示裂縫內聚流表皮因子；hD表示無量綱儲層厚度；rwD表示無量綱井筒半徑。

對式（24）進行離散化處理，認為流體流量在裂縫網格上均勻分布，對應離散形式為：

式中C表示裂縫導流影響函數；下標i、j表示裂縫網格序號。

地層邊界Γ滿足的封閉條件為：

式中pm表示儲層壓力，Pa；nB表示沿邊界的法向量，m。

以每個裂縫網格幾何中心為計算點，根據位勢疊加原理可以得到第n條裂縫第j個網格內的壓力分布，即

利用Green函數和Newman乘積法[22]計算裂縫微元對應的壓力擾動解。在裂縫面上對儲層與裂縫系統進行壓力與流量的耦合，即

分別將式（25）、（27）代入式（28）、（29），得耦合流動方程組為：

式（30）是關于裂縫網格流量密度、裂縫流量和井底壓力的方程組，可寫成如下復合矩陣形式，即

第n條裂縫對第m條裂縫產生的子矩陣為：

式（32）等號右側第1個矩陣為地層流動矩陣，只與裂縫網格空間位置有關，第2個矩陣為裂縫內部流動矩陣，第3個矩陣為井筒流出矩陣。

2 模型求解及驗證

式（22）表明ξD是裂縫方向上與壓力分布相關的函數，若給定第k個時間步的壓力分布，則可獲得該時間步下沿裂縫方向的導流能力分布。因此，可以由式（31）、（25）分別計算得到第k個時間步沿裂縫的無量綱流量與壓力，然后根據式（33），在新坐標系[由式（22）轉換得到]下計算第（k+1）個時間步沿裂縫的無量綱壓力，結果由所編制的程序通過迭代計算得到。

本文所提出的半解析模型的優勢在于能夠快速模擬封閉地層中變應力敏感系數影響下的壓裂井生產動態。將本文模型的計算結果與經典模型的計算結果進行對比，對于有限導流的對稱裂縫，采用Cinco-Ley等[21]建立的模型進行計算，對于有限導流的非對稱裂縫，采用Berumen等[22]建立的模型進行計算，均不考慮聚流表皮因子的影響，裂縫條數設為1，地層為無限大。如圖3所示，本文模型與經典模型的計算結果基本吻合。

圖3 本文模型與經典模型計算結果對比圖

對于存在多條裂縫的情況，將本文模型的計算結果與Saphir軟件數值模型的計算結果進行對比，設置儲層厚度為2.9 m，基質滲透率為0.001 mD，基質孔隙度為10%，裂縫寬度為0.012 7 m，裂縫半長為114.95 m，裂縫孔隙度為35%，原始地層壓力為50 MPa，流體黏度為1 mPa·s，綜合壓縮系數為4.35×10-4MPa-1，裂縫條數為15條，初始無量綱導流能力為10π，最小無量綱導流能力為0.1π，模型長度為4 598 m，寬度為2 299 m，aD、bD選取4種不同的組合，其中組合1（aD=0、bD=0）對應于不存在應力敏感性的裂縫模型，組合3（aD=0、bD=1）對應于常應力敏感系數裂縫模型，組合2（aD=1、bD=1）、4（aD=1、bD=0）對應于變應力敏感系數裂縫模型。通過對比，發現本文模型與Saphir軟件數值模型的計算結果基本吻合（圖4）。

圖4 本文模型與Saphir軟件數值模型計算結果對比圖

3 影響因素分析及實例應用

3.1 影響因素分析

影響壓裂水平井生產動態的因素可分為裂縫參數（包括裂縫初始導流能力、長度、條數及空間位置等）和應力敏感性特征參數（包括aD、bD及最小導流能力）。本文建立一種理想模式，即在泄流區域的中心位置均勻部署等長、等導流能力、等應力敏感特征參數的多條裂縫進行影響因素分析。若aD、bD都等于0，對應裂縫則為常導流能力裂縫（簡稱常導流縫），否則為動態導流能力裂縫（簡稱動態導流縫）。

對于動態導流縫，隨著氣井的生產，裂縫發生閉合，裂縫導流能力降低，壓力波的傳播受到抑制。相同時間內常導流縫壓力波的傳播速度要快于動態導流縫壓力波的傳播速度（圖5）；隨時間的延續，裂縫導流能力逐漸降低，且趨近于井點處的裂縫導流能力（圖6）。

如圖7所示，隨著tD增加，氣井的無量綱產氣量qwD（由前述qwfD求和得到）不斷遞減；對于動態導流縫，aD、bD的不同組合決定了qwD的下降幅度不同；應力敏感系數較小（aD=1、bD=1）時，qwD曲線趨近于常導流縫（CfD=100π）對應的qwD曲線，應力敏感系數較大（aD=1、bD=10）時，qwD曲線趨近于常導流縫（CfD=0.1π）對應的qwD曲線。

如圖8所示，在氣井的整個生產周期內，aD=1、bD=1組合下，動態導流縫的CfD都維持在較高水平（介于42.780～314.000），與常導流裂縫（CfD=100π）影響下氣井的無量綱累計產氣量（GpD）曲線基本重合，這是由于高導流能力（CfD＞300）與中導流能力（30＜CfD＜300）裂縫對氣井累計產氣量的貢獻接近；aD=1、bD=10與aD=10、bD=1組合下，動態導流縫的導流能力較低，且最后趨近于0.315，相應GpD曲線與常導流裂縫（CfD=0.1π）影響下的GpD曲線接近。

另外，裂縫參數（裂縫條數、縫長、縫寬等）也會對氣井生產動態產生影響，尤其增加裂縫條數、縫長能夠有效提高氣井累計產氣量的增長幅度，因此，合理設計裂縫參數以指導頁巖氣水平井的壓裂實踐意義重大。

圖5 裂縫應力敏感性影響下沿裂縫pfD分布圖

圖6 裂縫應力敏感性影響下沿裂縫分布圖

圖7 考慮裂縫應力敏感性影響的氣井qwD曲線圖

圖8 考慮裂縫應力敏感性影響的氣井GpD及平均CfD曲線圖

3.2 控壓增效潛力分析

氣井生產采取控壓方式時，對于存在動態導流縫的情況，氣井的無量綱壓力隨著時間增加逐漸偏離存在常導流裂縫情況下氣井的無量綱壓力；而氣井生產采取放壓方式時，自開井伊始動態導流縫的導流能力即發生大幅度衰減，產量即偏離常導流縫存在時的氣井產量，且定壓時間越早，偏離程度越大。當無量綱井底壓力較小時，累計產氣量也較小，且無論裂縫導流能力為常量還是變量，對氣井累計產氣量的影響基本一致。（圖9）

因此，制訂合理的井底壓力，可以控制裂縫的閉合，緩解產量降低的幅度，進而提高氣井的累計產氣量。本文采用式（31）來表征控壓生產中井底壓力的變化，當平均衰減壽命取無窮小時，即相當于氣井一開井則進入定壓階段。

圖9 不同pwD下氣井GpD曲線圖

井底壓力與平均衰減壽命的關系式為：

式中pwf表示定井底壓力值，Pa；τ表示平均衰減壽命，s。

由式（7）定義應力敏感系數，模擬不同τD下氣井的累計產氣量，結果顯示與放壓方式相比，控壓方式下的累計產氣量雖在生產早期低于放壓方式下的累計產氣量，但最終的累計產氣量更高，該結果也與采用流固耦合模型模擬的結果[4,15,17]趨勢一致（圖10）；同時，使用變應力敏感系數模型計算的累計產氣量要低于常應力敏感系數模型計算的結果，這與Mirani等[16]使用流固耦合模型計算的結果也一致，進一步驗證了所建立模型的正確性。

如圖11所示，在放壓方式下，由于裂縫閉合嚴重，導致裂縫導流能力迅速遞減至最小值，而氣井一開井產氣量即為最高，隨后逐漸遞減，無穩產期；在控壓生產方式下，井底壓差逐漸增加至最高值，延緩了裂縫導流能力衰減的速度，氣井產氣量呈現為逐漸增加至最高值后，再逐漸遞減的變化趨勢；在某個時間點后控壓方式下的氣井產氣量將超過放壓方式下氣井的產氣量，若控壓制度制訂合理，氣井的生產將出現明顯的穩產期。

圖10 不同τD下單井GpD曲線圖（aD=1、bD=1）

3.3 實例應用

壓裂水平井的開發效果取決于地質條件、工程條件和生產制度等因素。此次選取某建產區地質參數和工程參數相近、生產制度不同的兩口井進行分析，其中HD井采用短期控壓方式生產，MD井采用長期控壓方式生產。在地質方面，龍馬溪組的優質頁巖段為龍一1亞段，其中又以龍和龍小層為最優，是水平井鉆進的最優靶位，如表1所示，HD井鉆遇龍和龍小層的長度合計為717.7 m，而MD井僅鉆遇龍小層513.6 m；在工程方面，HD井的壓裂段長度和壓裂段數雖低于MD井，但其壓裂加砂量是MD井加砂量的1.5倍（表2）。總體判斷，若無其他因素的影響，HD井的開發效果應優于MD井。

圖11 放壓、控壓方式下平均CfD、qwD曲線圖

表1 水平井頁巖層位鉆遇情況統計表

表2 水平井工程參數對比表

但從氣井的實際生產動態來看，HD井前3個月的壓降速率為0.278 MPa/d，MD井僅為0.13 MPa/d，但MD井前3個月單位壓降采氣量為64.7×104m3/MPa，遠高于HD井的37.8×104m3/MPa，前者是后者的1.7倍；從目前生產情況來看，HD井的日產氣量已低于MD井（圖12）。造成此種差異的一個重要原因即在于HD井采用短期控壓制度進行生產，而MD井采用長期控壓制度進行生產。

圖12 HD井與MD井采氣曲線圖

通過比較單井EUR更能體現出生產制度差異帶來的影響。使用Laplace正演算法將實時空域上井底壓力轉換為Laplace空間值[23]，代入本文模型，對氣井產氣量進行擬合，獲取裂縫動態參數，在此基礎上進行產量預測。如圖13所示，生產時間在4年以內HD井累計產氣量要高于MD井，而5年以后長期控壓生產的優勢逐漸顯現，20年末MD井的累計產氣量為0.805×108m3，而HD井的累計產氣量為0.636×108m3，前者是后者的1.27倍。可以看出，合理的控壓生產制度可以使氣井累計產氣量增加25%以上。

圖13 HD井與MD井累計產氣量擬合及預測曲線圖

4 結論

1）所建立的模型與經典模型、Saphir軟件數值模型計算的結果基本吻合；

2）應力敏感性的存在使得裂縫導流能力隨著氣井生產而遞減，從而導致氣井累計產氣量減低，且應力敏感性越強，累計產氣量減低的幅度越大；

3）與放壓方式相比，采用控壓方式生產的頁巖氣壓裂水平井的初期產氣量及累計產氣量雖偏低，但最終累計產氣量卻更高，可以看出頁巖氣壓裂水平井采取長期控壓生產的方式更具合理性。