在反芻、聯(lián)系中培養(yǎng)函數(shù)模型思想
——以“研究一次函數(shù)與一元一次不等式的關系”為例

■王憲成

筆者于2017年參加了蘇州市初中數(shù)學青年教師基本功大賽，獲得了一等獎第一名，課題是“研究一次函數(shù)與一元一次不等式的關系”。下面，筆者以本節(jié)課的教學設計為例，談一談在反芻、聯(lián)系中培養(yǎng)學生函數(shù)模型思想的感悟及認識。

一、教材、學情分析

本節(jié)課內(nèi)容是一次函數(shù)的概念、圖像與性質(zhì)，以及一次函數(shù)與二元一次方程（組）的后續(xù)學習內(nèi)容，旨在進一步研究一次函數(shù)、一元一次方程、一元一次不等式之間的關聯(lián)性，感悟數(shù)形結(jié)合思想、模型思想，既是對前面所學知識的豐富，也是為學習反比例函數(shù)、二次函數(shù)與方程、不等式的知識做鋪墊。

八年級學生在“數(shù)與式”板塊已掌握實數(shù)、代數(shù)式、一元一次方程、二元一次方程組、一元一次不等式（組）、一次函數(shù)等知識。對于不等式2x+4＞0，學生都能正確解答。有的從不等式的解法出發(fā)；有的基于一次函數(shù)圖像，運用數(shù)形結(jié)合思想，從“形”的角度解決“數(shù)”的問題。但對于不等式2x+4＞2.56呢？還能直接利用圖像分析嗎？這就得從“數(shù)”的角度補助“形”的認識。數(shù)學家華羅庚先生講的“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”，就是這個道理。“數(shù)”“形”之間的關系是相互的，不是單一的，同時，這也遵循了八年級學生的認知規(guī)律和年齡心理特征。

二、教學目標

經(jīng)歷一次函數(shù)、一元一次方程和一元一次不等式三者關系的探究，進一步豐富對方程、不等式與一次函數(shù)的認識，感悟“數(shù)形結(jié)合”思想、模型思想；用一次函數(shù)圖像解一元一次方程、一元一次不等式；反過來，用一元一次方程、一元一次不等式的解與解集解決與一次函數(shù)相關的實際問題；通過觀察、思考、交流、驗證等培養(yǎng)學生的學習方式和思維習慣。

三、教學重、難點

重點：用一次函數(shù)圖像解一元一次方程、一元一次不等式；反過來，用一元一次方程、一元一次不等式的解與解集解決與一次函數(shù)相關的實際問題。

難點：根據(jù)一次函數(shù)的圖像直接解決一元一次方程、一元一次不等式相關問題。

四、教學過程

1.情境創(chuàng)設，“數(shù)學”思考。

背景材料：一根長25cm的彈簧，一端固定，另一端掛物體。在彈簧伸長后的長度不超過35cm的限度內(nèi)，每掛1 kg質(zhì)量的物體，彈簧伸長0.5cm。

請你設計一個問題，讓同學們嘗試解決，并說說為什么這樣設計。

設計意圖：以一個開放性的材料為背景導入，培養(yǎng)學生問題意識，引導學生自主建立起一次函數(shù)、一元一次方程和一元一次不等式的三者關系框架，嘗試用多種方式解決問題，并有意識地用數(shù)學概念、原理、方法去理解、描述以及解決現(xiàn)實問題。該思想就是模型思想。

在課堂教學實施環(huán)節(jié)，筆者捕捉了下列“生成性”教學資源來組織課堂教學。

生1：掛10kg重物時，彈簧長度為多少？

生2：掛多重的物體時，彈簧長30cm？

生3：彈簧所掛物體的最大質(zhì)量是多少？附解答：設掛xkg的重物，（25+0.5x）≤35。這樣設計的原因是可以知道彈簧所掛重物的最大質(zhì)量是多少。

生4：現(xiàn)在彈簧長度為xcm，假設掛了nkg物體（n≤20），則彈簧伸長ycm，求此一次函數(shù)的表達式和x的范圍。

生5：（1）請畫出其圖像；（2）當彈簧長30cm時，掛了多少kg重物？在圖像上找出這個點；（3）當掛6-13kg的重物時，求彈簧的長度范圍。

教師追問：（1）回顧反思上述生1至生3的問題，你能用另一種表達方式解決這些問題嗎？（引出生4、生5的問題。）

（2）當x=10時，就能得到一個一元一次方程y=0.5×10+25；當y=30時，也能得到一個方程30=0.5x+25。從圖像“形”角度上看，每一對解都有什么樣的解釋呢？

（3）當y≤35時，能得到一元一次不等式0.5x+25≤35，解不等式便能解決問題，從圖像上看，哪一部分圖像能對應該不等式？你有什么新的想法？

（4）若彈簧長度是33.8 cm，求所掛物體的質(zhì)量。若彈簧長度不超過33.8 cm，求所掛物體的質(zhì)量的取值范圍。你是如何解決的？

教學活動組織：學生獨立思考、師生對話、生生對話交流解決上述問題。

設計意圖：引導學生從算式解法過渡到方程、不等式、函數(shù)的視角，自主建立一次函數(shù)、一元一次方程、不等式之間的聯(lián)系，深刻體會“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”的內(nèi)涵，尤其體會每個數(shù)學模型各自的優(yōu)越性以及之間的聯(lián)系，實現(xiàn)模型思想、數(shù)形結(jié)合思想的滲透，潤物細無聲。

2.學以致用，解決問題。

問題1：試根據(jù)一次函數(shù)y=2x+4的圖像，說出2x+4=0、2x+4＞0、2x+4＜0的解或解集。

圖1

變式1：（1）試根據(jù)一次函數(shù)y=2x+4的圖像，直接說出2x+4=4、2x+4＞4、2x+4＜4的解或解集。你是如何看出的？

（2）能否根據(jù)一次函數(shù)y=2x+4的圖像，直接說出2x+4=2.56、2x+4＞2.56、2x+4＜2.56的解或解集？應該如何解決？

（3）一般性思考：通過上述問題的解決，思考如何由一次函數(shù)產(chǎn)生一元一次方程、一元一次不等式問題，又是如何解決的呢？

問題2：在同一個坐標系中畫出一次函數(shù)y=2x+4和y=-2x的圖像，求不等式2x+4＞-2x的解集。你是如何思考的？

變式2：如圖2，一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）和y=mx（m≠0）的圖像交于點A，點A的橫坐標為-1，直接寫出下列關于x的方程的解或不等式的解集：

（1）kx+b=mx；

（2）（k-m）x+b＞0。

問題3：嘗試獨立思考教材中“嘗試”板塊問題，并與大家交流分享。

圖2

設計意圖：課始，由實際問題出發(fā)，激發(fā)學生用已掌握的數(shù)學知識、技能方法解決問題。在這個過程中，學生厘清了一次函數(shù)、一元一次方程、一元一次不等式三者之間的關系，使得學習回到了數(shù)學內(nèi)部。而以上問題串以及變式，幫助學生進一步強化理解。

3.回顧反思，鞏固練習。

回顧如何由一次函數(shù)產(chǎn)生一元一次方程、一元一次不等式問題的，又是如何解決的，再次體會它們之間的相互關系。

課堂練習：教材中的練習。

4.作業(yè)布置。

必做題：6.6習題1-4。

選做題：如圖3，一次函數(shù)y=mx+n和y=kx+b的圖像交于點P（1，2），y=mx+n的圖像交y軸于點A（0，1）。

直接寫出下列關于x的不等式（組）的解集：

（1）1＜mx+n＜kx+b；

（2）（k-2）x+b＜0。

五、教學反思

1.反芻“方程”的重要地位及意義。

本節(jié)課的課題是“研究一次函數(shù)與一元一次不等式的關系”，為什么沒有“方程”呢？方程在這“三個一次”數(shù)學模型中“功不可沒”。不等式的學習過程就是類比的過程，而方程的解往往又能表現(xiàn)在不等式解集的“臨界值”上，方程與一次函數(shù)的關系更緊密。

圖3

例如，問題情境中的（20，35）這個點是如何找到的？先固定y=35，則35=0.5x+25，得到一元一次方程，解得x=20，于是找到點（20，35）。而如何從圖像“形”的角度看待0.5x+25≤35？0.5x+25≤35即y≤35，找臨界值y=35（假如原式是y＜35，也是引導學生抓住臨界值y=35），此時，x=25。從“形”的角度看，找到一個“臨界點”（20，35）。對于不等式0.5x+25≤35，即y≤35，從“形”上看，就是圖像上該“臨界點”下方的部分，于是直觀感知x≤20。

2.聯(lián)系地、發(fā)展地、整體地教與學，指向“深度學習”。

一次函數(shù)、一元一次方程、一元一次不等式這三者內(nèi)在的聯(lián)系到底如何認知？我們不能單向、片面化地理解。本節(jié)課的定位是以“函數(shù)”為核心回看方程、不等式，并從“數(shù)、式”和“形”的雙重角度闡釋函數(shù)與它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，以體現(xiàn)數(shù)學關聯(lián)性、整體性、發(fā)展性，也是前面所學知識的自然延伸。而方程的解往往又是不等式的臨界值，反映在函數(shù)圖像上就是臨界點。本節(jié)課的重點應該是以前面的兩個角度“回看”方程和不等式，反之，當在圖像上不能直接看出時，就體現(xiàn)出方程和不等式這兩個重要的數(shù)學模型也能研究函數(shù)問題。

如背景材料中的問題設計，從課堂的生成性資源來看，學生能自覺用不同的數(shù)學模型來設計、解決問題。但筆者并不止步于此，而是進行追問：回顧反思上述生1至生3的問題，你能用另一種表達方式解決這些問題嗎？目的是引發(fā)學生思考，除了算式、一元一次方程、一元一次不等式數(shù)學模型，還有函數(shù)這一重要模型。這樣，學生既能感受知識之間的聯(lián)系和區(qū)別，又能認識到代數(shù)領域內(nèi)知識的發(fā)展性、整體性。這樣的學習才能讓學生對知識有更深刻的認識，即“深度學習”。

3.在自然生成中感悟數(shù)學模型思想，發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)。

《義務教育數(shù)學課程標準》（2011年版）提出：有效的教學活動是學生學與教師教的統(tǒng)一，學生是學習的主體，教師是學習的組織者、引導者與合作者。教師教學應該以學生的認知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗為基礎，面向全體學生，注重啟發(fā)和因材施教。

基于此，筆者設計的開放性問題既培養(yǎng)了學生的問題意識，又重視學生已有的經(jīng)驗，使學生在體驗從實際背景中抽象出數(shù)學問題、建構數(shù)學模型、尋求結(jié)果、解決問題的過程中，提升解決問題能力，提升數(shù)學素養(yǎng)，引導學生用數(shù)學眼光觀察世界、用數(shù)學思維思考世界、用數(shù)學語言表達世界，有效發(fā)展了學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。從課堂教學實施環(huán)節(jié)捕捉的“生成性資源”來看，學生在提出問題過程中，是能夠有意識地用數(shù)學模型解決問題的，從而進一步感悟數(shù)學模型的功能、價值。

本文為江蘇省教育科學“十三五”規(guī)劃立項課題“初中數(shù)學生成性教學實踐研究”（課題編號：C—b/2018/02/38）階段性研究成果。