改進的正弦混沌系統及性能分析?

高曉蕓 吳成茂 田小平

（西安郵電大學電子工程學院 西安 710121）

1 引言

混沌行為廣泛存在于許多自然和非自然現象中，如香煙燃燒的運動，海水的潮汐運動，天氣和氣候［1］等，混沌理論科學研究促進了人們對自然的認識。混沌是一種非線性現象，是確定性非線性系統產生的類似隨機性的行為，確定但又難以預測［2］。混沌是指在非線性動力系統中出現的確定性、類似隨機的過程，這種過程既非周期又非收斂，并且對初值具有極其敏感的依賴性［3～6］。正是因為這些重要的性質，混沌理論被廣泛應用在不同的科學和工程領域［7～9］，尤其在密碼學和通信［10～12］領域。混沌系統的遍歷性、偽隨機性、有界性、對初始值高度敏感性，使混沌系統生成的偽隨機序列很適合于信息加密，具有良好的擴散和混亂效果。因此，如何產生一種具有優良混沌性能的混沌系統顯得尤為重要。

近年來也不斷有新的混沌系統被提出，其中文獻［13］提出了一種利用已有的混沌映射獲取新混沌映射的輪切換系統，但生成的新混沌映射的混沌性能有限，不具有魯棒性［14］。文獻［15］引入了一個參數控制混沌系統來生成新的混沌映射，生成的混沌映射一些具有良好的魯棒性，而有的則混沌性能較差，不具穩定性［16］。文獻［17］提出了一個新的一維混沌系統，可以生成具有魯棒性的新混沌映射，但是由于包含模塊化操作，故新混沌映射的性能可能無法在理論上進行分析［18］。

針對基于正弦變換的混沌系統（sine-transform-based chaotic system，STBCS）構 造 出 來 的Tent-Sine混沌映射的魯棒性、復雜性和不可預測性低等不足，文章提出了Tent-Sine混沌的延時混沌映射。首先是對Tent-Sine混沌映射執行延時一到八個單位的延時操作，再通過Matlab仿真，對各個延時Tent-Sine混沌映射的分叉圖、樣本熵、Kolmogorov熵測試與分析，實驗結果表明了該方法的有效性。

2 傳統的混沌系統

Sine映射、Tent映射是兩種常見的經典混沌系統，它們將被用作種子映射來生成新的混沌映射。

Sine混沌映射是由正弦函數派生出來的正弦映射，它是將[0，1/π]范圍內的輸入角度轉換到一定范圍內輸出。正弦映射的數學模型定義如下：

其中xi是輸入，xi+1是輸出，S(xi)表示Sine映射，r是控制參數。其分叉圖如圖1（a）所示。

Tent映射根據其范圍拉伸或折疊輸入變量，若輸入小于0.5，則延長輸入；否則折疊輸入。Tent映射定義如下：

其中xi是輸入，xi+1是輸出，T(xi)表示Tent映射，r是控制參數。其分叉圖如圖1（b）所示。

分叉現象是指動力系統的定性行為隨著參數的改變而發生質的變化，用于描述動力系統的輸出范圍隨其參數的變化情況。

3 正弦變換混沌映射系統

3.1 正弦變換混沌系統的構造方法

正弦變換混沌系統構造的原理示意圖如圖2所示。

圖2 正弦變換混沌系統構造原理圖

其中 f(a，xi)和 g(b，xi)分別是具有控制參數a和b的兩個種子映射，該組合是兩個經典種子混沌映射線性加權的輸出，而正弦變換對組合的結果執行非線性變換。在每次迭代的過程中，輸入xi被同時反饋到 f(a，xi)和 g(b，xi)中，然后對f(a，xi)和g(b，xi)的組合輸出進行正弦變換。

設N(xi)表示STBCS，其定義如下：

任何現有一維混沌映射都可用作STBCS的種子映射。用戶可將種子映射 f(a，xi)和g(b，xi)設置為相同或不同的混沌映射。

1）當 f(a，xi)和 g(b，xi)是相同的一維混沌映射時，STBCS可表示為

或

在這種情況下，兩個不同控制參數混沌映射的輸出線性組合，而并非線性變換以獲得更復雜的混沌行為，故STBCS的混沌性降低。

2）當所選 f(a，xi)和 g(b，xi)是兩個不同的一維混沌映射時，式（3）中定義的STBCS具有交換性。使用不同的 f(a，xi)和g(b，xi)可生成大量新的混沌映射，這些新的混沌映射和它們對應的種子混沌映射是完全不同的，且總是具有更復雜的混沌行為。

此外，圖2中STBCS的結構可以進一步擴展為三個或更多個種子映射。如圖3所示。

圖3 多種子映射的混沌系統構造原理

圖3 為具有N個種子映射的STBCS擴展原理示意圖。每一次迭代會將輸入xi同時反饋到N個種子映射中，即 f1(a1，xi)，f2(a2，xi)，…，fN(aN，xi)，并且對所有種子映射的輸出進行正弦變換，這為用戶選擇種子混沌映射提供了靈活性，生成的混沌映射具有更復雜的混沌行為和參數設置，因此它們具有更好的混沌性能，并產生更多的隨機的、不可預測的輸出序列。然而利用更多的種子映射可能會帶來一些負面影響，比如時間延遲，實施困難和分析復雜等問題。

3.2 基于正弦變換混沌系統產生混沌映射方法的一個例子

本節將介紹一個現有的一維種子混沌映射生成的混沌映射的例子。下面將以Tent-Sine（TS）映射為例對基于正弦變換的混沌系統進行說明。

定義：當選擇種子映射 f(a，xi)為Tent映射，g(b，xi)為Sine映射時，可以生一個稱為Tent-Sine（TS）的新混沌映射，并將其控制參數a、b分別設置為r和1-r，則TS混沌映射可定義如下：

其中 Q=(1-r)sin(πxi)。

3.3 改進的延時TS混沌的新型映射

延時TS混沌映射的表達式如下：

其中 Q=(1-r)sin(πxi-m)，m=1，2，…，8 ，m 表示TS混沌映射延時的單位數，如當m=1時表示TS混沌映射延時一個單位。

為了便于理解，下面也給出種子映射Tent映射、Sine映射的延時表達式：

1）延時Tent映射的表達式：

2）延時Sine映射的表達式：

4 實驗結果及性能分析

基于正弦變換混沌系統生成的Tent-Sine的延時混沌映射具有更好混沌性能。為了證明該性質，本節評估了TS延時混沌映射，并將原始未延時的、延時一到八個單位的新混沌映射進行比較和分析。具體從以下三個方面展開：分叉圖、樣本熵（Sample entropy，SE）［19］和 Kolmogorov熵（Kolmogorov entropy，KE）［20］。

4.1 分叉圖—混沌性和魯棒性分析

分叉圖用于描述動態系統的輸出范圍隨參數的變化情況。如圖4（a）為原始未延時TS映射的分叉圖，圖4（b）～（i）分別為TS映射延時一到八個單位時，其輸出范圍隨控制參數r變化的分叉圖。

從圖中可以看出，未延時的TS混沌映射在2＜r＜4時不具備魯棒性的混沌行為，而經過延時的TS混沌映射在整個參數范圍內都具有良好的魯棒性和混沌性。

4.2 樣本熵（SE）—復雜性分析

樣本熵（SE）來源于近似熵，它是時間序列復雜度的度量，可用來描述由動態系統產生序列的相似性。樣本熵的值越大，其規律程度越低，即動態系統越復雜。如圖5所示，對未延時TS混沌映射、延時一到八個單位的TS混沌映射的SE曲線圖作對比。圖5（a）為原始未延時TS映射的SE曲線圖，圖5（b）～（i）分別為TS混沌映射延時一到八個單位的SE曲線圖。

從圖中可觀察到，未延時的TS映射，當r≈0.04時 ，SE=0；當 0.04＜r≤0.92時 ，SE＜1；當0.92＜r≤1時，SE＞1。TS映射延時一個單位時，當0＜r≤1時，SE＜0.5。TS映射延時兩個單位時，當0＜r≤0.18時，SE≤1；當 0.18＜r≤1時，SE＞1。TS映射延時三個單位時，當 0＜r≤0.1且0.2＜r≤1時，0.5＜SE≤1；當 0.1≤r＜0.2時，SE＞1。TS映射 延 時 四 個 單 位 時 ，當 0＜r≤0.2時 ，0.6＜SE＜0.8；當 0.2＜r≤1時，SE≤0.6。TS映射延時五個單位時，當 0＜r≤0.2時，0.5＜SE＜0.6；當 0.2＜r≤1時，0.3＜SE＜0.5。TS映射延時六個單位時，當0＜r≤1時，0.4＜SE＜0.5。TS映射延時七個單位時，當0＜r≤1時，0.3＜SE＜0.4。TS映射延時八個單位時，當0＜r≤1時，0.2＜SE＜0.3。從以上分析來看，當TS映射延時兩個單位時，其SE值最大、大于1的范圍更廣且相對將穩定，這就意味著提出的延時兩個單位的TS映射比原始未延時的、延時其他單位的TS映射規律程度低，即動態系統更具復雜性。

圖4 TS映射的分叉圖

圖5 TS映射的SE曲線圖

4.3 Kolmogorov熵—不可預測性分析

KE是一種度量熵，它為有限對象的隨機性提供了數學解釋。它可用于使用其先前t次輸出軌跡需要多少額外信息去預測第（t+1）次輸出。確定的KE意味著需要額外的信息來預測軌跡，KE越大表示所需的信息越多。因此，具有正KE值的動力系統被認為是不可預測的，而更大的KE意味著更好的不可預測性。如圖6對由STBCS生成的原始未延時的TS混沌映射、延時一到八個單位的TS混沌映射的KE曲線圖作對比。圖6（a）為原始未延時的TS混沌映射的KE曲線圖，圖6（b）～（i）分別為TS混沌映射延時一到八個單位的KE曲線圖。

圖6 TS映射的KE曲線圖

從圖中可以看出，未延時的TS映射，當0＜r≤0.04時，KE=0；當0.04＜r≤0.8時，KE＜1；當0.8＜r≤1時，KE＞1。TS映射延時一個單位時，當 0＜r≤0.8 時 ，KE＜0.5 ；當 0.8＜r≤1 時 ，0.5＜KE＜0.7。TS映射延時兩個單位時，當0＜r≤0.22時，0.2＜KE＜0.8；當 0.22＜r≤1時，0.8＜KE＜0.9。TS映射延時三個單位時，當0＜r≤0.1 時 ，0.5＜KE＜0.8 ；當 0.1＜r≤1 時 ，0.8＜KE＜0.9。TS映射延時四個單位時，當0＜r≤0.1 時 ，0.5＜KE＜0.7 ；當 0.1＜r≤1 時 ，0.7＜KE＜0.8。TS映射延時五個單位時，當0＜r≤0.1 時 ，0.5＜KE＜0.7 ；當 0.1＜r≤1 時 ，0.7＜KE＜0.8。TS映射延時六個單位時，當0＜r≤0.1 時 ，0.5＜KE＜0.6 ；當 0.1＜r≤1 時 ，0.6＜KE＜0.7；TS映 射 延 時 七 個 單 位 時 ，當0＜r≤0.1 時 ，0.4＜KE＜0.5 ；當 0.1＜r≤1 時 ，0.5＜KE＜0.6。TS映射延時八個單位時，當0＜r≤0.1 時 ，0.3＜KE＜0.4 ；當 0.1＜r≤1 時 ，0.4＜KE＜0.5。從以上分析來看，當TS映射延時兩個單位、三個單位時，其KE值較未延時穩定，且相對延時其他單位的TS映射KE值更大。故延時兩個或三個單位的TS映射具有更好的不可預測性，其混沌性能更優。

4 結語

本文提出了一種基于正弦變換混沌系統產生的Tent-Sine混沌映射的延時混沌映射。它首先是對現有的種子映射Tent映射、Sine映射的輸出進行線性加權組合，其次對組合的輸出結果進行正弦函數變換，產生出Tent-Sine混沌映射，再對產生的Tent-Sine混沌映射分別進行一到八個單位的延時處理，得到延時后的新混沌映射，最后通過Matlab軟件仿真出各個延時的Tent-Sine混沌映射的分叉圖、樣本熵曲線和Kolmogorov熵曲線，并對它們進行一系列的測試、分析和對比。實驗結果表明，文章中提出的延時Tent-Sine混沌映射比未延時的Tent-Sine混沌映射有更大的混沌范圍，延時兩個單位的Tent-Sine混沌映射樣本熵的值大于1的范圍比原始未延時的、延時其他單位的映射均有所擴大，延時兩個和三個單位的Tent-Sine混沌映射其Kolmogorov熵的值更具穩定性。延時Tent-Sine混沌映射更具魯棒性，復雜性更高，具有更好的不可預測性。