基于非完全邏輯范式的無窮級數的教學探索

王 以 忠

（山東科技大學基礎課部， 山東 泰安 271021）

1 引言

數學家就客觀世界依據因果關系以抽象的形式構建出了結構嚴謹的邏輯數學體系，因此，數學具有邏輯構造性、抽象性和超驗性等特征。面對這樣結構嚴謹的邏輯體系，我們的數學教學當然要重視邏輯思維，重視學生的邏輯推理能力的訓練。邏輯推理是處理因果關系的有效方式，然而，自然并不是原因與結果的嚴格意義上的連續體，現實世界也并不是如“時鐘裝置般的自足且簡單”，實際上它是不確定的、具有高度非線性的復雜世界。因此，除了邏輯思維之外，非邏輯思維也應當引起足夠的重視。但是，目前我們的數學教學中，課程設計大多還是以序列性步驟邏輯地予以組織的，“不僅在課程中缺乏缺口、斷裂和刺孔，而且它們被視為消極因素[1]。”就是說，重視邏輯思維而輕視非邏輯思維，甚至排斥非邏輯思維的現象比較普遍。實際上，非邏輯思維不僅是我們解決一些實際問題的有效方式，更是我們進行創新的重要手段，許多發明創造并不是邏輯思維的結果，而是非邏輯思維的結果。因此，非邏輯范式應當引起我們高度的重視，這對萬眾創新以及我們從制造大國轉變為智造大國意義重大。所謂非完全邏輯范式就是結合邏輯思維與推理和非邏輯思維來研究和解決問題的一種范式。非邏輯范式教學是邏輯范式教學的重要補充，它不追求推理的嚴密性，而是注重發現、探索與創新。

近些年來隨著科學技術的飛速發展，人們也越來越重視大學數學的教學改革，相關的教學研究成果層出不窮。[2-4]無窮級數是分析數學的重要組成部分，是我們研究函數和解決實際問題的重要工具，相關的實際應用、教學研究以及理論研究都持續受到廣大學者的關注，涌現出了許多優秀的成果。[5-9]文獻[10]給出了一種新穎的無窮級數引入的教學設計。首先從實例出發，通過對π的計算這個實際問題的講解，引導學生抓住概念的本質，并對無窮級數的應用有一個初步的了解，從而對無窮級數有一個總體的認識。教學過程中，步步引導，邏輯脈絡清晰，教學過程既具有趣味性又具有啟發性。文獻[11]通過運算和邏輯推理，提出了兩種判別范圍較大的正項級數收斂性的判別法，即廣義高斯判別法及廣義擬對數判別法，并對這兩個判別法進行了比較。盡管已經涌現許多優秀的研究成果，但是教學研究與改革是個永恒的話題，因此，關于無窮級數的教學還有許多工作要做，本文將就基于非完全邏輯范式的無窮級數的教學展開一些探索。

2 基于非完全邏輯范式的冪級數展開

將函數 ()f x展開成冪級數是級數理論中的重要問題，如果只按照課本講解直接和間接展開法，教學效果并不能令人滿意。如何把書“讀厚”，讀出一些發現和探索的過程，值得研究。采用非完全邏輯范式的教學能夠激發學生的好奇心、求知欲和探索精神，是培養學生的創新意識和創新能力的有效方式。

下面應用非完全邏輯范式探討幾種函數的冪級數展開方法。

我們不去嚴格討論級數的收斂域等問題，只討論其冪級數展開式。上述式子其實就是一個除法運算，讓我們用豎式除法的形式計算1除以1 x- ，按照豎式除法算法，首先上1，有這樣得余數為x，再上x得余數為依次類推可得，

當然，上述運算并不是一種嚴格的邏輯推理，所得結果是否正確，以及所得級數的收斂域是什么都需要邏輯地證明。這種非邏輯范式強調探索與發現，鼓勵打破理論束縛，敢于假設，提倡運用猜想、直覺和假設等方式去發現問題和一些新的規律，當然，所得結論未必正確，再后面就是邏輯推理的事情了。上述處理以及后面的給出的處理方法對于激發學生的求知欲、探索精神和培養學生的創新能力都具有非常積極的意義。

上述過程是建立在假設或猜想的基礎之上的，并不能令人完全信服，會讓學生存疑。這樣恰恰能激發他們做進一步深入探討的興趣。我們知道冪級數可以逐項求導，如果在講授冪級數逐項求導公式之前進行上述推演效果更佳。教學實踐證明，把非邏輯范式作為邏輯推理教學的補充是可取的。

下面討論三角函數sin x和cosx的麥克勞林級數。

同樣地，假設sin x和cosx可以展開成x的冪級數，并設

創新就要大膽假設，小心求證，科學發現往往都是建立在假設、猜想、靈感、直覺和觀察等非邏輯范式基礎之上的，當新命題被發現之后，人們才會去邏輯地予以證明。教學中也應該提倡多使用非邏輯范式，即便得出錯誤的結論也是值得的，因為過程會使學生受益良多。華羅庚曾經說過，我們現在看到的都是最美妙的結果，前輩數學家們在他們的科學探索過程中是走過很多彎路的，這些彎路也會給我們很多很好的啟示，只可惜我們看不到了。所以說非完全邏輯范式是一種很好的教學范式。

3 基于非完全邏輯范式的傅里葉級數教學

在這一部分中我們將討論基于非完全邏輯范式的傅里葉級數教學問題。

傅里葉級數問題是個教學難點，學生學習這一部分普遍感覺比較吃力，難學的重要原因之一是傅里葉級數的系數公式難以掌握，事實證明依照教材采用直接傳遞模型進行教學效果是不理想的，因為那僅是一個邏輯推理而非科學發現的過程，也不是個自然的過程，而基于非完全邏輯范式的教學效果則完全不同，是令人滿意的。

首先，把傅里葉級數的系數問題明確界定為未知元問題，然后聯想有關未知元問題的先擁知識、思維模式和判斷體系框架，以尋求新問題的解決方法。以往處理未知元問題是采用方程或方程組的方式來解決的，這里要特別強調方程組的求解過程逐步減少未知元直至僅剩一個未知元而解之的思路，這一點很重要，很具啟示意義。傅里葉級數的系數有無窮多個，顯然，初等方法是無能為力的，聯想先擁概念框架，當要求某一系數時，讓其他無窮多個系數物理消失便成為一個至關重要的問題，考慮到傅里葉級數的特點，采用積分法可使其余系數物理消失。接下來以傅里葉級數的復指數形式予以說明，設是 ()f t以T為周期的周期函數，并假設它可以展開為傅里葉級數，

先不管此級數能不能逐項積分，我們運用非邏輯方式直接假設它可以逐項積分，兩邊同乘以則有

同樣地，上述基于聯想與假設的過程并不是一個嚴密的邏輯推理過程而是一個非完全邏輯推理過程，但是非常有效。

關于傅里葉級數的相關問題的傳統教學方式不考慮先擁概念框架，當然會產生斷層，沒有做到追根溯源，整個過程讓人感覺太過突兀且不自然，其教學效果也就可想而知了。而非完全邏輯范式綜合考慮了邏輯與非邏輯因素，可以有效地解決以上問題，而做到深入淺出，教學實踐證明基于非完全邏輯范式的傅里葉級數教學法是可取的。

4 結論

結合邏輯思維、邏輯推理與非邏輯思維來研究問題的非完全邏輯范式，不僅可以使學生熟練掌握和深刻理解所學知識，還可以幫助提高他們的發現與界定問題能力，培養他們的探索精神，發展他們的創新能力。本文把非完全邏輯范式應用到無窮級數的教學中，進行了一些探索，提出了相應的教材教法。這種范式具有較強的普適性，極易推廣，只要與教學內容恰當的融合，就可以取得良好的教學效果。