淺談圓錐體積的解析法求解

孫啟晗　聶秀榮

摘 要：文章從解析法的角度提出了圓錐體積的求解方法。圓柱和圓錐可以分別切割為無數個相似的三棱柱和三棱 錐，文章將“同底等高”的圓柱體積是圓錐體積的3倍問題轉化為“同底等高”的三棱柱體積是三棱錐體積的3倍問題，通過切割三棱柱的方法得到圓錐體的體積公式。

關鍵詞：圓錐體積;三棱錐體積;倒水法

一、問題描述

小學生在學習圓錐體積公式時經常產生這樣的疑問，“圓柱是由矩形以其中一條邊為軸，順時針或者逆時針旋轉360度得到的，而圓錐是由此矩形沿對角線切開的直角三角形以相同邊為軸，順時針或者逆時針旋轉360度得到的，該直角三角形面積是矩形面積的二分之一，那么該圓錐的體積為什么是圓柱體積的三分之一而不是二分之一呢？”。教師的回答往往是“倒水法”或者“倒沙法”，然而此類方法缺乏嚴謹的證明。更進一步的追問將會得到“微積分”的答案，而在小學生的眼中，“微積分”又是那樣遙不可及。因此，一種易懂的圓錐體積解析證明方法亟待提出。

二、圓錐體積解析法求解

如下圖所示，我們可以將圓柱切割成無數個相同的近似三棱柱，再將同底等高的圓錐切割成相同個數的近似三棱錐。因此，任意選取一個三棱柱和三棱錐，兩者之間同底等高，于是我們將圓柱體積是其同底等高圓錐體積的三倍問題轉化為三棱柱體積是三棱錐體積的三倍問題。

更進一步，我們將得到的三棱柱命名為三棱柱ABCDEF，同底等高的三棱錐命名為三棱錐BDEF，我們只需證明三棱柱ABCDEF的體積是三棱錐BDEF的體積的三倍即可。

第一，三棱錐BDEF和三棱錐ABCF都是以三角形BFE為底，由于BE是矩形BCDE的對角線，所以點C到BE的垂線段距離等于點D到BE的垂線段距離，因此三棱錐BDEF和三棱錐ABCF等高且同底，所以三棱錐BDEF和三棱錐ABCF的體積是相等的。

第二，三棱錐ABCF和三棱錐BCEF都是以三角形BCF為底，因為CE是矩形ACEF的對角線，所以點A到CF的垂線段距離和點E到CF的垂線段距離相同，因此三棱錐ABCF和三棱錐BCEF等高同底，所以三棱錐ABCF和三棱錐BCFE的體積相等，因為三棱錐BDEF和三棱錐ABCF的體積相等，三棱錐ABCF和三棱錐BCEF的體積相等，所以三棱錐BDFE體積等于三棱錐BCEF的體積等于三棱錐ABCF的體積，即三棱柱ABCDEF的體積是三棱錐BDEF體積的三倍。也就是同底等高的圓柱體積是圓錐體積的3倍。

綜上所述，同底等高的圓錐的體積是圓柱體積的三分之一。

三、 圓錐體積解析法與倒水法對比

圓錐體積解析法與倒水法分別從公式推導和動手操作兩個角度給出了圓錐體積和圓柱體積的關系。本文內容是學生在學習了圓的面積、長方體和棱柱體的體積基礎上接觸到的新的學習內容。六年級的學生不僅具備了較強的動手操作能力，也具備了一定的抽象思維和空間想象能力，因此采用“倒水法”等動手實驗和解析法等抽象推導相結合的學習方式將是一個最佳的選項。

參考文獻：

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[4]董麗蓉.引源頭活水，潤澤靈動課堂——圓錐體積教學案例[J].數學學習與研究，2016（6）：134-135.

作者簡介：孫啟晗，女，遼寧沈陽人，研究方向：中學數學研究;

聶秀榮（1970—），女，遼寧沈陽人，本科，研究方向：中小學數學教育研究。