地震波入射角對地震動特性的影響研究

華 凱，范留明，2，車軍鵬

(1.西安理工大學(xué)土木建筑工程學(xué)院，陜西西安710048；2.西安理工大學(xué)陜西省黃土力學(xué)與工程重點實驗室，陜西西安710048)

在場地地震反應(yīng)研究中，通常假定場地地層是水平無限大成層介質(zhì)，將入射地震波簡化為從基巖垂直向上傳播的體波。事實上，越來越多的研究表明，地震波并非以垂直方式透過基巖入射至近地場，而是以斜入射的方式透過基巖入射至自由表面。特別是對于淺源地震，將地震波入射視為垂直入射與實際不符[1]。按照所研究對象的不同，大致可將地震波斜入射作用下的動力反應(yīng)問題分為兩大類[2]，一類是工程場地或復(fù)雜地形的地震反應(yīng)問題[3-6]，另一類是大型建(構(gòu))筑物的地震響應(yīng)問題[7-10]。無論哪一類問題，地震波的入射角都成為了研究場地地震反應(yīng)一個不得不考慮的問題。這個問題本質(zhì)上是一個二維空間問題，地震波垂直入射實際上是地震波斜入射入射角等于0°的一個特殊情況。二維場地反應(yīng)分析方法主要分為頻域和時域兩種方法。其中傳遞矩陣法和剛度矩陣法是頻域分析法中典型的兩種方法。如果考慮土體本構(gòu)關(guān)系的非線性行為時，就需要使用時域數(shù)值分析方法。非線性方法雖然更接近實際，但因其參數(shù)選擇較為困難，工程應(yīng)用并不是十分廣泛。本文基于以上兩種方法存在的問題，提出射線傳播理論的場地反應(yīng)分析方法，該方法原理清晰、計算簡捷、適用性強。從研究現(xiàn)狀看[11-17]，其他學(xué)者采用不同的方法對斜入射地震波作用下的地表響應(yīng)或地表建筑響應(yīng)進行了相應(yīng)研究，研究成果均表明地震波斜入射時地表響應(yīng)比垂直入射地表響應(yīng)有所增強。但對于地震動其他特性的研究相對較少。為此，本文以均勻場地為例，在推求得到場地反應(yīng)理論解的基礎(chǔ)上，詳細地研究了地震波入射角對地震動幅值大小、持續(xù)時間、運動軌跡的影響。

1 斜入射波作用下的場地響應(yīng)

斜入射地震波作用下的場地振動與垂直入射情況有很大不同，從動力學(xué)角度而言，前者較后者復(fù)雜得多。為了能夠找到一種精確計算場地反應(yīng)的模型，下面以單層均勻場地為例，假定基巖面為無限大水平面，推求其在斜入射地震波作用下場地反應(yīng)的理論解。在推導(dǎo)過程中，把場地地層看作為均勻彈性介質(zhì)，與基巖共同構(gòu)成雙層彈性介質(zhì)模型；把來自基巖的地震波看作成從無限遠處發(fā)射的平面波，把沿著不同傳播路徑到達地面同一點處地震波按照到達時間先后進行疊加運算，形成地震時程，則此地震時程就是斜入射地震波作用下場地振動的理論解。為了解決這一問題，首先應(yīng)該清楚地震波是如何在場地中傳播的。

1.1 地震波的傳播路徑

按照地震學(xué)原理，當?shù)卣鸩▊鞑ブ翉椥越缑鏁r，不僅發(fā)生反射現(xiàn)象，而且產(chǎn)生波型轉(zhuǎn)換，各類體波的振幅關(guān)系由Zoeppritz方程確定。因此，無論是哪一種類型的入射波，場地中必然同時存在P波(縱波)和S波(橫波)兩種體波，其傳播路徑遵從Snell定律，據(jù)此可以得到P波傾斜入射情況下場地地震波的傳播路徑(見圖1)，采用同樣的方法，可以得到S波傾斜入射情況下場地地震波的傳播路徑。不過，應(yīng)該特別強調(diào)的是，本文所指的S波是SV波，而不是SH波。

圖1 地震波在單層場地中的傳播Fig.1 Seismic wave propagation in single layer

由圖1可見，基巖面(場地地層與基巖的接觸面)以及地面都是彈性波阻抗界面，地震波在此處將發(fā)生波型轉(zhuǎn)換現(xiàn)象(因基巖中的轉(zhuǎn)換波與計算無關(guān)，故未在圖上表示出來)。圖中，實線表示P波，點劃線表示S波，箭頭表示傳播方向，地震學(xué)中稱之為地震射線。為了敘述方便，將向上傳播的地震波稱為上行波，例如，A1B1，A2B2，B1O，B2O，……，這些射線都是向地面方向傳播的上行波；O1B1，O2B1，O2B2，……，則是向基巖方向傳播的下行波。研究發(fā)現(xiàn)，地震波在地層中的傳播具有如下特點。

1) 到達地面觀測點O的地震波有兩種傳播路徑。其一是入射波透過基巖面后直接到達地面，這些路徑僅有A1B1O和A2B2O兩條，其地震射線均是上行波。其二是入射波透過基巖面后，經(jīng)過地面和基巖面反射之后到達地面，這種路徑有無限多條，例如，A3B3O1B1O，A6B6O3B2O，A9B9O6B5O3B2O，其地震射線既有上行波，又有下行波。

2) 到達地面觀測點O的射線與地面或基巖面的交點數(shù)量分布有明顯規(guī)律性，從右向左，地震射線與地面的交點數(shù)量依次分別為3，5，7，…，與基巖面的交點數(shù)量依次分別為2，4，6，…。

3) 在場地地層中，同類型的上(下)行波射線彼此平行。由于平面波只有一個入射方向，假定地面與基巖面水平，則按照Snell定律，無論P波或S波，上行波射線互相平行，下行波射線也互相平行。

4) 在場地地層中，同類型波射線長度相等。由2)可知，同類型的上行波或下行波射線與垂直界面方向夾角相等，而場地地層厚度不變，因此根據(jù)幾何學(xué)原理可知，其射線長度必然相等。

1.2 地震波的到達時間

地震波的到達時間是指來自基巖的入射波到達地面某觀測點的時間，由傳播路徑所決定，包括地震波在每條路徑上的傳播時間和地震波斜入射造成的延遲時間兩部分。下面以A1B1O和A2B2O路徑為例，說明其計算過程。

1) 傳播時間

(1)

式中：h1是場地地層厚度，h2是假定計算面距離基巖面的距離，vs1是場地地層的橫波速度，vp2是基巖的縱波速度，θ是來自基巖的地震波的入射角，β是場地地層中橫波傳播方向與垂線的夾角。

(2)

式中：vp1是場地底層的縱波速度，α是場地地層中橫波傳播方向與垂線的夾角(見圖1)。

2) 延遲時間

正如斜射陽光以不同時間達到地面情況一樣，傾斜入射地震波到達基巖面的時間也因其位置不同而不同，由此造成的時差稱為延遲時間。由于假定震源位于無限遠處，不能確定地震波到達基巖面的絕對時間，因此計算中采用相對延遲時間。

(3)

(4)

據(jù)Snell定律，有：

(5)

式中：p是射線參數(shù)。

將式(5)分別代入式(3)～(4)，可得：

(6)

(7)

3) 到達時間

地震波到達地面O點的時間等于傳播時間與延遲時間之和，據(jù)式(3)～(4)及式(6)～(7)可得：

(8)

(9)

為了方便表達，定義：

(10)

(11)

(12)

綜合式(8)～(12)，可得到地震波到達O點的時間表達式：

(13)

(14)

表1 傳播路徑及達到時間(S波)

表2 傳播路徑及達到時間(P波)

Tab.2 Seismic ray and arrival time (P wave)

序號i傳播路徑到達時間tip1A2B2Ot0 + tp2A4B4O2B2Ot0 + 2ts+ tp3A5B5O2B2Ot0 + ts+ 2tp4A5B5O3B2Ot0 + ts+ 2tp5A6B6O3B2Ot0 + 3tp6A8B8O5B4O2B2Ot0 + 4ts+ tp7A9B9O5B4O2B2Ot0 + 3ts+ 2tp8A9B9O6B4O2B2Ot0 + 3ts+ 2tp9A10B10O6B4O2B2Ot0 + 2ts+ 3tp10A9B9O6B5O2B2Ot0 + 3ts+ 2tp

1.3 地震場地響應(yīng)的理論解

1) 傳播路徑的響應(yīng)函數(shù)

見圖1，假定來自基巖的地震波函數(shù)為f(t)，則按照某一路徑到達地面O點的地震波函數(shù)稱之為該傳播路徑的地震波響應(yīng)函數(shù)(簡稱響應(yīng)函數(shù))，其表達式為：

(15)

(16)

表3 傳播路徑及響應(yīng)振幅(S波)

Tab.3 Seismic ray and source response (S wave)

序號i 傳播路徑響應(yīng)振幅Ais1A1B1OTps2A3B3O1B1OTpsRss1Rss23A4B4O1B1OTppRps1Rss24A4B4O2B1OTpsRsp1Rps25A5B5O2B1OTppRpp1Rps26A7B7O4B3O1B1OTpsRss1Rss2Rss1Rss27A8B8O4B3O1B1OTppRps1Rss2Rss1Rss28A8B8O5B3O1B1OTpsRsp1Rps2Rss1Rss29A9B9O5B3O1B1OTppRpp1Rps2Rss1Rss210A8B8O5B4O1B1OTpsRss1Rsp2Rps1Rss2

表4 傳播路徑及響應(yīng)振幅(P波)

Tab.4 Seismic ray source response (P wave)

序號i傳播路徑 響應(yīng)振幅Aip1A2B2OTpp2A4B4O2B2OTpsRss1Rsp23A5B5O2B2OTppRps1Rsp24A5B5O3B2OTpsRsp1Rpp25A6B6O3B2OTppRpp1Rpp26A8B8O5B4O2B2OTpsRss1Rss2Rss1Rsp27A9B9O5B4O2B2OTppRps1Rss2Rss1Rsp28A9B9O6B4O2B2OTpsRsp1Rps2Rss1Rsp29A10B10O6B4O2B2OTppRpp1Rps2Rss1Rsp210A9B9O6B5O2B2OTpsRss1Rsp2Rps1Rsp2

在獲取這些系數(shù)后，就可以計算各條傳播路徑響應(yīng)函數(shù)的振幅。例如i= 3時，S波響應(yīng)函數(shù)所對應(yīng)的傳播路徑是A4B4O1B1O，表明入射P波經(jīng)過基巖面，形成同類型P波，透射系數(shù)為Tpp；經(jīng)過地面反射，形成轉(zhuǎn)換S波，反射系數(shù)為Rps1；再經(jīng)過基巖面反射，最終形成S波后抵達地面，反射系數(shù)為Rss2。因此，響應(yīng)振幅就等于此三個系數(shù)的乘積TppRps1Rss2。以此類推，可以計算得到任意一條路徑的響應(yīng)振幅。

2) 場地響應(yīng)的理論解

(17)

(18)

按照矢量合成方法，可將us，up表示成為水平地震動時程ux和垂直地震動時程uy：

(19)

式中：

(20)

雖然上述推求計算場地響應(yīng)的理論解的方法是針對傾斜入射P波提出來的，但是同樣適用于傾斜入射S波。所不同的是，在應(yīng)用上述方法計算傾斜入射S波時，為了保證入射S波轉(zhuǎn)換的P波不發(fā)生折射現(xiàn)象，入射角θ須滿足：

(21)

2 模型算例

2.1 地震場地模型

為了驗證上述斜入射場地響應(yīng)理論解法是否正確，選取文獻[16]模型進行驗算，以便對比分析。此模型場地土厚度50 m，密度1 000 kg/m3，P波速度346 m/s，S波速度200 m/s；下臥層為半無限空間基巖，密度1 500 kg/m3，P波速度866 m/s，S波速度500 m/s。P波入射角60°，S波入射角30°，地震入射波的計算面位于地下100 m。

2.2 計算結(jié)果

采用上述方法編寫了計算機程序，并對模型進行了計算。震源波函數(shù)采用位移形式，位移時程見圖2。時間間隔取0.001 s，地震路徑n取65 536 條，計算結(jié)果見圖3和圖4，與文獻[16]的理論解非常接近。而且通過對比特征點數(shù)值，發(fā)現(xiàn)兩者誤差不超過5%，表明此理論算法是正確可靠的。

圖2 入射波位移時程Fig.2 Time history of displacement of incident wave

圖3 P波60°角入射時地面位移時程Fig.3 Time history of displacement on ground surface under P wave of 60°angle incidence

3 地震動特性

3.1 地震動的幅值大小

當來自基巖的地震波進入場地地層后，在地面與基巖面之間多次往復(fù)傳播，使地面振動持時較入射波持時長。由于地面與基巖面的反射系數(shù)的絕對值都不大于1，所以地面位移呈現(xiàn)隨時間逐漸減少趨勢。但是，與垂直入射情況不同的是，無論傾斜入射波是P波還是S波，都會同時形成水平方向和垂直方向的振動(見圖3和圖4)，其大小與入射角有密切關(guān)系。

表5分別列出了P波與S波入射角與最大位移的關(guān)系。由于S波大于臨界角(35.26°)時會出現(xiàn)折射波，所以入射角大于40°的最大位移值未在表中列出。

表5 最大位移(絕對值)與入射角的關(guān)系

Tab.5 Maximum displacement and incident angle

入射角/(°)最大位移(入射P波)水平方向垂直方向最大位移(入射S波)水平方向垂直方向003.1583.1580100.4963.1113.0950.493200.9592.9722.9120.933301.3622.7552.6601.247401.6792.476501.8812.155601.9401.803701.7781.414

由表5可見，除70°入射角外，總體而言，最大水平位移(絕對值)隨P波入射角的增大而增大，隨S波入射角的增大而減小；最大垂直位移(絕對值)則相反，隨P波入射角的增大而減小，隨S波入射角的增大而增大。

3.2 地震動的持續(xù)時間

位移隨時間的變化不僅與地震波型有關(guān)，而且還與入射角有密切關(guān)系。為此，采用對比地震動持時(持續(xù)時間的簡稱，下同)的方法，研究位移隨時間的變化特性。

地震動持時的定義種類較多，本文采用位移相對幅值定義持時[15]，其具體定義是位移絕對值第一次和最后一次達到或超過最大位移絕對值的1%所經(jīng)歷的時間，這一定義方式能夠較好地反映位移隨時間衰減的快慢程度。

表6分別列出了P波與S波入射角與地震動持時的關(guān)系，其中S波大于臨界角的持時未在表中列出。表6中雖然存在個別異常情況，例如P波入射角等于20°時的水平及垂直方向的持時、50°時垂直方向的持時。但是，總體上地震動持時隨入射角的增大而減小。出現(xiàn)個別異常情況，可能與相對幅值的定義方式有關(guān)，由于這種定義方式具有很大的主觀性，不能完全涵蓋地震動情況。

表6 地震動持時與入射角的關(guān)系

3.3 地震動的運動狀態(tài)

當?shù)卣鸩ㄒ詢A斜方式入射至場地地層后，由于地層界面及地面對地震波類型轉(zhuǎn)換作用，使場地內(nèi)同時存在P波與S波兩種不同類型的振動，S波所引起的地面振動狀態(tài)與單一的體波振動有顯著差異，下面借用相圖分析法進行研究。

相圖是相軌線圖的簡稱，反映了系統(tǒng)狀態(tài)變量隨時間變化的動態(tài)特性。圖5是S波分別以10°，20°和30°入射時引起的地面振動的相圖，其中橫坐標x為水平位移，縱坐標y為相同時刻的垂直位移，軌線上任一點表示在xoy平面上的運動狀態(tài)，其箭頭表示振動狀態(tài)隨時間變化的先后順序。

圖5 S波入射時地面振動軌跡Fig.5 Movement trajectory on groundsurface under S wave of incidence

由圖5可見，地面振動軌跡為復(fù)雜旋轉(zhuǎn)曲線，與Rayleigh面波的某些特征有一定程度類似，總體上表現(xiàn)為水平正向位移(x> 0)偏大的旋轉(zhuǎn)運動，相軌線圖的形狀及其構(gòu)成的輪廓受入射角影響顯著。

1) 當θ= 10°時，相軌線圖形呈扁平狀，其中在x> 0一側(cè)的軌跡輪廓呈“辣椒形”，最大水平位移與最大垂直位移之比為6.3(見圖5(a))，表明在小入射角情況下，轉(zhuǎn)換P波能量很小，垂直方向振動很弱，地面振動以水平振動為主，旋轉(zhuǎn)運動不明顯。

2) 當θ= 20°時，相軌線圖形在水平方向收縮變短，而在垂直方向拉長變寬。其中，在x> 0一側(cè)的軌跡輪廓接近“尖刀形”，最大水平位移與最大垂直位移之比為3.1(見圖5(b))，表明隨著入射角增大，轉(zhuǎn)換P波能量增強，引起的垂直方向振動隨之增大。地面振動仍然以水平振動為主，但是旋轉(zhuǎn)運動特征增強。

3) 當θ= 30°時，轉(zhuǎn)換P波能量繼續(xù)增強，引起的垂直方向振動進一步增大，相軌線圖的輪廓面積增大明顯，最大水平位移與最大垂直位移之比為2.1(見圖5(c))。表明當入射角接近臨界角時， 雖然地面振動表現(xiàn)為水平偏強、垂直偏弱的特征，但是旋轉(zhuǎn)運動特征卻非常顯著。

4 結(jié) 論

斜入射地震波作用下的場地響應(yīng)與垂直入射情況不同，前者的動力學(xué)問題及動力特性較后者更為復(fù)雜。在斜入射地震波作用下，地震入射角與地震動特性關(guān)系密切，對地震動的幅值大小、持時、運動狀態(tài)有顯著影響，是有別于垂直入射作用下地震響應(yīng)的一個重要參數(shù)。研究發(fā)現(xiàn)，隨著入射角的增大，場地地震動特性有如下變化。

1) 入射P波引起的水平位移與入射S波引起的垂直位移通常會增大。

2) 地震動持時變短，尾振(接近于地震結(jié)束部分的振動,像小尾巴一樣)減小。

3) 水平與垂直方向的振動幅值越來越接近，地震相軌線構(gòu)成的輪廓面積增大，旋轉(zhuǎn)運動特征愈加明顯。

上述結(jié)論是入射角小于臨界角情況下得到的。當入射角大于臨界角時，將出現(xiàn)地震波沿場地地面或地層界面滑行現(xiàn)象。在這種情況下，場地的振動特性與入射角的關(guān)系更為復(fù)雜，有待進一步研究。