雷達海上機動目標高分辨稀疏分數階模糊函數檢測方法

于曉涵，陳小龍，關鍵，黃勇

（海軍航空大學，山東 煙臺 264001）

1 引言

雷達作為海洋監視領域的主要探測手段，提升其對海上運動目標的檢測能力具有重要意義。然而，受復雜非均勻海洋環境和目標復雜運動特性的影響，使海上動目標特別是高機動目標的檢測問題面臨嚴峻考驗[1]。機動目標回波信噪比/信雜比（SNR/SCR,signal-to-noise/clutter ratio）低，且回波多普勒呈現時變特性[2-3]，目標的速度變化引起的加速度及目標在高海況條件下的搖擺和起伏運動，容易導致回波出現3 次及高次相位。經典的基于濾波器組的動目標檢測（MTD,moving target detection）方法僅適用于平穩回波信號，對于運動形式復雜的機動目標，難以實現可靠的檢測[4]。廣泛使用的分數階傅里葉變換（FRFT,fractional Fourier transform）[5]、Wigner 分布[6]、多項式相位變換[7]等基于變換處理的動目標檢測方法能夠實現時變機動目標信號的相參積累，從而改善SNR/SCR，但受變換方法本身的限制，若變換方法與目標運動特性不相匹配，則相參積累增益低，難以達到改善SCR 的效果，使算法穩健性不高、參數估計能力有限。通過采用具有駐留探測模式的相控陣雷達或多輸入多輸出（MIMO,multiple-input and multiple-output）[8]雷達，可延長積累時間，獲取更多的回波脈沖數，增加目標的能量，提高對機動目標的精細化描述能力，但長時間觀測及高采樣頻率使回波脈沖數極大增加，導致算法運算量增大，耗費大量的雷達信號處理資源，處理性能下降。因此，亟需發展和研究適合高階相位時變信號的快速、高分辨力，以及大數據量條件下的雷達回波信號處理方法和手段。

近年來，一系列稀疏信號處理技術紛紛涌現[9]。其中，麻省理工學院（MIT,Massachusetts Institute of Technology）的4 位學者提出的稀疏Fourier 變換（SFT,sparse Fourier transform）[10]方法，被MIT《技術評論》評選為2012 年度十大顛覆性技術。SFT算法的核心思路是將N點長序列轉化為B點短序列再進行Fourier 變換，比傳統快速Fourier 變換（FFT,fast Fourier transform）更加高效，對于一個頻譜稀疏的N點大尺寸輸入信號，SFT 可將FFT 的計算復雜度降低至O(KlbN)，其中K為頻域大值系數的數量[11-12]。在SFT 理論框架的基礎上，北京理工大學陶然教授等[13]對Pei 等[14]提出的采樣類離散FRFT方法進行重新設計，提出了一種新的快速算法——稀疏FRFT（SFRFT,sparse FRFT）。相比FRFT 方法，SFRFT 提升了大數據量條件下稀疏信號的分析效率，對線性調頻信號具有較好的處理效果，但由于模型失配，使其對具有3 次相位信息的高機動目標信號的探測性能仍難以滿足實際需求。海軍航空大學雷達目標探測課題組[4]從稀疏優化和分解的角度，構建了稀疏時頻分布（STFD,sparse time-frequency distribution）的基本理論框架，并提出了基于短時的SFT（ST-SFT,short-time FT）和短時SFRFT（ST-SFRFT,short-time SFRFT）的雷達動目標檢測方法[15]，提高了檢測性能和參數估計能力，然而該理論需要優化求解，在大數據量條件下難以保證工程實現要求，且稀疏分解的字典需要先驗信息，從而限制了其在復雜運動目標檢測中的應用。

分數階模糊函數（FRAF,fractional ambiguity function）[16]對機動目標有良好的能量聚集性和檢測性能，可有效解決信號高次相位信息提取的問題，但其計算復雜度較高，且頻率分辨力有限。雷達目標回波可看作少數強散射中心的疊加，回波在分數域具有稀疏特性[17]，本文在Pei 等[14]提出的采樣類離散FRAF 和SFT 的基礎上，提出了稀疏FRAF（SFRAF,sparse SFAF）的實現方法，并利用目標回波在分數域具有稀疏性的特點，將SFRAF 應用于雷達海上機動目標檢測中，通過SFRAF 處理，獲得機動目標的稀疏分數域高分辨表示并進行目標檢測，既能利用FRAF 對高階相位信號良好的聚集性，也可達到運算效率、頻率分辨力的有效提高，從而實現大數據量條件下機動目標的快速檢測。仿真實驗和實測海雜波數據處理結果驗證了本文所提算法的有效性。

2 機動目標回波模型

為獲得高分辨率和遠探測距離，假設雷達發射線性調頻（LFM,linear frequency modulation）信號，如式(1)所示。

其中，σr為海上機動目標的散射截面積，代表時間延遲，c0代表光速，Rs(tm)為目標與雷達的視線距離（RLoS,radar line of sight），表示脈間慢時間，Tn為觀測時長。

假設目標朝雷達運動，如圖1 所示，僅考慮徑向速度分量，則目標的距離走動為時間的多項式函數，保留其泰勒級數展開式的前四項作為機動目標與雷達RLOS 的3 次近似，則

圖1 雷達與目標運動的幾何關系示意

其中，R0為目標與雷達的初始RLOS 距離，v0為目標運動初速度，as為加速度，gs為急動度。由于雷達的相參性，采用發射信號作為參考信號，則回波信號經解調后輸出形式為

其中，*表示復共軛運算。將解調后的雷達回波數據進行脈沖壓縮處理，不考慮雜波和噪聲，則機動目標回波模型為

其中，Ar(tm)為回波幅度，λ為信號波長。

3 稀疏分數階模糊函數

3.1 SFRAF 定義

對于建模為二次調頻信號（QFM,quadratic frequency modulated）的海上機動目標，離散后的回波信號可表示為

其中，A0為信號幅度；ai(i=0,1,2,3)表示多項式系數，為信號時間采樣間隔；N=Tn fs為采樣點數；fs為采樣頻率；c(nΔt)為海雜波。

信號s(nΔt)的SFRAF 的定義如式(7)所示。

其中，Fα(?)表示旋轉角為α時信號的SFRAF，m∈[1,N]為SFRAF 域離散變量，R (?)和S(?)分別表示Chirp 乘法算子和SFT 算子，Rs(?)為信號的瞬時自相關函數（IACF,instantaneous auto correlation function）。

3.2 SFRAF 實現原理

圖2 為SFRAF 算法的實施流程。為了使算法更易仿真實現，本文給出了偽代碼形式的算法描述，具體如下。

算法1SFRAF 算法

輸入信號s(nΔt),n∈[1,N]

輸出SFRAF 結果Fα(m,τ),m∈[1,N]

1)procedure SFRAF[s(nΔt)]

2)IACF 計算：Rs(n,τ)←s(nΔt)

3)時域Chirp 乘法運算：x(n)←Rs(n,τ)

4)SFT 運算：

5)fori←1 toLdo

6)預設稀疏度K

7)選取隨機奇數σ∈[1,N]

8)頻譜重排：Pσ(n)←x(n)

9)窗函數濾波：y(n)←Pσ(n)

10)時域混疊：z(n)←y(n)

11)降采樣FFT：Z(m)←z(n)

12)取極大值：I←Kmax[Z(m)]

13)散列反映射：J←I

圖2 SFRAF 實施流程

15)end for

18)return Fα(m,τ)

19)end procedure

① IACF 計算。回波信號的IACF 定義為

其中，τ為回波信號時延，為固定常數；Rc(n,τ)、Rsc(n,τ)分別為海雜波IACF、海雜波和目標交叉項的IACF。

② 時域Chirp 乘法運算。將Rs(n,τ)與Chir p1信號相乘，如式(9)所示

③ SFT 運算。主要包括通過頻譜重排、窗函數濾波、降采樣FFT、頻譜重構等過程[10]。首先，通過對時域信號進行操作以實現頻譜重排，定義重排方式Pσ，重排后的時域序列Pσ如式(10)所示。

其中，σ是從[1,N]中隨機選取的奇數，滿足(σσ-1)modN=1，其中，mod 為取模運算。

定義窗函數g(n)，其頻譜G(m)滿足

其中，ε′、ε和δ分別為通帶截斷因子、阻帶截斷因子和振蕩波紋，則窗函數濾波后的信號為supp 表示支撐，ω為窗函數長度。

經過頻譜重排和窗函數濾波，信號大值頻點已經以極高概率獨立地分布于各個“筐”中，此時通過降采樣FFT 將“筐”中的大值頻點取出。由FT的性質可知，通過時域混疊可以實現頻域的降采樣，降采樣FFT 后的信號為

將Z(m)中K（K為稀疏度）個極大值對應的坐標m歸入集合J中，通過散列反映射[10]得到大值頻點在原始信號x(n)的頻譜序列中的對應坐標并保存到集合I中，即

④ 頻域Chirp 乘法運算。將SFT 結果與Chirp2信號相乘，得到SFRAF 稀疏譜，如式(15)所示。

3.3 參數設置方法

SFRAF 的實現原理中，涉及很多參數，參數的設置值會對最終處理結果產生一定的影響，本節內容將對參數設置方法進行討論，并給出各個參數的參考值。

在計算信號SFRAF 之前，首先需要根據實際應用場景預設稀疏度K（SFRAF 域大值點個數），例如：在應用于海上機動目標檢測時，K設置為機動目標數量；頻譜重排時，σ需選取[1,N]中的隨機奇數，且滿足(σσ-1)modN=1，若σ為偶數，則無法遍歷所有的n；此外，“筐”的數量B是未知的，需要根據稀疏度K和數據長度N進行預設，本文算法是通過分“筐”操作將N點長序列轉換為B點短序列再進行FFT 運算，為平衡分“筐”操作與短點FFT 計算量，“筐”的數量B應比O(K)稍大些，取參數；窗函數濾波器G(ε,ε′,δ,ω)決定了信號頻點與各個“筐”之間的映射關系，為了保證算法效率，避免頻譜泄露，要求該濾波器在時域各頻域都具有能量集中性，各參數的參考值為同時，為了提高算法穩健性，將SFT 運算中重排到估值的過程循環多次，增加循環次數L，可以在一定程度上提高的估計精度，但同時會造成計算量的增加，為平衡估計精度和計算復雜度，取L=O(lbN)。各個參數的參考值如表1 所示。

4 SFRAF 域雷達機動目標檢測

基于SFRAF 的海上機動目標檢測流程如圖3所示，具體包括以下步驟。

1)雷達回波解調和脈沖壓縮，實現距離高分辨，并選取待檢測距離單元。

表1 SFRAF 參數參考值

存儲距離-脈間慢時間二維數據矩陣SN×M=sPC(h,q)，h=1,2,…,H，q=1,2,…,Q，其中，H為距離單元數，Q為脈沖數。若觀測時間范圍內運動目標跨越多個距離單元，則首先進行距離走動補償，然后選取某一距離單元h0作為待檢測單元數據s(tm)=sPC(h0,q)；若觀測時間范圍內運動目標未跨越距離單元，則直接選取s(tm)=sPC(h0,q)，進行后續的處理。

2)SFRAF 運算。通過瞬時自相關函數計算、SFT 運算、2 次Chirp 乘法運算等過程，實現機動目標的SFRAF 域高分辨表示。

3)在SFRAF 域進行目標檢測，遍歷所有距離搜索單元。

根據SFRAF 輸出結果判斷有無目標，并通過峰值點的二維搜索確定最佳變換角度，即

圖3 基于SFRAF 的機動目標檢測流程

4)機動目標參數估計。根據文獻[16]，單分量QFM 信號在經過FRAF 處理后表現為一峰值，SFRAF 是在FRAF 的基礎上設計實現的，因此，同樣具備這一特性（5.2 節將通過仿真實驗對此進行驗 證 ） 。 SFRAF 峰 值 坐 標[16]為(α0,m0)=[arccot(-1 2πa3κ),4πa2τs inα0]，(α0,m0)與QFM 信號瞬時頻率、中心頻率、一次調頻率和二次調頻率的關系為

進而得到機動目標運動參數的估計值，如式(18)所示，其中，信號的初始頻率可通過對原始信號進行dechirp 運算，并搜索其FFT 結果的峰值估計得到。

5 SFRAF 性能分析

5.1 計算復雜度分析

對于一個數據長度為N的離散信號，通過分析SFRAF 的實現過程，可得到其計算復雜度的近似表達式如式(19)所示。

其中，card(I)表示集合I的測度。此外，根據Pei的離散FRFT[13]方法，可得到信號FRAF 的離散形式如式(20)所示。

其中，D為整數。因此，FRAF 的計算復雜度如式(21)所示。

圖4 為SFRAF 和FRAF 的計算復雜度對比，其中，實線曲線為隨著采樣點數N增加，FRAF 的計算復雜度變化（由式(21)得出）；點劃線曲線為K=1 時，由式(19)得出的基于 SFT2.0[10]版本的SFRAF 計算復雜度；虛線曲線為基于SFT3.0[11]版本的SFRAF 計算復雜度（在SFT 3.0 的基礎上得到）。通過分析圖4 可以發現：FRAF 的計算復雜度隨著采樣點數N的增加呈線性增加趨勢；在N較小時，基于SFT 2.0[10]的SFRAF 計算復雜度高于FRAF，隨著N的逐漸增加，其增加趨勢與相比FRAF 更為緩和，從N=212開始，SFRAF（SFT 2.0）的計算復雜度已低于FRAF，但其運算效率仍較大程度地受數據長度制約；為突破數據長度對運算效率的限制，基于SFT 3.0 的SFRAF 通過固定循環參數配置、優化使用緩存、函數向量化等方式對算法進行了優化，當N＞ 210時，優化后SFRAF 的計算復雜度將基本不受數據長度的影響。上述分析表明，在大數據量條件下，SFRAF 的運算量明顯低于FRAF，而且采樣點數越大，SFRAF 的優勢越突出。

圖4 SFRAF 與FRAF 計算復雜度對比

5.2 多分量信號分辨能力

SFRAF 能夠很好地匹配和積累機動目標能量，單分量QFM 信號在SFRAF 域表現為一個峰值，本文通過仿真實驗進行驗證。假設某機動目標信號參數為a0=50，a1=100，a2=90，a3=12，采樣點數N=213，采樣頻率fs=1 000 Hz，稀疏度K=1。圖5 為SFRAF 處理結果，圖中變換階數歸一化采用的參數是SFRAF 結果中的幅度值。由SFRAF 譜以及最佳變換域（p=1.075）處理結果可知，單分量機動目標信號在SFRAF域表現為一個峰值，峰值位置與參數a2和a3有關。

圖5 單分量QFM 信號SFRAF 處理結果

分析SFRAF 對多分量信號的處理能力，以二分量有限時長的QFM 信號為例，假設信號s由信號s1和s2混合而成，s的SFRAF 可分解為自項和交叉項，如式(22)所示。

如圖6 所示，信號的2 個自項在SFRAF 域中將會表現為2 個峰值。至于交叉項，基于文獻[18]的研究成果，在FRAF 域中，交叉項分布于自項周圍，并呈正弦或余弦振蕩，其幅值遠小于自項的峰值。由于SFRAF 在FRAF 的基礎上設計實現，而且SFRAF 譜具有稀疏特性，頻率分辨力更高，因此相比自項可忽略交叉項的影響，圖6(c)～圖6(f)中二分量QFM 信號FRAF 與SFRAF 的處理結果很好地驗證了這一結論。s1采用與圖5 相同的QFM 信號，s2的參數為采樣點數及采樣頻率與s1一致，稀疏度K=2。從圖6(a)和圖6(b)中可以看出：信號在FRAF 譜和SFRAF 譜中都表現為2 個明顯的峰值，SFRAF 的分辨力更好；進一步分析二者的最佳變換域結果，信號s1和信號s2的最佳FRAF域，都有另一個信號分量的殘留，而2 個信號在最佳SFRAF 域，均可以完全忽略另一個分量的影響。因此，SFRAF 具有分辨多分量信號的能力。

6 實驗驗證與分析

6.1 實測數據處理結果

本節采用南非科學與工業研究理事會（CSIR,Council for Scientific and Industrial Research）數據庫[19-20]中的2 組海雷達數據對所提算法的性能進行驗證，采集數據的Fynmeet 雷達工作于X波段，為相參體制，參加實驗的合作目標為安裝有GPS 的WaveRider RIB 快艇，2 組數據的雷達及實驗參數如表2 所示。

圖7 為TFC17-006 的數據分析，從回波的時間-距離圖可以看出，雷達觀測范圍覆蓋了近50 個距離單元，目標淹沒在強海雜波中，僅通過幅度難以發現目標。另外，通過觀察回波的時頻分析圖可以發現，目標的多普勒頻率隨時間變化，而且具有高機動性，海雜波的頻譜較寬，覆蓋了大量目標頻譜，給檢測造成了較大的困難。

分別采用MTD、FRAF 和SFRAF 對數據進行處理，圖8 給出了起始觀測時間分別為42 s 和72 s（采樣點數N=213）時，3 種方法的檢測結果對比，由圖7(b)可知，在這兩段數據中，目標機動性較高，海雜波的頻譜覆蓋了目標范圍，因此更有利于算法性能的驗證。圖8 中，恒虛警率（CFAR,constant false alarm rate）檢測門限為在虛警概率Pfa=10-4條件下，采用雙參量CFAR 檢測器得到的自適應檢測門限，FRAF 和SFRAF 的處理結果為最佳變換域（p=popt）結果。從圖中可以看出：MTD 檢測結果中雜波虛警較多，在處理高機動信號時，由于模型失配，無法對目標的運動參數進行正確估計；FRAF 和SFRAF 的檢測性能明顯優于MTD，二者都能獲得更為精確的目標信息；而且，相對于FRAF，SFRAF具有更高的分辨力，十分有利于大數據條件下機動目標的快速、精細化處理。

圖9 為TFA17-014 的數據分析，從圖中可以看出，該數據的海雜波背景較上一組數據更為復雜，目標的機動性更強，進一步增加了檢測的難度。圖10為MTD、FRAF 和SFRAF 的檢測結果對比，在進行處理時，同樣選取了兩段具有代表性的數據（t0=28 s 和t0=73 s，N=213），以更好地驗證算法的性能。圖中結果說明，在復雜海雜波背景中，SFRAF對機動目標仍具有較好的處理性能。

圖6 二分量QFM 信號FRAF 與SFRAF 處理結果對比

表2 CSIR 數據參數說明

圖7 TFC17-006 數據分析

圖8 MTD、FRAF 和SFRAF 檢測結果對比(TFC17-006,N=213)

圖9 TFA17-014 數據分析

圖10 MTD、FRAF 和SFRAF 檢測結果對比（TFA17-014,N=213）

6.2 低階回波信號分析

本節將通過仿真實驗，分析SFRAF 對低階回波信號的處理性能，并將其檢測結果與MTD 和FRFT 進行對比。

1）LFM 信號

當a3=0 時，式(6)所示的回波信號模型即轉化為LFM 信號（低階信號）。假設目標信號參數為a1=100，a2=90，a3=0，采樣點數N=213，采樣頻率fs=1 000 Hz，SNR=-5 dB，在進行SFRAF 處理時稀疏度K設置為1。MTD、FRFT 和SFRAF 的處理結果對比如圖11 所示。

通過分析圖11 可以得出：MTD 無法對LFM 信號進行有效檢測；FRFT 能夠有效檢測出目標，圖11(b)給出了最佳變換階數為1.996 5時的變換結果，即FRFT 的峰值坐標為，因此，由于沒有其他信息，無法對參數a3進行估計；對于本文所提SFRAF 方法，當最佳變換階數popt=1 時，得到目標的坐標值為由式(17)可得另外，可通過對原始信號進行dechirp 運算，并搜索其FFT 峰值得到

2）平穩信號

當a2=0 且a3=0 時，式(6)所示的回波信號模型即轉化為平穩信號（低階信號）。假設目標信號參數為a1=100，a2=0，a3=0，采樣點數N=213，采樣頻率fs=1 000 Hz，SNR=-5 dB，在進行SFRAF 處理時稀疏度K設置為1。分別給出了MTD、FRFT和SFRAF 的處理結果對比如圖12 所示。

通過分析圖12 可以得出：3 種方法均能有效檢測出目標；對于MTD 方法，從圖12 (a)中可以得到由于沒有其他信息，無法對參數a2和a3進行估計；對于FRFT 方法，圖12 (b)給出了當最佳變換階數為1 時的變換結果，即FRFT 的峰值坐標為因此，無法對參數a3進行估計；對于本文所提SFRAF 方法，圖12(c)給出了當最佳變換階數popt=1 時的變換結果，即SFRAF 的峰值坐標為由式(17)可得，通過對原始信號進行dechirp 運算，并搜索其FFT峰值得到

圖11 MTD、FRFT 和SFRAF 檢測結果對比（LFM 信號）

圖12 MTD、FRFT 和SFRAF 檢測結果對比（平穩信號）

上述分析說明，SFRAF 是適用于低階回波信號的。在處理低階信號時，SFRAF 能夠實現目標的有效檢測，由于其僅保留信號稀疏部分（大值），相比MTD 和FRFT 等方法，輸出的信噪比有顯著提升，峰值更為明顯，并能實現較為準確的參數估計。

6.3 檢測性能分析

本節通過Monte Carlo 仿真計算，對所提算法的檢測性能進行進一步分析。假設某機動目標信號參數為a0=100，a1=200，a2=300，a3=200，采樣頻率fs=1 000 Hz，觀測時長Tn=8.192 s，分別采用MTD、FRFT、FRAF、SFRAF 等4 種方法對噪聲背景和海雜波背景中的目標信號進行處理，其中，海雜波背景為數據TFC17-006 中選取的海雜波單元。在Pfa=10-3的條件下，對不同SNR/SCR分別進行105次Monte Carlo 仿真計算。圖13 給出了4 種方法的檢測性能曲線，從圖中可以看出：對于MTD 和FRFT 方法，由于模型失配，無論在噪聲背景還是海雜波背景中，二者對機動目標的檢測性能與SFRAF 相比都有明顯差距，進一步體現了SFRAF 在處理高機動信號方面相對于傳統方法的優勢；由于SFRAF 是一種下采樣概率估計算法，在SNR/SCR 較低的條件下，與FRAF 相比，SFRAF 的檢測性能相對較差，隨著信號能量的增強，SFRAF 可達到與 FRAF相當的檢測概率。

上述仿真實驗和實測數據處理結果驗證了SFRAF 的有效性，運算效率高，頻率分辨力好，對機動目標具有較好的檢測性能。但需要說明的是，SFRAF 也存在局限性和不足：1)算法的優勢需要在數據量N＞ 212的前提下才能明顯體現，更適合具有任意波束控制的相控陣及MIMO 雷達；2)在較低SNR/SCR 情況下，算法的穩健性下降，因此，SFRAF更適合大數據量、SNR/SCR 較高條件下機動目標的快速提取，后續將考慮結合經典檢測原理對算法進行重新設計，以提升較低SNR/SCR 下，SFRAF 對機動目標的檢測性能。

7 結束語

圖13 MTD、FRFT、FRAF、SFRAF 檢測性能對比

本文在分數階模糊函數和稀疏傅里變換的基礎上，建立了稀疏分數階模糊函數的概念，并將其應用于雷達信號處理中，提出了基于SFRAF 的海上機動目標檢測方法，通過SFRAF 處理，獲得機動目標的稀疏分數域高分辨表示并進行目標檢測和參數估計。仿真實驗和實測對海雷達數據處理結果表明，所提方法在提升信號處理效率的同時，能夠提高機動目標信號的能量聚集性和頻率分辨力，改善雷達機動目標檢測和參數估計性能，尤其是在大數據量及較高SNR/SCR 條件下能夠明顯體現算法的優勢，為進一步提升雷達海雜波抑制和海上動目標檢測能力提供了新的思路和途徑。