次線性期望空間下廣義ND序列的強大數定律

鐘豪媛，吳群英

(桂林理工大學 理學院,廣西 桂林 541006)

0 引言及引理

從定義中得出,對于所有的X,Y∈有

定義2令?,一個函數V:→[0,1]被稱為容度,如果

1)V(?)=0,V(Ω)=1;

2)V(A)≤V(B),?A?B,A,B∈。

如果對于所有的A,B∈,有V(A∪B)≤V(A)+V(B),則稱V具有次可加性,在次線性期望空間可產生上容度和下容度(,v),記Ac是A的補集,定義

根據定義, 則有

v(A)≤(A), ?A∈。

如果I(A)∈,則有

(A)=

如果f≤I(A)≤g,g,f∈,則有

(1)

v(A∪B)≤v(A)+(B)和

定義3定義Choquet積分為

定義4*為

2) 如果I(A)≤g,g∈,那么*(A)≤進一步,如果是可數次可加的,那么

3)當I(A)≤g∈時,*是最大的滿足*(A)≤的可數次可加的容度。

定義5(廣義ND)在次線性期望空間下隨機變量序列{Xn,n≥1}被稱為上(相應的下)廣義ND序列,如果存在常數K≥1,使得下式成立,

其中, 非負函數gi∈Cl,Lip(Rn),i=1,2,…,是非降(或非增)的。若序列既是上廣義ND序列又是下廣義ND序列,則稱該序列是廣義ND序列。

引理1[4]對于X∈, 如果那么|X|< ∞, a.s., 即(|X|=∞)=0。

引理2(Borel-Cantelli引理)假設{An,n≥1}是中的一列事件,V是可數次可加的容度,如果那么V(An, i.o.)=0, 其中

1 主要結果

(2)

2 主要結果證明

證明過程中用到的c表示與n無關的正常數, 在不同的地方可表示不同的值。 定義an?bn表示存在c>0, 使得對充分大的n都有an≤cbn。

因為

所以要證明式(2)只需要證明

(4)

(5)

因為

先證明對于不同取值范圍的p，有

(7)

(8)

成立。

所以

(9)

令g(x)∈Cl,Lip(R)，使得對于所有的x,有0≤g(x)≤1,當|x|≤μ,g(x)=1; 當|x|>1,g(x)=0，則有

(10)

所以有

以及

(11)

又根據引理1,有

(12)

根據Kronecker引理和式(11)、(12),則式(7)和式(8)成立。

(13)

即可得到式(8)成立。 根據式(10)和Cr不等式得到

進一步,有

所以有

:=I+II。

(14)

(15)

由Markov不等式得

(16)

根據式(15)、(16)得到式(7)成立。

對式(6)左右兩邊取上極限,又根據式(7)和式(8),則有

(17)

(18)

即可。

下面證明式(18)。

(19)

又因為

(20)

=exp(-2lnn)。

而

由于{Xn,n≥1}是廣義ND序列,則{-Xn,n≥1}也是廣義ND序列,因此{-Xn,n≥1}也滿足定理1的假設條件,以-Xn代入式(4)得

整理得到式(4)。結合式(4)、(5),即證明了(2)成立。

則可推出

(21)

類似的,可令Zi=μi-Xi,則

繼而可推出

(22)

根據式(21)、(22)，可得式(3)成立。