行星齒輪箱齒根應變的光纖光柵測量方法*

牛 杭， 侯成剛， 張小棟,2, 趙欣丹

(1. 西安交通大學機械工程學院 西安，710049) (2. 西安交通大學現代設計及轉子軸承系統教育部重點實驗室 西安，710049)

引 言

行星齒輪箱在航空、能源和運輸等領域應用廣泛，但在惡劣的運行環境下，其關鍵部件的故障發生幾率很高。目前，振動分析法為行星齒輪箱故障診斷的主要方法，但由于行星齒輪箱內多組振動信號之間的相互耦合、干擾以及變速變載的非平穩性工況的影響，該方法在識別輪齒裂紋等微弱故障時，效果尚不理想。本課題組經分析發現，內齒圈齒根應變與行星齒輪箱嚙合力信息之間的映射關系更直接，能更清晰地反應齒輪箱的運行狀態。在此基礎上，研究了行星齒輪箱故障下的內齒圈齒根應變動態變化機理[1]。然而，為了開展基于內齒圈齒根應變信號的行星齒輪箱監測診斷方法的研究，準確獲取齒根應變信號是關鍵。

傳統的齒輪應力/應變測量方法主要有光彈法和電測法。光彈法利用光彈性材料在偏振光場中形成的應力光圖分析應力的分布。電測法利用電阻應變片測量特定位置的應變。Wang[2]分析了在不同嚙合位置和不同工況參數下，齒根彎曲應力的分布特點。文獻[3-5]利用應力密度因數計算了含裂紋輪齒的嚙合剛度。Spitas等[6]驗證了其提出的無量綱輪齒模型的準確性。 Patil等[7]研究了螺旋角對斜齒輪接觸應力的影響。Ligata等[8]分析了制造誤差對行星齒輪箱偏載特性的影響。Dai等[9]分析了輪齒修形和接觸損失對齒根應變的影響。周輝俊[10]提出了擬合修正系數，為面齒輪的設計和彎曲強度校核提供了有效依據。

光彈法和電測法是兩種有效的實驗方法，但其并不適合實際行星齒輪箱中齒根應變的監測任務。光彈法需要復雜的光學系統、開放的齒輪嚙合環境以及特殊的材料，工業現場很難滿足這些條件。相比之下，電測法所需的測試系統較簡單，但實際的行星齒輪箱難以為電阻應變片提供足夠的安裝空間，研究人員大部分將這種方法用在定軸齒輪箱中。文獻[8]利用電阻應變片測量了內齒圈齒根應變，但使用的是專門用于實驗的行星齒輪箱，其內部空間較為寬裕，對于分布式應變測量，安裝空間問題更為突出。另外，電測法不具備抗電磁場干擾的能力。

FBG已經成功應用于多種結構的應變監測中[11-12]。由于光纖光柵具有體積小、適合于分布式監測及抗電磁干擾等優勢，本課題組提出利用光纖光柵對行星齒輪箱內齒圈齒根應變進行在線測量[13]，然而對于內齒圈這一特殊結構，關鍵測量問題還需要深入分析。

筆者在課題組前期工作的基礎上[14-15]，提出了一種行星齒輪箱內齒圈齒根應變的光纖光柵動態測量方法。首先，對行星齒輪箱內齒圈齒根應變的動態變化規律進行理論計算分析；其次，從測試原理、測點布置及測量系統構建等角度對提出的光纖光柵動態測量方法進行深入研究；最后，開展了內齒圈齒根應變光纖光柵動態測量實驗，并將實驗結果與仿真結果進行對比分析，對所提出方法的有效性進行評價。

1 內齒圈齒根應變分析

1.1 內齒圈齒根應變計算方法

本研究對象為單級行星齒輪箱，內齒圈固定。在平衡狀態下，行星輪與內齒圈之間的嚙合力為

(1)

其中：TD為對太陽輪施加的轉矩；N為齒輪箱中行星輪的個數；Rsb為太陽輪的基圓半徑。

圖1 內齒圈簡化模型Fig.1 Simplified model of the ring gear

式(1)中，Frp體現了單個行星輪對內齒圈的整體作用，但由于齒輪嚙合過程中存在單、雙齒交替嚙合現象，所以對于內齒圈的某一個輪齒，其在嚙合過程中所受到的力并不恒定為Frp。當只有一對輪齒嚙合時，Frp由該對輪齒完全承擔；當兩對輪齒參與嚙合時，Frp由這兩對輪齒共同承擔。Frp在這兩對輪齒上的分配原則在不考慮工況參數變化的情況下，文獻[16]從能量上進行了闡述，只考慮了彎曲變形能。實際上嚙合剛度就是對輪齒彎曲、壓縮、剪切及接觸等變形能的一個綜合反映，所以筆者認為嚙合過程中齒間載荷的分配取決于兩對輪齒嚙合剛度的相對大小更加直觀。例如，當行星輪上相鄰的兩個輪齒m，n分別與圖1所示內齒圈上相鄰的兩個輪齒y，z發生嚙合時，內齒圈輪齒所受嚙合力可分別表示為

(2)

(3)

其中：kmy為輪齒m，y的嚙合剛度；knz為輪齒n，z的嚙合剛度。

筆者采用文獻[17]中的有限元方法計算嚙合剛度。內齒圈齒根應變利用有限元方法計算。首先，在Solid Works中建立如圖1所示實體模型，并將其導入Ansys；其次，對Ansys中的模型進行網格劃分，約束內齒圈外表面所有方向自由度；然后，將Frp,y和Frp,z分別作為線載荷加載到輪齒y和輪齒z的特定部位(在嚙合過程中的某一時刻，Frp,y和Frp,z具有確定的數值和加載位置)，加載線與AB線平行；最后，進行靜力學求解(不考慮沖擊和工況參數變化對齒根應變的影響)。通過以上過程，可以在Ansys后處理器中提取嚙合過程中某一時刻內齒圈齒根應變的數值。

1.2 內齒圈齒根應變仿真計算

仿真計算內齒圈齒根應變時用到的行星齒輪箱與后續實驗中的一致，其參數如表1所示。

表1 行星齒輪箱參數Tab.1 Parameters of the planetary gearbox

圖2 內齒圈齒根應變分布曲線Fig.2 Distribution of the tooth root strain of the ring gear

在輪齒y從進入嚙合到退出嚙合的過程中，按照時間先后順序選取了14個離散的時間點。圖2為在這14個時間點加載時(負載轉矩為30Nm)，內齒圈齒根AB線上的軸向應變分布曲線(縱坐標微應變為無量綱參數)，該組曲線從下到上與14個時間點對應。可以看出，內齒圈齒根應變在軸向呈現非均勻分布的特點，且靠近輪齒邊緣部位的應變絕對值大，中間應變絕對值小。

圖3為在11.4，19.2和30Nm的負載轉矩下，AE區域(AE長度為1.5mm)的平均軸向應變隨嚙合過程的變化曲線。為了便于分析比較，將圖3(以及后續應變曲線圖)中的橫坐標以嚙合周期為基準做歸一化處理。可以看出，AE區域的平均應變呈現出明顯的單、雙齒交替嚙合區間。

圖3 內齒圈齒根應變在嚙合過程中的變化曲線Fig.3 Tooth root strain of the ring gear during the meshing process

2 內齒圈齒根應變光纖光柵測量方法

2.1 測量原理

光纖由纖芯和包層組成，光纖光柵是在纖芯中通過紫外光照射等手段加工而成的結構，該結構對特定波長的光具有反射作用，反射光的諧振波長與光纖光柵的周期和纖芯有效折射率有關。

光纖光柵的軸向變形會使其反射波長產生偏移，軸向應變量ε與波長偏移量Δλ的關系為

(4)

其中：λB為光纖光柵未發生變形時的反射光諧振波長；pe為有效彈光系數，該值為常數。

若將裸光纖光柵(外部無封裝結構)直接粘貼在被測區域，并且忽略膠結劑對應變靈敏度的影響，則由式(4)可知，只要獲得光纖光柵變形前后的諧振波長偏移量，即可計算得到被測區域的應變。但式(4)嚴格來講是均勻應變場作用下的光纖光柵應變傳感模型，內齒圈齒根應變在軸向呈現非均勻分布的特點，所以利用式(4)計算內齒圈齒根應變的合理性需要討論。本研究所用方法為：計算在內齒圈齒根非均勻應變作用下光纖光柵的反射率，從反射光譜中提取光纖光柵的諧振波長值，并計算波長偏移量，通過式(4)計算應變，并比較該應變與測試區域平均應變的差異。

計算非均勻應變作用下光纖光柵的反射率采用傳輸矩陣法[18]。將光纖光柵分成長度相等的M段，假設每段光纖光柵范圍內的應變均勻分布，則光纖光柵內的電場幅度可以表示為

(5)

Tk為第k段光柵的傳輸矩陣

(6)

根據式(5)和式(6)，光纖光柵的反射率為

(7)

非均勻應變場影響式(6)中的直流耦合系數，如式(8)所示

(8)

如果光纖光柵沿齒輪軸向粘貼在圖1中的AE區域，則行星齒輪箱在11.4，19.2和30Nm的負載轉矩下，光纖光柵諧振波長偏移量及由其計算的應變隨嚙合過程的變化曲線如圖4所示。

圖4 光纖光柵諧振波長偏移量及由其計算得到的內齒圈齒根應變Fig.4 Wavelength change of FBG and the calculated tooth root strain of the ring gear

對比圖3, 4可以看出，在內齒圈齒根部位非均勻應變場作用下，利用光纖光柵諧振波長偏移量計算的應變與測試區域的平均應變雖不完全相等，但兩者所呈現出的嚙合區間范圍是一致的，且在嚙合周期的同一位置，兩者的數值非常接近。另外，考慮到測試內齒圈齒根應變的最終目的在于故障診斷，所以關注的應該是應變的相對變化量，而不是應變的絕對大小。因此，利用光纖光柵諧振波長的偏移量并通過式(4)計算的應變可以足夠準確地反映測試區域的平均應變，并作為齒輪箱的故障特征載體信號。

2.2 光纖光柵傳感單元的布置與設計

因為光纖光柵直徑較小，在內齒圈的頂隙部位具有一定的安裝空間，所以理論上光纖光柵在齒根處可以與齒輪軸向成一定角度傾斜粘貼，如圖5所示。本課題組前期建立了所測應變與安裝角度的關系模型，并進行了實驗驗證[15]，發現在AB線的同一位置處，只有當安裝角度θ為0時，才能使光纖光柵測量到的應變絕對值最大，所以筆者將光纖光柵與齒輪軸向平行粘貼在圖1中AB線上。需要指出的是，此時獲得的應變(即AB方向應變)性質與圖5中r方向(與AB垂直且與齒面相切)的應變性質不同。例如，當r方向為拉應變時，光纖光柵測得的應變為壓應變。

圖5 光纖光柵傾斜粘貼示意圖Fig.5 Slant installation of FBG

在明確了粘貼方向后，光纖光柵的長度及其在AB上的位置是兩個需要考慮的問題。理論上，在其他參數一定的情況下，光纖光柵越長，其反射率越大，反射譜的帶寬越小，諧振波長的檢測精度越高；光纖光柵越短，其反射率越低，反射譜的帶寬越大，諧振波長的檢測精度越低。因此，光纖光柵越長，檢測到的應變越準確。但是從故障診斷的角度考慮，檢測到的應變信號應盡可能大，否則其信噪比將偏低。由測量原理可知，最終檢測到的應變反映的是光纖光柵測試范圍內的平均應變，為了獲取更大應變，應該使光纖光柵的長度盡可能小，并靠近齒輪端面粘貼。綜上所述，確定光纖光柵的長度及其粘貼位置，應全面考慮測試對象的尺寸、應變的檢測精度以及信噪比。針對本研究的測試對象(如表1所示)，設計的光纖光柵長度為1.5mm，并粘貼在圖1中的AE位置。

圖6為利用傳輸矩陣法計算的該光纖光柵初始反射光譜，縱坐標反射率為無量綱參數，其最大反射率為0.28，3dB帶寬為0.78nm，邊模抑制比為17dB。光纖光柵其他主要參數：纖芯有效折射率為1.48；光柵周期為0.52μm；交流折射率變化最大值為3×10-4。

圖6 光纖光柵反射光譜Fig.6 Reflected spectrum of FBG

2.3 后續測量系統的構建

由以上分析可知，內齒圈齒根應變測量的關鍵在于準確獲取光纖光柵反射光的諧振波長值。雖然檢測光纖光柵諧振波長的方法很多，但由于行星齒輪箱嚙合頻率較高，所以要保證波長解調速度足夠快，才能不失真采集齒根應變。目前，能夠在工程上應用并滿足上述要求的后續測量系統構建方案如圖7所示。波長解調儀選用的是國際上領先的MOI公司產品SM130，該儀器的波長解調頻率能夠達到1kHz，但價格較高，解調儀分為硬件部分及與之配套的上位機軟件。圖7所示系統的原理為：掃描光源在每個掃描周期內均發出同樣的一組波長隨時間變化的窄帶光信號；光源發出的光經過光耦合器后分為兩部分，一部分進入光纖光柵，另一部分進入梳狀濾波器(只允許特定幾種波長的光通過)。由于兩種光學器件對光波長的選擇作用，光纖光柵的反射光和梳狀濾波器的透射光經過光電轉換和信號處理后，在時域上會呈現出各自的光譜形態。對于梳狀濾波器的透射光譜，每一個波峰位置對應的波長值已知，可以根據已知的波長信息通過分段線性插值等方法對光纖光柵反射光的諧振波長值進行實時標定，該過程在波長解調運算模塊中實現。光纖光柵的反射光諧振波長信息進入上位機，上位機中的波長解調儀軟件能夠顯示光纖光柵反射光譜波形，并在線實時記錄其諧振波長值。由于SM130為通用儀器，軟件難以進行二次開發，所以齒根應變計算以及數據分析處理的工作需要放在Matlab軟件中離線進行。

圖7 內齒圈齒根應變光纖光柵測量系統原理圖Fig.7 Measurement system of the tooth root strain

3 內齒圈齒根應變測量實驗與分析

為了驗證筆者所提方法的有效性，搭建了一個行星齒輪箱實驗臺，利用圖7所示的系統對內齒圈齒根應變進行動態測量，如圖8所示。其中，三相異步電機為行星齒輪箱提供輸入轉速和驅動轉矩，磁粉制動器為行星齒輪箱提供負載轉矩。由于裸光纖在圖中較難識別，所以用白色虛線表示了光纖的路徑。

圖9為本實驗中所使用的光纖光柵探頭，光纖光柵傳感單元位于去除涂覆層后的光纖區域，長度為1.5mm，直徑為0.125mm，實驗中所用齒輪箱的內齒圈的頂隙約為0.3mm，所以粘貼的光纖光柵探頭不會影響齒輪嚙合。

在內齒圈齒根處粘貼光纖光柵如圖10所示。光纖從行星架軸所在的端蓋上打孔引出，如圖11所示。

圖8 內齒圈齒根應變測量現場圖Fig.8 Measurement experiment of the tooth root strain

圖9 光纖光柵探頭結構Fig.9 Structure of the FBG probe

圖10 光纖光柵布置現場圖Fig.10 Installation of FBG in the experiment

圖11 光纖的引出方式Fig.11 Extraction of the fiber from the gearbox

實驗時，通過自主開發的上位機軟件控制電機的轉速和磁粉制動器施加的負載，實時讀取轉速和負載信息。本實驗期望獲得在相同的輸入轉速(100r/min)和不同負載(11.4，19.2和30Nm)下，齒根應變動態變化曲線，但由于實驗臺的開環控制系統結構以及三相異步電機的負載特性，所以當負載變化后，電機的轉速也會變化。為了維持電機轉速不變，每次改變負載時，需要根據讀取的轉速數據對電機轉速進行調整。按照以上方法，從測量到的應變數據中截取內齒圈檢測齒從進入到退出嚙合過程中的應變曲線，如圖12所示。可以看出，內齒圈齒根應變基本上隨著負載轉矩的增加而等比例增加。

圖12 不同負載下，內齒圈齒根應變曲線Fig.12 Ring gear tooth root strain at different loads

對比圖12，3和圖4可以看出，實驗和理論計算得到的齒根應變曲線在單、雙齒嚙合區間的范圍上基本一致，且在每個區間范圍內，齒根應變數值近似相等。但是實驗和理論曲線仍存在一些區別，出現的差異及其原因如下。

1) 在相同嚙合區間內，齒根應變數值并不完全相等。出現這種現象的原因為：a.從測試精度上考慮，測試儀器(SM130)會引入約為2 με的測量誤差；b.測試過程中負載轉矩并不完全恒定，還存在波動；c.通過對測試時間段內的轉矩信號進行分析發現，實驗中的行星齒輪箱具有一定程度的偏載現象(工業現場中這種現象也較常見)，這意味著不同部位的內齒圈輪齒所受的嚙合力并不完全相同，而理論計算是在理想的情況下進行的；d.由于實驗直接測量的是光纖光柵反射波長值，再根據式(1)換算成齒根應變，應變靈敏度使用的是理論值(對于設計反射波長為1 550nm的鍺硅光纖光柵，該值為1.3 pm/με)，實際上，由于光纖光柵是利用膠黏劑粘貼在內齒圈齒根部位，所以膠黏劑的種類、膠結層的厚度、膠結寬度和長度等因素均會對光纖光柵的應變靈敏度產生影響。

2) 實驗測到的齒根應變信號呈現的單、雙齒嚙合區間的界限沒有理論結果明顯。這是由于理論模型在嚙合區間分布時，將輪齒作為剛體來考慮，而在實際過程中輪齒會發生彈性變形，所以在單、雙齒嚙合交替的時候存在過渡區域。在過渡區域內，筆者介紹的計算模型不再適用，但這些區域內的齒根應變數值一定位于前后兩個穩定嚙合區間數值之間。

3) 實驗測到的齒根應變信號在每個區間內并不像理論計算結果一樣平滑。這是由于理論計算是在平衡狀態下進行的，而測試內齒圈齒根應變的工作是在動態工況下進行的，齒輪箱內的誤差、齒側間隙和沖擊等因素均會使齒根應變曲線產生波動。

4 結 論

1) 通過仿真計算獲得了內齒圈齒根應變在齒寬方向的分布曲線，以及齒根應變在嚙合過程中的變化曲線，為測點布置和驗證測試方法的有效性提供了理論依據。

2) 從測量原理、測點布置、測量單元設計和測量系統構建等角度對提出的測量方法進行了分析，可以看出該方法與傳統方法有較大差異。

3) 搭建了較符合工業現場行星齒輪箱工況條件的實驗臺，運用所研究的測量系統對行星齒輪箱內齒圈齒根應變進行了測量。實驗獲得的齒根應變信號與仿真計算的結果無論從單、雙齒嚙合區間的分布，還是從各區間下齒根應變的數值上均具有較好的一致性，證明了筆者提出的光纖光柵動態測量方法的準確性和有效性。