全參數(shù)可調(diào)雙縫干涉光強(qiáng)分布的GeoGebra動(dòng)態(tài)繪圖*

王洪濤 石禮偉 李艷

(中國(guó)礦業(yè)大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 江蘇 徐州 221116)

大學(xué)物理課程是本科教育階段的一門重要的公共基礎(chǔ)課程，是“新工科”建設(shè)中強(qiáng)調(diào)的“厚基礎(chǔ)”中的重要組成部分．而物理學(xué)內(nèi)容是由對(duì)現(xiàn)實(shí)問題的分解、簡(jiǎn)化、抽象概括出來的，因此物理學(xué)知識(shí)在大多學(xué)生眼中是抽象的、不易理解的，而借助計(jì)算機(jī)的模擬仿真功能把抽象的物理規(guī)律直觀化、形象化、生動(dòng)化，對(duì)教學(xué)效果的提升有重要的輔助作用[1]．目前有很多方便的繪圖或仿真工具軟件可以把抽象的理論轉(zhuǎn)化為直觀的圖形或動(dòng)畫，比如Matlab[2]，Gnuplot，等等，但是這些軟件有一個(gè)共同特點(diǎn)就是需要學(xué)習(xí)專用的程序代碼，不易上手．GeoGebra是一款包含了幾何、代數(shù)、表格、圖形、統(tǒng)計(jì)和微積分等功能的自由的跨平臺(tái)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件[3]，不僅可以方便地通過鼠標(biāo)點(diǎn)擊進(jìn)行簡(jiǎn)單的幾何繪圖,也可以通過代數(shù)及指令輸入精確繪制復(fù)雜的圖形，而且還能夠方便地通過變量滑動(dòng)條實(shí)現(xiàn)2D&3D圖形的動(dòng)態(tài)變化演示． 目前GeoGebra動(dòng)態(tài)繪圖已經(jīng)在初、高中及大學(xué)物理教學(xué)中得到了一定的應(yīng)用[4～6]，在物理教學(xué)過程中引入GeoGebra則可以通過直觀的圖形來展示抽象的物理過程及規(guī)律，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解，在課外研討環(huán)節(jié)作為繪圖工具推薦給學(xué)生可以提升學(xué)生對(duì)物理知識(shí)的探索興趣，進(jìn)一步激發(fā)其學(xué)習(xí)的主觀能動(dòng)性．

1 雙縫干涉光強(qiáng)分布

楊氏雙縫干涉是大學(xué)物理波動(dòng)光學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，是通過分波陣面方法實(shí)現(xiàn)普通光的干涉的典型例子．教學(xué)中多采用點(diǎn)光源置于雙縫中垂線上，穿過狹縫光線沿小角度干涉的近似條件建立光程差關(guān)系，進(jìn)而得到明暗相間的等間距條紋，條紋分布與雙縫寬度、縫屏間距、入射波長(zhǎng)有關(guān)的結(jié)論．楊氏雙縫干涉中的點(diǎn)光源是一個(gè)理想概念，而且理論推導(dǎo)出的部分結(jié)論是在小角度近似條件下成立的，因此在實(shí)際干涉過程中理論結(jié)論和實(shí)驗(yàn)結(jié)論之間存在差異，這個(gè)差異如果沒有被強(qiáng)調(diào)指出很容易給學(xué)生造成誤解．

如圖1所示， 把楊氏雙縫干涉的點(diǎn)光源替換為一束平行光且與水平方向成θ角方向斜入射到狹縫A和B上，在雙縫后相距L處的干涉屏上形成干涉光強(qiáng)的分布圖樣，干涉屏上P點(diǎn)的光強(qiáng)取決于兩束光的光程差．

圖1 雙縫干涉示意圖

圖中BC是垂直于入射光的線段，根據(jù)惠更斯原理可知，B，C兩點(diǎn)具有相同的相位．設(shè)入射光的振動(dòng)方程為

x=Acos(ωt+φ0)

(1)

根據(jù)光的傳播規(guī)律，當(dāng)兩束光分別經(jīng)過A和B兩條狹縫傳播到P點(diǎn)時(shí)，在P點(diǎn)的振動(dòng)方程分別可以表示為

(2)

(3)

根據(jù)疊加原理，P點(diǎn)合振動(dòng)的振動(dòng)方程可以表示為

(4)

(5)

2 GeoGebra動(dòng)態(tài)繪圖實(shí)現(xiàn)

干涉屏上任一點(diǎn)P的光強(qiáng)大小根據(jù)式(5)可知與入射光波長(zhǎng)λ，雙縫間距d=AB，縫屏間距L及入射平行光的方向角θ均有關(guān)．并且在干涉屏上不同點(diǎn)的光強(qiáng)不同，所以光強(qiáng)分布還同時(shí)與干涉屏上的位置有關(guān)．為了能夠?qū)崿F(xiàn)全參數(shù)可調(diào)，我們首先需要設(shè)定5個(gè)可調(diào)參數(shù)，即在GeoGebra中建立5個(gè)滑動(dòng)條，考慮到可見光波長(zhǎng)的范圍及干涉效果的區(qū)分度各參數(shù)的取值按照表1進(jìn)行設(shè)置．

表1 滑動(dòng)條參數(shù)設(shè)置

為了繪圖輸入數(shù)據(jù)方便，下述繪圖過程中所輸入的長(zhǎng)度及坐標(biāo)單位均為10-4m．

輸入Segment((-0.5,0),(0.5,0))建立雙縫位置屏；

輸入C=(-0.5,L)，D=(0.5,L)，Segment(C,D)，建立可調(diào)位置干涉屏；

輸入E=(P,L)在干涉屏上建立干涉點(diǎn)，其坐標(biāo)與P和L關(guān)聯(lián)；

輸入Segment(A,E)，Segment(B,E)畫出兩條干涉光線；

輸入Segment((0,0),(0,L+0.3))作輔助虛線Oy;

輸入Angle(J,B,F) 標(biāo)注入射角大小;

為了顯示W(wǎng)點(diǎn)在不同位置上的光強(qiáng)大小，勾選W點(diǎn)屬性中的“顯示蹤跡”．繪制的圖像如圖2所示.

圖2 全參數(shù)可調(diào)的雙縫干涉光強(qiáng)分布繪圖

3 各參數(shù)對(duì)光強(qiáng)分布的影響

圖3 縫屏間距對(duì)干涉光強(qiáng)分布的影響

由演示結(jié)果還可以觀察到當(dāng)L=1.5時(shí)，條紋間距基本上相等，而當(dāng)L=0.5時(shí)，條紋間距出現(xiàn)了很明顯的中間密集兩邊稀疏的特征．大多教材中只是給出了干涉條紋等間距分布的結(jié)論，而較少提及該條紋間距不均勻分布的特征，原因就在于教材上為了簡(jiǎn)化計(jì)算采用了小角度近似，條紋等間距分布的結(jié)論也只在干涉角度很小的情況下成立．而我們采用GeoGebra繪圖時(shí)沒有進(jìn)行簡(jiǎn)化近似，所以得到的結(jié)論是嚴(yán)格的．

同樣的，由GeoGebra繪制的動(dòng)態(tài)圖還可以對(duì)比以不同傾角入射的平行光通過雙縫后的干涉光強(qiáng)分布．如圖4所示，先后選擇θ=0(垂直入射)和θ=60°(斜入射)進(jìn)行繪圖并進(jìn)行對(duì)比．結(jié)果顯示兩種情況下的干涉光強(qiáng)分布圖通過橫向平移可以完全重合，當(dāng)入射光的傾角變化時(shí)干涉條紋間距不變只是在屏幕上進(jìn)行了平移，這與理論推導(dǎo)結(jié)果一致．平行光傾斜入射在單縫衍射及光柵衍射中都有所涉及，因此也可以通過GeoGebra動(dòng)態(tài)繪圖演示衍射條紋隨入射傾角的變化而變化． 由雙縫干涉理論可知，條紋間距正比于入射光的波長(zhǎng)，圖5繪制了垂直入射時(shí)波長(zhǎng)分別為λ=400 nm和λ=600 nm情況下的光強(qiáng)分布的對(duì)比圖，由圖可以明顯看出此兩種情況下對(duì)應(yīng)的干涉條紋的條紋間距之比恰好為2∶3．

圖4 入射光傾角對(duì)干涉光強(qiáng)分布的影響

圖5 入射光波長(zhǎng)對(duì)干涉光強(qiáng)分布的影響

條紋寬度與雙縫間距成反比的結(jié)論則可以通過對(duì)比圖3～圖5中波長(zhǎng)λ=8，縫屏間距L=1.0，雙縫間距d分別為0.04，0.08和0.12的3種情況，容易看出，在相同的長(zhǎng)度范圍CD內(nèi)產(chǎn)生的條紋個(gè)數(shù)隨著d的增加而增加，即條紋寬度反比于雙縫間距．

此方法繪制的干涉光強(qiáng)分布圖由于全參數(shù)可調(diào)，便于對(duì)單一或協(xié)同的參量變化對(duì)干涉結(jié)果的影響進(jìn)行動(dòng)態(tài)觀察，并且不必為了簡(jiǎn)化計(jì)算過程而進(jìn)行近似處理，可以方便地得到雙縫干涉的真正的、準(zhǔn)確的、直觀的光強(qiáng)分布圖示．這樣一幅全參數(shù)可調(diào)動(dòng)態(tài)圖基本上囊括了雙縫干涉教學(xué)中的所有知識(shí)點(diǎn)，具有較強(qiáng)的示范作用，并且該方法可以在大學(xué)物理教學(xué)中進(jìn)行拓展應(yīng)用，能夠極大程度上使相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的講授及學(xué)習(xí)一體化、動(dòng)態(tài)化．并且GeoGebra繪圖過程簡(jiǎn)單直觀，不像Matlab，Mathmatics等專業(yè)的程序繪圖軟件需要額外學(xué)習(xí)程序語(yǔ)言才能完成相應(yīng)的任務(wù)，在教學(xué)實(shí)踐及學(xué)生課下自主探索過程中具有很高的可執(zhí)行性．

4 總結(jié)

本文以波動(dòng)光學(xué)中的雙縫干涉為例，采用動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)繪圖工具GeoGebra進(jìn)行了全參數(shù)可調(diào)的動(dòng)態(tài)繪圖演示，使學(xué)生能夠直觀地觀察到入射角、波長(zhǎng)、雙縫間距、縫屏間距等參數(shù)對(duì)雙縫干涉光強(qiáng)分布的影響，使學(xué)生能夠生動(dòng)直觀地理解雙縫干涉這一教學(xué)內(nèi)容．而且也給他們提供了一種簡(jiǎn)單易用的采用動(dòng)態(tài)作圖方法理解抽象物理規(guī)律的可行方法. 此方法不需要專業(yè)的程序語(yǔ)言，而且不用為了簡(jiǎn)化計(jì)算而引入近似模型，能夠準(zhǔn)確、生動(dòng)地展示物理結(jié)果，值得在大學(xué)物理教學(xué)及學(xué)習(xí)中進(jìn)行推廣和應(yīng)用.