基于擴張狀態觀測器的有限時間收斂制導律

陳澤宏,鐘繼鴻,趙宏宇,王 鑒

(1. 空軍駐上海地區第一軍事代表室，上海 201109； 2. 上海機電工程研究所，上海 201109)

0 引 言

考慮到導引頭測量信息的特點，目前應用最廣泛的制導律是比例導引律和修正比例導引律。比例導引律易于實現且導彈具有較好的彈道特性，能滿足導引律的基本要求。但是，由于初始誤差、導彈速度變化、目標機動等對比例導引律的影響，導彈需用過載變化很大，甚至在彈目接近過程中會出現需用過載過早飽和而導致比例導引性能大大下降，最終脫靶量過大的情況。隨著目標的機動性能和速度不斷提升，末端制導信息存在不連續變化，經典導引規律的不足日益凸現。隨著現代控制理論的發展，許多學者提出了新的現代導引律[1-5]。根據技術指標的要求，在引入性能指標函數基礎上利用極小值原理得到的最優制導律，在攔截非機動目標或者小機動目標時能取得良好的制導效果。滑模變結構制導律的設計思想比較簡單，在解決參數不確定的非線性控制系統問題的時候有很大優勢。許多研究者針對大機動目標設計了變結構導引律，還有類似基于人工智能的制導律、微分對策制導律等。

然而，上述大多數制導律都是基于漸近穩定性或者指數穩定性方法設計的，只有當時間趨于無窮時，視線角速度才會為零，而實際上末制導過程的時間是有限的。同時，在上述制導律設計中往往沒有考慮導彈動力學特性的影響，如果考慮制導末端的制導控制回路特性，彈目視線角速度實際上將趨向于發散，導彈需用過載將急劇增大，可能導致制導回路失穩。因此，上述制導律的主要缺點是存在視線角速度收斂時間和穩定控制系統動態響應的問題。基于非線性系統的有限時間穩定性方法，文獻[6]提出了一種使視線角速度有限時間收斂的制導律。根據有限時間收斂控制理論，文獻[7]應用滑模變結構控制方法設計了一種考慮導彈穩定控制系統二階動態特性的有限時間收斂導引律。

制導控制回路是探測制導系統與穩定控制系統組成的非線性級聯系統，因此反步控制設計方法適用于考慮導彈穩定控制系統動態特性的制導律設計。在末制導中，對制導系統而言，主要的干擾其實是目標的機動和測量噪聲。在未考慮穩定控制系統動態特性的制導律中，造成脫靶量變大的最主要原因是導彈加速度響應滯后于制導指令，嚴重時甚至會使制導回路失穩。 在本文中，為提高閉環制導系統的性能，考慮到穩定控制系統為一階環節，利用反步設計方法，在進行制導律設計時結合了加速度指令的積分控制，并根據平行接近導引法思想，推導了一種新的有限時間制導律。理論分析證明，該方法能夠在彈目交會前使彈目視線角速度收斂到零。為了對目標機動進行有效補償，本文將擴張狀態觀測器(extended state observer, ESO)的反步設計應用到有限時間制導律中，對彈目視線角速度的跟蹤與目標機動估計問題進行了研究。

1 彈目相對運動模型

為了便于問題分析，考慮平面制導問題，彈目運動示意圖如圖1所示。在參考坐標系oxz中，導彈(M)與目標(T)之間的連線為視線，視線與ox軸夾角q為視線角，R為彈目相對距離，vM、vT分別為導彈和目標的速度，aMq、aTq分別為導彈和目標垂直于視線的加速度，aMR、aTR分別為導彈和目標沿著視線方向的加速度。

圖1 彈目相對運動示意圖Fig.1 Schematic diagram of missile-target relative motion

根據圖1所示幾何關系可得

(1)

實際中導彈響應加速度指令是動態的，因此在本文中考慮導彈穩定控制系統為一階慣性環節,其表達式為

(2)

式中：τ為加速度響應時常數；u為加速度控制指令。

(3)

(4)

2 有限時間收斂制導律

經典飛行力學指出，無論目標進行何種機動飛行，當采用平行接近導引時，導彈需用法向過載總是小于目標機動時的法向過載，這樣可減小對導彈機動性能的要求。根據平行接近法思想，在末制導過程中，要求視線角速度盡可能快地收斂到零。

(5)

本文利用反步設計方法，有限時間收斂制導律設計分為以下3個部分內容。

2.1 制導控制回路指令設計

導引頭可測得彈目視線角速度，然后通過制導指令形成裝置產生導彈加速度指令。根據平行接近法，設計的制導指令應使得式(3)有限時間穩定，即x1→0。對此有如下定理。

定理1：若設計的虛擬制導指令x2c為

(6)

(7)

將式(6)代入式(7)得

(8)

由此可得

(9)

2.2 穩定控制回路指令設計

設計加速度控制指令u，使得x2有限時間跟蹤上x2c。在式(4)中取狀態反饋控制為

u=τk+x2

(10)

式中：k為待設計的控制量。

由于存在導彈加速度動態響應過程，x2與x2c存在誤差，即跟蹤誤差。定義加速度跟蹤誤差e=x2-x2c，則有

(11)

將式(3)代入到式(11)可得

(12)

將x2=e+x2c代入式(3)可得

(13)

定理2：對于式(12)和式(13)，若取控制量k為

(14)

則加速度跟蹤誤差e和彈目視線角速度x1有限時間收斂到零。

證明：選取新的Lyapunov函數為V2=V1+|e|，則有

(15)

(16)

將式(14)代入式(12)，并整理可得

(17)

則有

(18)

由于δ>‖aTq‖且g(x1)>0，R>0，則有并且所以由式(18)可得

(19)

對于任意常數p、x、y，當p≥1時有(|x|+|y|)1/p≤|x|1/p+|y|1/p成立，則由式(19)可得

(20)

根據引理1可知，彈目視線角速度x1和加速度跟蹤誤差e有限時間收斂到零。

2.3 基于ESO的制導控制回路指令設計與實現

由式(6)可得

(21)

將式(3)代入式(21)可得

(22)

對式(22)設計ESO可得

(23)

式中：

z1跟蹤彈目視線角速度x1；z2跟蹤系統模型的干擾項與未知部分f2。由此可得彈目視線角速度估計和目標機動估計值。由此可得

(24)

式中：ω1=(f1(z1,x2)+z2)/b+ω。同理，對式(24)設計ESO可得

(25)

式中：x1c為期望彈目視線轉動角速度，令x1c=0以實現平行接近導引；z3跟蹤控制量ω1。由此可得，基于ESO的有限時間收斂制導指令為

(26)

3 仿真驗證

在末制導段考慮導引頭測量噪聲進行仿真。假設導彈加速度響應時常數為τ=0.4 s，初始位置為xM(0)=4 000 m、zM(0)=500 m，速度vM=1 000 m/s。目標初始位置為xT(0)=16 000 m、zT(0)=3 500 m，速度vT=800 m/s。假定導彈初始彈道偏角指向目標。導彈可用加速度為400 m/s2。仿真中，目標飛行方式分別設為平飛和aT=100 sin(2πt/5) m/s2的正弦機動，并在相同的初始條件下與增強型比例導引(augmented proportional navigation，APN)方法進行對比。

1) 目標平飛

彈目視線角速度和導彈加速度的仿真結果如圖2和圖3所示，目標平飛時加速度估計如圖6(a)所示，脫靶量見表1。

(a) 彈目視線角速度 (b) 加速度指令與輸出圖2 本文制導律仿真結果Fig.2 Simulation results of guidance law in this paper

(a) 彈目視線轉率 (b) 加速度指令與輸出圖3 APN制導律仿真結果Fig.3 Simulation results of APN guidance law

2) 目標正弦機動

彈目視線角速度和導彈加速度的仿真結果如圖4和圖5所示，目標正弦機動時加速度估計如圖6(b)所示，脫靶量見表1。

(a) 彈目視線轉率 (b) 加速度指令與輸出圖4 本文制導律仿真結果Fig.4 Simulation results of guidance law in this paper

(a) 彈目視線轉率 (b) 加速度指令與輸出圖5 APN制導律仿真結果Fig.5 Simulation results of APN guidance law

(a) 平飛情況下 (b) 正弦機動情況下圖6 基于ESO的目標加速度估計結果Fig.6 Target acceleration estimation based on ESO

表1 目標平飛和正弦機動情況下的脫靶量Tab.1 Miss Distance when target in level flightand sinusoidal maneuver

圖2～5中，(a)圖表明：在本文所設計的制導律下，視線角速度能夠在有限時間內收斂到零附近；目標正弦機動情況下視線角速度最后才發散，目標平飛情況下視線角速度不發散，所以制導精度較高。由于APN設計過程中忽略了加速度響應延遲，所以平飛和機動情況下視線角速度均較早發散，導致脫靶量較大。

圖2～5中，(b)圖給出了兩種制導律下的加速度指令和導彈加速度的變化過程。可以看出：制導過程開始時，本文所設計制導律下的導彈加速度相對較大，視線角速度能夠快速地收斂到零附近；而APN下的導彈初始加速度相對較小，所以視線角速度收斂慢，在目標機動情況下APN末端所需加速度較早被限幅，且加速度響應滯后于指令。從圖4(b)中可見導彈輸出加速度能夠快速準確跟蹤加速度指令，這是因為本文在制導律設計中考慮了穩定控制系統的動態特性。

圖6給出了采用ESO方法估計得到的目標加速度情況。ESO方法能夠快速收斂并準確估計出目標加速度，在末端時彈目距離較近，ESO估計值與實際值的誤差變大，因此，在實際應用時彈目交會前0.5 s不再接入目標加速度補償，以保證制導精度。

4 結束語

本文考慮導彈穩定控制系統的動態特性，通過擴張狀態觀測器對目標機動進行補償，設計了一種有限時間收斂制導律。通過理論分析和仿真驗證可知，該制導律能夠使視線角速度在有限時間內收斂到零附近。與APN相比，本文所設計制導律的加速度跟蹤指令滯后小，導彈末端加速度小，制導精度更高，對機動目標具有魯棒性。