諧波齒輪傳動雙圓弧齒形雙向共軛設計方法

姜歌東,王爽,梅雪松,張弦,張豪

(1.西安交通大學陜西省智能機器人重點實驗室,710049,西安; 2.西安交通大學機械制造系統工程國家重點實驗室,710049,西安; 3.西安交通大學機械工程學院,710049,西安)

諧波齒輪傳動是20世紀50年代誕生的一種傳動技術。根據諧波齒輪傳動原理構建的傳動裝置(即諧波減速器)具有傳動比大、回轉精度高、體積小等特點,適用于對精密傳動有較高要求的場合,被廣泛應用在機器人、航空航天、精密儀器等領域。

在諧波齒輪傳動中,齒形會對傳動嚙合性能有很大的影響。最初Musser發明諧波傳動使用的是直線齒形[1],后來由工藝性較好的漸開線齒形代替,逐漸發展到更符合嚙合原理的新齒形[2];日本學者Ishikawa提出通過齒條近似法得到基本實現連續接觸的“S齒形”[3];辛洪兵在圓弧齒廓的基礎上提出柔輪和剛輪雙圓弧基本齒廓設計方法[4]。目前國內所研究的雙圓弧齒形如圖1所示,其工作齒廓由兩段圓弧段構成,中間通過公切線段平滑連接。

圖1 雙圓弧齒形及嚙合運動

圖2 雙圓弧共軛齒廓

(a)雙共軛(b)二次共軛(c)交叉圖3 共軛齒廓分布情況

本文根據雙圓弧齒形的分段特點,提出了一種將柔輪和剛輪的齒形進行聯合共軛計算的雙向共軛設計方法,該方法解決了單向共軛法存在的剛輪凸圓弧段共軛齒廓不確定問題,同時減少所需的設計變量,為諧波齒輪傳動雙圓弧齒形設計提供了一種新的思路。

1 雙向共軛齒形設計方法

本文提出的雙向共軛法在進行雙圓弧齒形設計時的流程如圖4所示。

圖4 雙向共軛法設計流程

1.1 諧波傳動坐標系與幾何關系

諧波傳動平面嚙合計算時滿足以下假設[14]:①原始曲線不伸長;②柔輪變形后的各特征曲線均視為原始曲線的等距曲線;③柔輪輪齒不變形并沿原始曲線均布;④將波發生器視為剛體。

建立波發生器坐標系{OXY},柔輪輪齒坐標系{o1x1y1},剛輪坐標系{o2x2y2},如圖5所示。此時,變形前的柔輪中性層半徑rm為

圖5 諧波傳動各坐標系

(1)

式中:Db為柔性軸承外徑;δf為柔輪齒根處壁厚。變形后的原始曲線的矢徑為

ρ(φ)=rm+ω(φ)

(2)

式中:φ為位置角參數,即與波發生器長軸的夾角;ω為原始曲線徑向位移,由波發生器外廓線確定。根據柔輪變形[14]可以得到

(3)

式中:υ為中性層周向位移;μ為中性層法向轉角。根據柔輪中性層曲線不伸長假設和幾何關系可知

(4)

式中:φ1為柔輪變形端轉角;φ2為剛輪轉角;z1、z2分別為柔輪和剛輪的齒數;γ為柔輪與剛輪的轉角差;φ為柔輪坐標系與剛輪坐標系的y軸夾角。

1.2 通過參數預設確定柔輪凸圓弧齒廓

圖6 柔輪凸圓弧齒廓

完成參數預設后,開始計算柔輪凸圓弧齒廓參數。諧波減速器柔輪內壁與柔性軸承配合,其內徑直接選用標準柔性軸承的外徑,柔輪的節圓直徑為

d1=Db+2δf+2hf1

(5)

節圓齒厚為

Sa=πd1/[(1+K)z1]

(6)

柔輪凸圓弧半徑為

ρa=(ha1-hl)/sinβ

(7)

凸圓弧圓心在節圓上,其到對稱軸的距離為

la=ρa/cosβ-Sa/2

(8)

在柔輪輪齒坐標系{o1x1y1}中,以到齒頂點A的弧長s為參數將柔輪凸圓弧齒廓坐標表示為

(9)

式中:參數s的范圍為[0,ρa(α1-β)];α1為齒頂A的壓力角;(xOa,yOa)為柔輪凸圓弧圓心坐標。

1.3 求解剛輪齒形

根據幾何關系,將柔輪齒廓點轉換到剛輪坐標系下

(10)

將齒廓坐標代入包絡方程[14]

(11)

圖7 剛輪雙圓弧齒形

1.4 求解柔輪齒形

在剛輪坐標系{o2x2y2}中,剛輪凸圓弧齒廓坐標以到齒頂點V的弧長s為參數表示為

(12)

式中:參數s的范圍為[0,ρp(α2-β2)];α2為齒頂的壓力角;(xp,yp)為剛輪凸圓弧圓心坐標。同理,將剛輪齒廓點轉換到柔輪坐標系下

(13)

圖8 柔輪雙圓弧齒形

2 齒形設計計算實例

2.1 齒形計算結果

為了說明雙向共軛法與單向共軛法的區別,這里選用相同的參數分別計算,參數取值見表1,單向共軛法需要先確定柔輪雙圓弧齒形,而雙向共軛法,簡稱雙向法,不需要設置凹圓弧參數,減少所需設計參數。

表1 柔輪齒形設計參數取值

齒形參數計算結果見表2,其中各參數如圖7、8所示。表2中柔輪齒形參數在單向法中均通過經驗方法選取[15],而雙向法中是通過共軛和擬合得到的。兩種方法的剛輪齒廓基本相同,都是由柔輪凸圓弧段的共軛齒廓確定。在嚙合最深處時嚙合狀態如圖9所示。單向法得到的結果屬于圖3b的情況,齒根圓弧段沒有參與嚙合;而雙向共軛法中柔輪與剛輪齒廓在整個工作齒高內都有較好的接觸,而且柔輪齒根部更厚,有利于強度的提高。

表2 齒形參數計算結果 mm

(a)雙向共軛法(b)單向共軛法

2.2 雙圓弧輪齒嚙合側隙分析

側隙是評價諧波傳動嚙合狀態的定量指標,可以用于判斷輪齒干涉,分析齒間載荷分布[16]。本文所研究的側隙定義為正常裝配下、空載時柔輪齒廓與剛輪齒廓的周向間隙[14]。

兩種方法的齒形計算結果在整個工作齒廓段的側隙分布如圖10所示。從圖10中可以看出,在整個嚙合過程中側隙大于0,說明沒有發生齒廓干涉,兩種設計方法的結果都是合理的。以側隙小于0.003 mm作為可能產生接觸嚙合條件[14],雙向法設計結果在參與嚙合的齒廓長度最大為0.53 mm,而單向法設計結果中參與嚙合的齒廓長度最長為0.22 mm,說明雙向法設計齒廓接觸段更長。

(a)雙向共軛法

(b)單向共軛法圖10 兩種方法齒形計算結果的側隙分布

圖11 最小側隙點位置

單一輪齒在嚙合時有多個齒廓點同時發生接觸被稱為多點嚙合現象。多點嚙合可以增大齒廓接觸

圖12 不同齒廓段的最小側隙分布

2.3 平面有限元接觸分析

為了驗證側隙嚙合分析結果,在有限元軟件Ansys中建立諧波傳動平面有限元模型。將波發生器簡化為凸輪的等距曲線,剛輪和柔輪都簡化為平面齒圈[17]。在柔輪齒廓和剛輪齒廓,柔輪與波發生器分別建立接觸對。將剛輪和波發生器的位置固定,負載通過扭矩施加在柔輪內壁上。通過有限元接觸仿真得到負載下齒廓的嚙合情況。在40 N·m負載下柔輪齒廓上的接觸應力如圖13所示。

(a)雙向共軛法

(b)單向共軛法圖13 兩種方法的齒廓接觸應力

圖13中接觸應力為0,表示沒有發生嚙合接觸,其他部分存在接觸應力,說明該處齒廓點產生了嚙合作用。從圖13中可以看出,雙向共軛法結果的接觸齒廓較長,并且有輪齒存在兩段接觸齒廓,驗證了多點嚙合現象。單向共軛法結果的接觸點均在凸圓弧段。有限元接觸分析的結果與側隙分析結果一致。對比最大接觸應力,雙向共軛法結果為44.175 MPa,單向共軛法結果為53.862 MPa,說明通過增大接觸面來減小齒面接觸應力,從而減小齒面磨損是可行的。

3 結 論

本文通過平面嚙合理論對諧波齒輪傳動的雙圓弧齒形設計方法進行了研究,得到以下結論。

(1)本文提出雙向共軛設計方法,用于諧波齒輪傳動的雙圓弧齒形設計。與常用的單向共軛法相比,雙向共軛法增加了從剛輪齒廓共軛計算柔輪齒廓的環節,解決了單向共軛法設計時剛輪凸圓弧段共軛齒廓不確定問題,并且減少了所需的設計參數。

(2)嚙合側隙分析結果表明,與單向共軛法相比,雙向共軛法設計的雙圓弧齒形參與嚙合的齒廓段更長、三段齒廓都參與嚙合,能夠實現多點嚙合,有利于減小嚙合力、降低齒面磨損。

(3)平面有限元接觸分析表明,與單向共軛法相比,雙向共軛法設計的雙圓弧齒形在負載下具有更大的齒廓接觸面積和更小的齒面接觸應力,有利于降低齒面磨損,進一步驗證了側隙分析的結論。

(4)本文提出的雙向共軛設計方法不僅提升諧波齒輪傳動雙圓弧齒形設計效果,也為其他類型分段齒形設計提供了一種可以借鑒的設計思路。