張志明


摘要:凸函數存在不少優秀的特性,比如針對其非常核心的特性來舉例:整個凸集里,它的每一個部位都是最小的,在全局的比較下也是最小的。它可以被有效地使用于數學的各個范疇中,目前它已經是數學規劃、對策論等多個研究范圍內的理論基礎以及重要的使用用具。本文主要是利用凸函數的性質來解決關于利潤、成本、最佳庫存等經濟問題,用數學符號來代替現實中用語言來形容的問題,最終求的一個最佳的方案來獲取最大的經濟效益。
關鍵詞:凸函數 效用函數 最優化 數量經濟學
自從21世紀伊始凸函數理論得以成立之后,它作為核心的理論,在各種數學研究中都被有效地運用。在目前普遍適用的高等數學的教科書里,全部有著凸函數的相關概念解釋。然而因為不同書籍的不同作用,對它的解釋也有著各種差別。當前,由于數學被普遍運用于經濟學范疇內,而使得數學從冷門學科一躍成為炙手可熱的學科。其中,數量經濟學主要通過對數學學科知識的運用來尋求答案,但是數理經濟學研究中相關的一些函數普遍具備凸性,這就決定了凸函數在其中的普遍運用,它能夠對企業探討財務資源的有效配備提供助益,從而幫助企業的利益達到最大。
三、函數凸性在數量經濟學中的應用
在市場經濟運行之時,生產商的主要要求就是,如何利用盡可能少的物資和成本,取得盡可能大的市場效益和利潤。他們會通過預估行為,構造一個效益、成本、價格三者相關的函數公式,之后再通過求取凸函數的極限值,來達到效益最優化、支出最小化的目的。通過對二次倒數求導,來判定函數的凹凸性,確定了函數的凹凸性之后,我們就可以根據凹凸函數的性質,進而計算出最大值和最小值。這是我們利用函數凹凸性的進行經濟決策的基礎。在實際的生活中,我們對于利用函數的凹凸性,尤其是凸函數進行經濟評估時,不是簡單的通過計算就可以得到最大值的。我們更需要的是首先對經濟問題進行分析,從而在這個過程中提煉出來一種經濟學模型來。然后才是對模型進行函數上的數學計算和分析。
(一)利潤最大問題
在任何的經濟活動中,利潤是不可缺少的部分,如何尋找一種利潤最大化的方案是我們所要解決的。其中成本函數與生產函數之間也有一種函數關系。當這種函數為凸函數時,對其利潤最大值的計算就可以利用凸函數的性質去求解。
對于如何尋求效益的最大化,首先需要尋找與效益相聯系的生產要素的函數關系,先通過一階導數尋找其穩定點,然后繼續求其二階導數,通過這個導數辨別利潤函數是不是凹函數,通過辨別如果是凹函數的話,那么就可以從中選取出最大的數值,也就是最大化的效益。這樣一來,復雜的經濟現象就變成了數學理論中經常被使用到的函數,把尋求經濟效益的最大化轉換成一般的凸函數求極值的問題,這是對數學知識的更好的應用,也是數學對經濟問題的有效解決。