機器學習在湍流模型構建中的應用進展

張偉偉,朱林陽,劉溢浪,寇家慶

(西北工業大學 航空學院,西安 710072)

0 引 言

湍流問題涉及到工程中的諸多領域，其重要性不言而喻。人們對于湍流的探索和研究也從未間斷?？焖倩兯枷隱1-2]和各種標度率的提出以及擬序結構[3]的演示促進了人們對湍流的認識。隨著計算機的迅速發展以及粒子圖像測速儀(PIV)的應用，人們對湍流的研究更加深入細致。我國的湍流研究在前輩學者的引領下起步很早[4]，近些年也取得了可觀的研究成果。佘振蘇教授等[5]提出了基于結構系綜理論(SED,Structural Ensemble Dynamics)的新模型(SED-SL)，陳十一院士團隊[6]提出了帶約束的湍流大渦模擬方法，何國威院士等[7]綜述了在歐拉與拉格朗日兩種參考系下的各種時空關聯模型，等等。經過前人的不斷努力，人們對湍流的認識不斷加深，但湍流的本質問題[8]以及在工程中的高效應用仍未得到很好的解決，湍流仍然是航空航天航海等領域工程成敗的關鍵瓶頸之一。湍流的本質、湍流演變的物理規律，以及如何在工程中更好地應用湍流，一直是研究者們不斷探索的研究方向。

湍流研究的數值計算方法可根據網格分辨尺度分為直接數值模擬(DNS)、大渦模擬(LES)和雷諾平均應力模型(RANS)。隨著計算機性能的提升和并行算法的開發，DNS和LES越來越多地在學術界和工業界得到應用。但是，對于復雜的幾何外形和高雷諾數流動而言，急劇增長的網格量很大程度上限制了這兩種方法的應用范圍，對于飛行器在飛行包線中的計算恐怕要到2030年才能實現[9]。相比之下，RANS模型雖然精度不及前兩種方法，但其易用性和高效性使之在工程實踐中得到廣泛應用[10]。特別是在航空航天領域，流動的雷諾數普遍較高，湍流計算主要依賴于現有的RANS模型。

RANS模型大多基于渦黏假設，在附著流中容易取得較好的計算結果。對于分離流等復雜流動，雷諾應力與應變之間不再是簡單的線性相關，其各向異性使得湍流的模型化變得明顯困難[11]，因此，RANS模型的計算結果往往偏差較大而不可靠。另一方面，模型中的經驗性參數往往是依據某些特定的流動確定的，一定程度上也增加了模型的不確定度，繼而影響模型的適用性。目前常用的RANS模型還是20世紀提出的，主要有Baldwin-Lomax(BL)模型[12]、k-ε模型[13]、k-ω模型[14]和Spalart-Allmaras(SA)模型[15]等。另外，可視具體工程問題采用SST模型[16]、k-ω2模型[17]、k-τ模型[18]以及一些修正的k-ε模型[19]等。與一階矩封閉模式不同，雷諾應力輸運模型(RSTM)是基于雷諾應力輸運方程的二階矩封閉模式[20]。該模型雖然精度較高，但計算效率和魯棒性有待進一步提高，尚未在航空工程中廣泛采用，許多CFD研究者也在致力于這一問題的改善。近年來，佘振蘇等人[21-22]基于李群理論提出了解析的應力長函數表達式以描述壁湍流中的多層結構。從歷史過程可以看出，RANS模型的發展已經到了平臺期，難以取得新的突破來克服其固有的缺陷，湍流問題的求解亟待新思路、新方法的涌現。

實際上，針對復雜靜/動力學系統模型化主要有兩個途徑。第一個是基于理論的模型架構，即根據物理問題的控制方程，建立理想的系統描述。這種模型通常需要研究者對物理過程有深刻的理解，并將其轉化為數學模型，現行的湍流模型大都是采用這個途徑。第二個則是數據驅動方法，即根據系統仿真或試驗中的樣本數據，直接構造黑箱或灰箱模型。近年來，隨著計算機性能和精細化流動測試手段的發展，研究者逐步能夠獲得高精度、高時空分辨率的流場信息，或者直接通過開放的平臺(如http://turbulence.pha.jhu.edu/)獲取。如何高效地利用這些大數據，從中提取出關鍵信息，并指導流體力學的發展，已經成為研究者關注的焦點。作為處理和分析數據的主要手段，數據挖掘、統計學習和機器學習等技術，則為開展此類研究提供了重要基礎。機器學習通過一些算法從數據中建立模型，使之具備一定的判斷和預測能力。常用的算法有徑向基神經網絡(RBFNN)、隨機森林(RF)、支持向量機(SVM)和神經網絡(NNs)等。這些算法已廣泛應用于語音和圖像識別[23-24]、信號處理[25]以及降階處理[26]等領域。

流體力學研究者也已將這些方法成功用于各自領域的相關研究工作中，例如偏微分方程求解以及非線性動力學特征的模擬等。在湍流領域，國內外的專家學者也加快了機器學習方法在湍流建模中的應用步伐。早期的研究工作主要是探討與湍流相關的變量之間的關系，采用的方法也較為簡單[27-28]。實際上，正式采用數據驅動方法來改善或替代RANS模型的研究主要是近幾年開展的[29]。逐漸地，研究者開始側重于對RANS模型的改善以及更復雜機器學習方法的應用。Tracey等人[30]針對二維及三維流動，構建了替代SA模型中源項的神經網絡模型。除了以RANS模型控制方程中的某些項作建模對象，研究者還針對修正系數分布或附加源項建立數據驅動模型并以此來改善原RANS模型的計算精度[31-33]。Wang等人[34]針對RANS模型和高分辨率數據之間雷諾應力偏差構建模型，提高了RANS模型的準確性。上述工作主要是利用機器學習方法來完善RANS模型，以獲得更高的計算精度。Ling和Templeton等人[35]通過深度神經網絡方法計算了雷諾應力的各向異性分量，并顯示了二次流中的旋渦結構和波形壁中的分離現象。除了應用于RANS模型，數據驅動方法也已用于模型化LES中的湍流相關變量。Gamahara等人[36]針對亞格子應力張量的分量分別建立了人工神經網絡模型。Maulik等人[37]采用人工網絡模型預測了時空變化的湍流源項。Wang等人[38]用不同機器學習方法和特征研究了亞格子應力封閉。這些研究工作僅以高分辨率的數據作為驅動，一定程度上降低了模型封閉或湍流相關變量模型化的難度，證實了純數據驅動的黑箱模型在湍流研究應用中的可行性。另一方面，一些研究者還將機器學習用于描述和量化傳統模型計算結果的不確定度，對未來的建模工作具有很好的指導作用。目前主要的研究方向和建模流程可大致歸結為圖1所示。

圖1 機器學習應用于湍流研究的主要研究方向及流程Fig.1 Main research direction and process of machine learning applied to turbulence study

機器學習在湍流研究中的快速發展在一定程度上也得益于諸多廣泛使用的開源平臺。目前，TensorFlow、Keras、Theano以及Matlab等平臺為開展學習工作提供了有力支持。這些平臺大都內嵌了多種學習框架供用戶選用，如RBFNN、RF以及更復雜的深度神經網絡(DNN)和卷積神經網絡(CNN)等。同時，模型的超參數優化可采用隨機梯度下降(SGD)、動量隨機梯度下降(SGDM),以及Adam算法等實現。此外，基于CPU或GPU的并行算法縮短了湍流大數據的模型優化過程。這些開發平臺的使用大大提高了研究者的工作效率，便于迅速開展并推進研究工作，而且，代碼的通用性也有助于研究者之間的相互交流和探討。

機器學習與湍流建模相結合的研究工作是流體力學領域新興的研究方向?，F有的研究成果有力地驗證了其可行性，預示了機器學習在未來湍流模型應用中的積極前景[39]。與此同時，研究者也面臨著諸多問題與挑戰。一方面，現有的研究主要是基于DNS和LES計算的高分辨率數據，因此，選取的算例多是針對簡單幾何體的中低雷諾數流動問題，如平板和管流等。然而，工程中的高雷諾數湍流，如機翼和翼型繞流，則難以獲取高分辨率數據，如何將機器學習應用于這一領域的湍流計算值得進一步探索。另一方面，模型的泛化能力和魯棒性以及穩定性需要進一步提高?，F有研究中，當預測數據與訓練數據差別較大時或者幾何外形發生變化時，模型的表現會不同程度地下降。這在一定程度上是數據驅動方法本身固有的缺陷，另外，模型構建過程中的一些方面，如數據處理與特征構建、模型對象的選取以及約束性條件的施加也會影響模型的最終性能。模型與求解器的耦合需要額外地考慮模型的穩定性。一種耦合形式我們稱之為“松耦合”，其過程是先通過RANS基模型與N-S求解器求解出初始流場和雷諾應力場，然后，所構建的機器學習湍流模型根據已獲得的初始流場構建模型輸入并展開預測。通過模型的預測值更新初始的雷諾應力，將改善的雷諾應力直接傳遞給求解器。另一種則與傳統RANS模型相同，所構建的模型在從初始流場開始的每一迭代步都與求解器之間互相反饋，直至N-S方程求解器獲得收斂解，我們稱之為“緊耦合”，如圖2所示。其中，穩定性問題在后者中表現得更明顯。

(a)松耦合

(b)緊耦合圖2 機器學習湍流模型與CFD求解器的耦合Fig.2 Coupling of machine learning turbulence model with CFD solver

1 機器學習建模過程

基于機器學習方法的模型構建過程主要包含數據處理、特征選取以及模型框架的確定及參數優化等幾個方面。針對每一方面，研究者又可以采取不同的方法，例如模型框架可選擇網絡模型或樹模型，激活函數可選擇tanh或ReLu等等。這些方面在不同程度上影響模型的性能。Ling等人[40]比較了不同的分類器在預測湍流模型不確定度中的應用，Zhang等人[41]比較了不同輸入對結果的影響,等等。模型框架和參數優化方法的種類繁多，在分類和回歸以及各自對應的特定問題中通用性較差，難以界定某種模型或方法的具體優劣性。但是無論采用什么方法，特征選擇和數據處理都是研究者普遍面臨的問題。

1.1 特征選擇

特征選擇主要是為了選出相關的和有用的特征，降低特征的冗余度，另外還有減少特征集，提高模型性能和數據理解等的作用。在實際應用中，過多的特征不僅會減緩學習過程甚至會干擾學習算法。需要注意的是，特征選擇對不同機器學習算法的效果不同，有時反而可能會降低模型性能[40]。目前，常用的特征選擇算法有濾過法，打包法和嵌入法[42]，但在機器學習湍流研究中，這些算法的應用還較少。湍流的物理機理復雜，特征選擇的難度較大，甚至被假定為最大的挑戰[30]。研究者主要是根據物理知識或已有的控制方程和表達式進行經驗性的選取和比較。由于不同研究的建模對象不同，研究者根據自身經驗進行的特征選取往往通用性差且存在一定的偶然性。Ling等人[43]提出具有不變量屬性的輸入特征，并與不具備該屬性的特征進行了對比。Wang等人[34]則進一步給出了特征的相對重要性。另外，由于不同的輸出與流場變量的相關性不同，模型的輸入特征也可予以區別選取[38]。特征選取過程中亦應考慮特征的數據分布范圍，盡量保證每一特征的數據分布較為緊湊，避免輸入特征和輸出中出現極端異值。除此之外，為了避免不同特征間的量級差異，研究者可以對特征進行線性歸一化或標準化等處理。

1.2 輸入輸出數據處理

訓練數據可以從湍流數值計算結果中直接獲得，也可以根據具體的建模需要間接求得。作為模型的定義域，訓練數據所構成的數據空間從根本上決定了模型的性能，其重要性不可忽視。如果訓練數據量不大，建模者可以將全部數據用來訓練模型。但是對于網格量較大的DNS、LES以及高雷諾數算例，可利用的訓練數據往往過多而冗余。如果不加以篩選，過多的樣本會導致計算代價大而且訓練過程周期長。為此，研究者大多在時間上采用快照，在空間上采用取截面的方法。這種方法雖然簡單高效，但是沒有擺脫網格劃分的影響，也不能直接體現出對流場關鍵區域的側重。另一種方法是根據訓練數據間的相似性或歐式距離來剔除冗余的樣本。這種方法彌補了前者的缺點，但是篩選過程會隨著訓練數據的增多而變得效率低下。研究者可依據具體問題結合著使用這兩種方法。對于模型的輸出，當預測算例中出現超出模型泛化能力的流動特性時，模型的某些輸出值可能不滿足物理規律的約束或者屬于明顯錯誤的異值。這些值降低了模型的精度和魯棒性，因此，可以適當地進行后處理。例如，為了確定數值穩定性，Maulik等人[37]對模型輸出作如下截斷，

(1)

Ling等人[35]對模型預測的各向異性值進行如下約束，

(2)

1.3 模型框架

機器學習方法的多樣以及相對應的超參數極大地豐富了模型框架的選擇性。主要的模型框架及其在湍流中的不同應用如表1所示。這些模型框架都能夠用于構建復雜的非線性映射關系，研究者可根據具體問題具體選擇。模型的超參數可通過不斷調整和對比結果來確定，也可借鑒于某些超參數優化算法，如Spearmint、Hyperopt等等。在超參數的優化過程中，除了考慮模型在訓練集上的精度外，亦應考慮其在驗證集或后驗測試中的表現。

表1 主要的模型框架及應用Table 1 Main model framework and appliance

2 機器學習在湍流模型中的應用

經過近幾年的努力，機器學習方法在湍流研究中的應用得以迅速發展。在應用范圍上，目前已開展了平板、管流及翼型等幾何體的剪切湍流以及分離流、二次流等復雜流動現象的建模工作。在應用程度上，機器學習不僅用來構建流場變量之間的復雜映射關系，還直接應用于雷諾應力的計算。特別地，根據模型作用可將現有的研究工作大致分為三類：模型的不確定度分析，改善湍流模型，以及替代湍流模型。

2.1 湍流模型的不確定度分析

與真實的物理解或高分辨率結構相比，模型的計算結果往往存在一定的不確定度，其主要來源于NS方程的系綜平均計算、模型封閉函數形式、雷諾應力表達式和模型經驗參數等。在具體應用中，由于模型之間的封閉形式和經驗參數等不同，對不同流動的不確定度也難以把握。對于模型參數和模型形式導致的不確定度，可以采用靈敏度分析、概率分析以及貝葉斯方法等加以量化[47-53]。近年來，機器學習方法開始逐漸被應用于模型的不確定度分析。構建RANS模型參數與參數對應的偏差之間的數據驅動模型，通過計算模型的最小值來確定RANS模型的最優參數有利于提高精度[54]。模型研究者可以通過構建分類器來預測流場中RANS模型的不確定區域，進一步地還可以針對模型所確定的不確定區域采用更好的計算方法[40,55-56]。Singh等人[57]結合流場反演和貝葉斯方法來量化RANS模型的不確定度。更多關于RANS模型或LES的不確定度分析可參考文獻綜述[58]。

2.2 改善湍流模型

RANS模型由于存在結構和參數上的不確定度，計算精度及適用范圍會受到不同程度的限制。對于某些存在激波-邊界層干擾的流動或分離流，RANS模型的計算結果往往存在一定的偏差甚至不準確，因此，研究者希望根據高分辨率數據來減小RANS模型計算的偏差，或者使之能夠用于分離流的計算。這種采用機器學習方法來改善RANS模型的研究思路大致可分為兩類：一種是通過改變模型的控制方程形式，如乘以修正系數或給方程增加源項；另一種是在RANS模型基礎上構造偏差函數，然后將RANS模型和偏差函數的計算結果疊加，作為最終的雷諾應力值。

前者主要是針對基于渦黏假設的一方程或兩方程RANS模型。研究者首先根據實驗結果或高分辨率數據反演計算出引入的修正系數或增加的源項，然后以此作為輸出，構建出數據驅動的模型并將其與求解器耦合，流程圖如圖3所示。譬如，Singh等人[44]通過修正SA模型中的生成項來改變控制方程形式，使得修正后的模型能夠用于分離流的計算并取得與實驗更相符的計算結果。SA模型的原方程為：

(3)

引入空間變量β(x)作為生成項的修正系數，方程變為：

(4)

圖3 數據驅動的RANS求解器的構建過程[31]Fig.3 Process for building a data-driven RANS solver[31]

通過實驗結果對RANS模型的結果進行優化，利用伴隨方法對場反演后得到β(x)，然后基于機器學習方法建立流場變量與β(x)之間的映射。所構建的模型具有很好的遷移性,并保證了原模型的收斂性，在不同程度上改善了原模型的計算結果。其中，14°攻角下S809翼型算例的壓力對比如圖4所示。

相似的研究工作還分別圍繞k方程的生成項和轉捩模型的源項或匯項等展開[31]。

第二種研究思路不改變控制方程形式，而是對模型計算后的結果加以修正。

τij=τij,RANS+Δτij,Model

(5)

由于基于渦黏假設的RANS模型不能準確地計算各向異性的雷諾應力，因此對二次流和分離流等流動現象的計算偏差較大。Xiao等人[34,59-60]針對RANS模型計算結果和高分辨率數據之間的差異進行建模以修正原模型的計算結果(圖5)。在采用數據驅動方法的基礎上，研究者強調了雷諾應力的物理約束，提出了“基于物理的機器學習”概念。當訓練模型與預測模型相同時，模型能夠明顯改善RANS模型的計算結果，如圖6所示。但是，即便是基于相似的流動現象(分離流)，對于幾何模型發生變化的區域(周期山的收縮段)，修正模型甚至惡化了原RANS模型的計算結果，如圖7所示。

(a)反演求得的β場

(b)神經網絡預測的β場

(c)不同計算結果的對比

圖4 S809 翼型在α=14°和Re=2×106時的模型預測結果對比[44]
Fig.4 Comparison of inverse and NN-augmented predictions (using data-set P)for S809 airfoil atα=14°andRe=2×106[44]

圖5 湍流預測建模的基于物理信息的機器學習(PIML)框架[59]Fig.5 Proposed physics-informed machine learning (PIML)framework for predictive turbulence modeling[59]

改善原湍流模型以提高其精度的建模思想首先肯定了RANS模型的借鑒意義，本質上是給模型的控制方程增加了一個源項或修正項?；诖硕⒌哪Ｐ臀覀兎Q之為修正模型。這種修正模型確實在一定程度上提高了原模型的精度，但同時也增加了額外的計算量，降低了整體的計算效率。另一方面，修正模型是針對某個特定的RANS模型所構建的，然而，不同的RANS模型存在不同的不確定度。因此，所構建的模型一般只適于某個特定的RANS模型，這會在很大程度上限制修正模型的使用范圍。

圖6 湍流基模型,DNS和PIML預測的湍動能的輪廓對比圖(用周期山作訓練數據)[34]Fig.6 Profiles of turbulence kinetic energy corresponding to baseline,PIML-predicted and DNS results (flows over periodic hills as training database)[34]

圖7 湍流基模型,DNS和PIML預測的湍動能的輪廓對比圖(用波形管道和彎曲后向臺階作訓練數據)[34]Fig.7 Profiles of turbulence kinetic energy corresponding to baseline,PIML-predicted and DNS results (flows over wavy channels and curved backward facing step as training database)[34]

2.3 替代湍流模型

與構建修正模型的思想不同，替代湍流模型的出發點是希望直接從數據中找出流場變量與湍流之間映射關系。基于此而建立的模型我們稱之為替代模型。Ling等人[35]基于Pope推導的基張量和不變量構建了雷諾應力各向異性的張量基神經網絡模型(TBNN)，如圖8所示。其中，雷諾應力各向異性張量b可由基張量T線性表達為[61]:

圖8 張量基神經網絡架構示意圖[35]Fig.8 Schematic of tensor basis neural network architectures[35]

(6)

基張量與不變量的表達式分別如下，

T(1)=S

T(2)=SR-RS

T(5)=RS2-S2R

T(7)=RSR2-R2SR

T(8)=SRS2-S2RS

T(10)=RS2R2-R2S2R

(7)

λ1=Tr(S2),λ2=Tr(R2),λ3=Tr(S3),

λ4=Tr(R2S),λ5=Tr(R2S2)

(8)

其中，I表示單位陣，Tr表示跡，S表示平均應變率張量，R表示平均旋轉張量。

該模型能夠預測出管流中的角渦和波形壁面的流動分離(圖9)，這一點是渦黏模型無法實現的。然而，TBNN與求解器之間進行迭代收斂的可行性還有待進一步驗證。

圖9 波形壁測試算例中的流向速度云圖(分離區用灰線描繪)[35]Fig.9 Contours of streamwise velocity normalized by bulk velocity in the wavy wall test case,zoomed into the near-wall region[35],(separated regions outlined in grey)

Zhu等人[46]探討了直接構建純數據驅動的湍流黑箱代數模型,并實現了與求解器之間的耦合計算(圖10)。研究結果表明，基于NACA0012翼型的三個亞聲速狀態算例，所構建的模型可以實現與SA模型相當的精度和更高的計算效率，并對計算狀態(圖11)和幾何外形(圖12)具備一定的泛化能力，驗證了替代模型的可行性。與修正模型不同，替代模型的性能對最終摩擦阻力的計算結果起決定作用，而且對求解器的收斂性也有重要影響。換言之，模型構建過程對模型輸出的精度和光滑性以及模型的穩定性都有很高要求。對于回歸問題，損失函數決定了量級大的值比量級小的值容易取得更高的擬合精度，然而，邊界層內(尤其是高雷諾數時)的劇烈變化容易導致湍流變量的明顯的尺度效應。因此，替代模型很難在整個的訓練數據空間中都保證較高的精度。模型性能欠佳的“邊緣區域”容易出現異值，繼而影響模型輸出的光滑性。此外，將所構建的模型嵌入求解器后，模型預測在迭代過程中會存在一定程度的不穩定，殘差在下降過程中出現震蕩，如圖13所示。

純數據驅動的建模工作亦在二維及三維亞格子應力的模型封閉中開展。Sarghini等人[62]用神經網絡方法提高了LES中亞格子應力的計算效率。針對時空變化的湍流源項Π，Maulik等人[37]構建了人工神經網絡的亞格子模型，與之相關的渦量-流函數控制方程為:

圖10 構建學習器和代理器的流程圖[46](q和μt分別表示輸入特征和渦黏)Fig.10 Flow chart for building the learning machine and surrogate machine[46],(q and μt mean the input features and eddy viscosity,respectively)

圖11 訓練和預測算例中SA (方框)和RBFNN (三角形)計算的力系數結果對比[46]Fig.11 Comparison of the force coefficient calculated by SA (square)and RBFNN (delta)for both training and predicting cases[46]

(a)NACA0014 翼型

(b)RAE2822翼型

圖12 預測算例P1、P2和P5的摩擦阻力系數分布對比[46](圖中數據表示SA/RBFNN計算的摩擦阻力系數CD,f)
Fig.12 Predictions for NACA0014 and RAE2822 airfoil at P1,P2 and P5 cases[46].(the data inside areCD,fvalues calculated by SA/RBFNN model)

(9)

除了將模型與Smagorinsky和Leith模型對比外，Maulik等還進一步研究了不同輸入特征和鄰居網格信息以及后驗信息對模型性能和模型架構選擇的影響，指出超參數優化過程中需要后驗信息的耦合。針對槽道湍流，Gamahara等人[36]采用人工神經網絡對亞格子應力的每一分量分別建立模型并對比了不同輸入特征的結果，缺點是模型容易受到濾過尺度的限制。Wang等人[38]用隨機森林和人工神經網絡基于不同輸入特征研究了大渦模擬中亞格子應力的數據驅動封閉，并對構建的模型與Smagorinsky模型(SM)和動態Smagorinsky模型(DSM)以及其他方法計算的結果進行了比較，如圖14所示。

(a)動能

(b)耗散率圖14 不同計算方法之間可分辨的動能和耗散率的時間演化圖[38]Fig.14 Temporal evolution of resolved kinetic energy and dissipation by different simulations[38]

2.4 模型的魯棒性與穩定性

模型訓練過程中，建模者都希望實現更高的模型精度，然而，單純地追求精度的提高往往是以損失魯棒性為代價的[63]。由于存在過擬合的風險，訓練階段較低的損失函數對應的模型框架或模型參數并不意味著較高的預測能力，因此，可以在損失函數中引入L1或L2范數約束，或者采用Dropout等方法。此外，模型選擇時也可以耦合后驗分析或者進行交叉驗證[35,37]。如果需要將所構建的模型與求解器耦合，則在模型構建過程中必須要考慮到模型的穩定性。單純的基于數據的訓練與預測完全忽略了模型偏差對流場的影響。事實上，對于顯式地改變雷諾應力或亞格子應力的模型，任何微小的模型擾動都有可能被累積放大為速度場中明顯偏差，而對于改變RANS模型控制方程中某一項表達式的修正模型，穩定性問題并不明顯[45,64]。Wu等人[64-65]提出了衡量模型條件的方法，將雷諾應力分解為線性和非線性部分并分別建模以增強模型的穩定性。針對這一方面的研究工作還有待進一步的探索和完善。

3 總結與展望

將數據驅動方法應用于湍流計算的研究工作在近幾年得到了飛速發展。一方面，機器學習新方法的涌現為研究者提供了更多的技術手段，有利于更復雜關系的實現。另一方面，所構建的模型逐漸從湍流變量間的簡單函數映射關系演變為直接的雷諾應力計算，在RANS和LES的湍流計算中起到越來越重要的作用。現有的研究成果顯示了這一研究方向的廣闊前景和發展潛力，給研究者以開拓新局面的鼓舞和振奮。與此同時，研究過程中也同樣暴露出許多問題與挑戰。首先，由于模型是數據驅動的，因此，模型的性能在本質上是由所選取的訓練數據決定的，模型往往在那些與訓練數據差異較大的預測數據中表現較差。這就要求研究者謹慎地選取模型構建對象和方法以盡量提高模型的泛化能力。第二，受數據集的分布和損失函數等的影響，模型對整個數據集的性能也不盡相同。對于那些位于模型性能欠佳區域的數據，計算結果往往出現異值，繼而影響模型的光滑性和魯棒性。即便基于相同的訓練數據，采用不同的機器學習方法所構建的模型也會有不同的魯棒性。模型的異值會在一定程度上降低收斂性，如果出現在流場中的關鍵區域也會降低求解精度，所以應尤其注意模型在流場關鍵區域的性能。第三，樣本特征的構建和選取是影響模型性能的重要因素。湍流的復雜和無序造成了樣本構建和選取的困難。研究者借助于特征選取算法的同時，也需要對湍流本身有深刻的物理見解，特別地，應根據流場中的不同流動特性有針對性地構建和選擇模型的輸入特征。目前，系統的針對湍流機器學習的特征選取的研究還相對較少。

在現有工作積累的經驗基礎上，機器學習在未來的湍流模型化中必將扮演著更加重要的角色。研究者在未來的研究工作中需要關注以下幾點：

1)湍流建模輸入特征的提取與優化。單純地依靠海量數據作為直接輸入，通過簡單增加神經網絡模型的深度和寬度來構建復雜映射關系并不是一種好的建模策略。如何對輸入數據進行特征提取，特別是結合前人在湍流理論中已經取得的物理規律和經驗，如選擇不變量、利用各種標度率、量綱分析方法等，精簡輸入信息、簡化網絡模型的維度和復雜性，從而實現模型的緊湊性和泛化能力的提升。當然，也可以借鑒人工智能方法開展輸入信息的特征構建與提取，如Featuretools等。

2)湍流模型與N-S方程耦合求解過程中的穩定性與收斂性。隨著機器學習在湍流模型化中的作用越來越明顯，模型的輸出結果對速度場的影響也越大。一方面，機器學習方法所構建的模型本身就有可能出現局部峰值和光滑性差的輸出值，降低計算精度。另一方面，模型訓練大多是基于某些時刻或流場中某些位置的數據進行的，模型難以包含流場在迭代過程中的全部信息。當模型參與求解器的每一步迭代時，模型的擾動會導致N-S方程求解的流場擾動，繼而反饋為模型的輸入偏差。這種反饋會造成迭代過程的發散，即使對于單向耦合策略也有可能造成求解過程的失穩。如果模型的穩定性較差，特別是在非線性很強的高雷諾數及大分離等復雜流動中，模型的誤差隨著迭代過程的累積容易在速度場中被放大，導致N-S方程求解器的最終計算結果變差。特別是采用高維深度學習網絡，所帶來的局部極值對耦合過程的穩定性和收斂性都帶來了不利影響。

3)N-S方程和湍流模型耦合求解過程中的多平衡態問題?；谑諗繝顟B的計算結果構建的模型在耦合求解器后有時還會出現多態解的問題。由于N-S方程和湍流的非線性和復雜性，模型的計算結果也會受初始條件等的影響，將訓練后的模型嵌入N-S求解器后，最終的計算結果有可能會收斂為其它平衡態的解。關于模型與求解器的耦合問題值得進一步研究。