名畫中的數學奧秘

張景翎

[去科技館學科學]

偉大的畫家給人類留下了許多著名的繪畫作品，耳熟能詳的有達·芬奇的《蒙娜麗莎》、霍貝瑪的《林間小道》等。一些經典的名畫作品，不光在藝術審美的角度上可圈可點，其中也包含一些隱藏的數學原理等著我們發現和探索。

在2017年頒布的《義務教育小學科學課程標準》中，強調“探究活動是學生學習科學的重要方式”。要求學生從日常生活出發，親歷動手動腦發現和提出科學問題，通過觀察常見現象的特征，理解基本的科學知識。由于日常抽象的繪畫中包含的數學原理十分隱蔽，不經過引導性的思考，學生通常無法觀察到，理解起來十分困難。在中國科技館“探索與發現”B廳的“數學之魅”展區，就有這樣一件展品——“巧妙構圖”，介紹了繪畫中常用的3種數學原理：透視法、對稱、黃金矩形。能讓學生通過觀察、試錯、動手操作等方法學習繪畫構圖中相關的科學內容并進行思考，引導學生把科學知識與生活聯系在一起，從而更好地了解到繪畫中的數學奧秘。

科學是充滿理性的，繪畫藝術則更側重于感性。在繪畫藝術誕生之初，它的功能并不僅僅是表現畫家的心理活動和感情，也充當“照相機”的功能，將當時的場景還原，將人的客顏留住。怎樣能畫得更像則成為當時許多畫家研究的內容。數學知識的運用能幫助畫家們更精確地作畫，這也是為什么繪畫中隱藏著這么多關于數學小奧秘的原因。今天這個展品“巧妙構圖”就是要告訴大家，藝術與科學息息相關，是你中有我、我中有你的關系，只要你有雙善于發現的眼睛。

展品“巧妙構圖”由調色盤造型的立體背景墻、圓形觸摸屏組成（見圖1）。圓形觸摸屏鑲嵌在調色盤造型上，學生通過點擊屏幕可以選擇想要了解的內容進行學習。同時，可通過拉伸、平移等操作，改變名畫的尺度，進一步體會透視法、對稱、黃金矩形這3種繪畫中常用的數學小知識。

透視法

幾何透視法是一種數學原理。將數學中的幾何透視運用到繪畫藝術表現之中，那就是繪畫中的透視法，這是一種科學與藝術相結合的技法。它主要借助于近大遠小的透視現象表現物體的立體感。畫家在作畫的時候，把客觀物象在平面上正確地表現出來，使它們具有立體感和遠近空間感，這種方法叫透視法。荷蘭風景畫家梅因德爾特·霍貝瑪的著名畫作《林間小道》畫面中，小道兩側樹木的排列方式就是一個很好的例子（見圖2）。因為透視現象是近大遠小的，所以也稱為“遠近法”。

西洋畫一般是采用“焦點透視”，就像照相一樣，觀察者固定在一個立足點上，把能攝入鏡頭的物象如實地照下來，因為受空間的限制，視域以外的東西就不能攝入了（見圖3）。而中國畫的透視法就不同了，畫家觀察點不是固定在一個地方，而是根據需要，移動立足點進行觀察，各個不同立足點上所看到的東西，都可組織進自己的畫面上來。這種透視方法叫作“散點透視”，也叫“移動視點”。散點透視法是東方傳統繪畫的技法之一，中國畫大都采用這種方法。它不同于西方的焦點透視只有1個觀察焦點，散點透視有許多“點”，比如《清明上河圖》（見圖4）。這樣可以在有限的圖畫中表達許多主題，像一幅可以邊走邊看的長卷軸。中國山水畫能夠表現“咫尺千里”的遼闊境界，正是運用這種獨特的透視法的結果。

對稱

科學和藝術都很重視對稱性。對于科學，對稱性決定了各種可能的守恒定律，因而具有更根本性的意義。在藝術中，對稱性常與平衡、形狀、形式、空間等一同討論。人們通常從靜態表現上理解對稱性，有一定意義，但更重要的是從操作意義上、從生成過程上理解對稱性。在日常生活和藝術作品中，對稱的含義常代表著某種平衡、比例和諧之意，而這又與優美、莊重聯系在一起。無論對于科學還是藝術，對稱性都涉及不同的方面。不同方面指對稱的多樣性：平移對稱（連續裝飾花紋、花布）、旋轉對稱（穹隆、五角星、傘、晶體）、左右對稱（建筑立面、人體）及聯合操作對稱（見圖5）。

科學和藝術都是講究對稱性的，對稱性意味著某種規則，很難想象像科學與藝術如此宏大而不斷積累的人類文明會沒有規則，雜亂無章。那么是否可以推論出，科學與藝術只關注規則、對稱性，并且只有對稱的東西才稱得上科學與藝術呢？答案是否定的。藝術與科學，都是對稱與不對稱的巧妙組合。對稱是美，不對稱也是美。準確地說，對稱與對稱破缺的某種組合才是美。單純對稱和單純不對稱都是單調的。

黃金矩形

黃金矩形的長寬之比為黃金分割率，即矩形的長邊為短邊的1.618倍。黃金分割率和黃金矩形能夠給畫面帶來美感，令人愉悅，在很多藝術品及大自然中都能找到它。希臘雅典的巴特農神廟就是一個很好的例子，達·芬奇的《維特魯威人》符合黃金矩形，《蒙娜麗莎》中蒙娜麗莎的臉也符合黃金矩形（見圖6），展品通過觸摸屏可拉長或縮短蒙娜麗莎的臉部比例，你會發現畫面就會失去原本的比例與美感。

畫家們發現，按0.618：1的比例設計腿長與身高，畫出的人體身材最優美，而現今的女性，腰身以下的長度平均只占身高的0.58，因此古希臘維納斯女神塑像及太陽神阿波羅的形象都通過故意延長雙腿，使之與身高的比值為0.618，從而創造藝術美。難怪許多姑娘都愿意穿上高跟鞋，而芭蕾舞演員則在翩翩起舞時，不時地踮起腳尖。