基于排隊模型的航天器環模設備負載能力分析

李西園，封寶華，張麗娜，王 磊，王 晶,3

（1. 北京衛星環境工程研究所，北京 100094； 2. 北京航空航天大學 航空科學與工程學院，北京 100191；3. 可靠性與環境工程技術重點實驗室，北京 100094）

0 引言

航天器系統、各單機均需要在空間環境模擬（環模）設備內部進行真空熱試驗[1]。根據標準要求，熱平衡試驗至少包括極端高溫和極端低溫2個工況，熱真空試驗則至少包括4個高、低溫循環[2]。一般而言，大型組件的真空熱試驗對空間環模設備的占用時間可達1周甚至1月以上。我國的空間環模設備建設主要由航天重大型號牽引，著眼于滿足載人飛船、空間站艙段等特殊航天器研制的需求[3]。近年來，隨著導航、通信、遙感等衛星的并行研制和高密度發射，在各種規模的空間環模設備中均出現過試驗進度沖突的現象。目前，針對試驗等待的情況一般只能通過流程優化、管理優化的方式提升試驗效率[4]，以盡量縮短等待時間，而缺少通過數學、統計學方法評估設備負載能力、優化試驗進度安排、指導設備建設規劃的相關研究。

排隊論屬于數學中運籌學的分支學科，其主要研究服務系統中排隊現象的規律[5]。通過統計服務對象到達間隔和服務時間的分布，得出平均排隊長度、排隊時間等關鍵指標的統計規律，并以此為依據改進系統設計[6]，使系統實現承載能力、效率的最優。目前排隊論已經被廣泛應用于服務行業優化[7]、通信系統接口改進[8]、道路負載能力計算[9]等過程中。

本文針對某系列中型空間環模設備的最大負載問題，統計近5年間該系列設備的系統啟動、關閉時間，基于M/G/k/∞/∞/FCFS模型建立其排隊模型，并通過蒙特卡羅方法計算出不同任務量、不同試驗持續時間分布下的仿真結果。該排隊模型可以給出系列化空間環模設備在不同任務量、不同試驗持續時間分布下的試件平均排隊長度、平均排隊時間等關鍵指標，用于評估未來任務量增多時的環模設備利用率，為設備建設規劃提供參考。

1 仿真模型

1.1 系統模型

例某大型AIT試驗大廳共有4臺供同時開展試驗的中型空間環模設備，太陽電池板、天線、微小衛星及其他試件依次排隊等待空閑設備進行真空熱試驗。

一般的航天器及組件真空熱試驗可以分為試驗設計、試驗準備、試驗進行、試驗撤收、試驗數據整理幾個階段，其中在試驗準備、試驗進行和試驗撤收階段需要完全占用空間環模設備，期間不能進行其他試驗。統計空間環模設備測控系統的啟動、關閉時間是準確統計試驗時間的一種有效方法[10]。本文統計了2014年至2018年共計237次調試與試驗任務的測控系統啟動、關閉時間，其中間隔5天以上的同名試驗按照2次試驗計算，啟動、關閉時間接近且占用同一容器的多個試驗（一般為搭載試驗）按照1次試驗計算。試驗對空間環模設備占用時間T1與測控系統運行時間T2的關系如圖1所示：T1=t1+t2+t3，T2=t2+t3。本文按照T1=1.5×T2來估算環模設備占用時間，即認為對測控系統占用時間長的復雜試驗，其試驗準備時間也線性增加。

2014年至2018年237次試驗任務的試驗間隔時間、試驗持續時間統計結果見表1。

表1 試驗間隔時間與試驗持續時間統計Table 1 Statistics of test pieces arrival time and test duration

1.2 試驗間隔時間分布

在排隊模型中，試驗間隔時間分布一般有確定型（D）、負指數型（M）和k階埃爾朗（Ek）分布等，其中以負指數分布最為常見。圖2所示為本文統計的試驗間隔時間分布與負指數分布曲線的對比，可以看到二者較為接近。

圖2 試驗間隔時間分布Fig.2 Distribution of test intervals

Kolmogorov-Smirnov方法可基于累積分布函數，檢驗一個經驗分布是否符合某種理論分布或比較兩個經驗分布是否有顯著性差異[11]。本文統計的試驗間隔近似服從θ=7.19的負指數分布，其中參數θ的標準誤差為0.47，K-S檢驗結果參數p為0.13，即選擇顯著性水平α=0.05時，不能拒絕試驗間隔時間服從負指數分布的假設，其概率密度為

式中θ為負指數分布的尺度參數。當試驗間隔時間分布服從負指數分布時，可以認為試件到達為泊松流，即單位時間內到達的試件數量n服從泊松分布

式中λ為單位時間內隨機事件的平均發生次數，取為1/θ。

圖3為月平均試件到達數量分布統計與泊松分布的對比，可以看到單位時間內達到的試件數量近似服從泊松分布，表明對于試驗間隔時間服從負指數分布的假設是合理的。

圖3 月平均試件到達數量分布Fig.3 Distribution of the number of monthly arrived test pieces

1.3 試驗持續時間分布

在排隊模型中，服務時間分布一般有指數型（M）、一般型（G）和k階埃爾朗（Ek）分布等，其中一般型包括正態分布、Gamma分布等形式。圖4為本文統計的試驗持續時間分布與負指數分布、截斷正態分布、Gamma分布的對比，并進行K-S檢驗，結果見表2。表中：θ為負指數分布的尺度參數；μ、σ為截斷正態分布的位置參數和尺度參數；α、β為Gamma分布的形狀參數和尺度參數。

如表2所示，當顯著性水平α=0.05時，不能拒絕試驗持續時間服從Gamma分布的假設，其概率密度為

圖4 試驗持續時間分布Fig.4 Comparison among distributions of test duration

式中，Gamma分布的形狀參數α、尺度參數β的擬合值分別為3.05和3.15。

1.4 排隊模型構建

試件排隊進行真空熱試驗的排隊模型（圖5）可以用M/G/k/∞/∞/FCFS模型描述，即：試驗間隔時間服從負指數分布，試件占用空間環模設備的時間服從Gamma分布，隊列為單一隊列多服務臺模型，系統容量和試件數無限制，排序規則為先到先服務規則。

圖5 真空熱試驗試件排隊模型Fig.5 Queuing model for the test pieces

目前對于M/G/k排隊模型尚沒有公式化的推導過程，平均排隊時間和平均排隊長度等指標亦沒有明確的數學表達式，可采用近似公式給出[12]，但對于不同排隊長度的概率，則較難通過經驗公式求解。本文通過MatLab建立了試件排隊進行試驗的蒙特卡羅仿真模型，對比不同的試驗持續時間分布對于仿真結果的影響。仿真工況如表3所示（其中任務量比以現有任務量下的θ=7為基準）。

表3 排隊模型仿真工況Table 3 Simulation cases

2 計算結果分析

本文通過蒙特卡羅方法分別對每個計算工況進行了100次仿真，仿真中的試驗持續時間分布分別采用負指數（Exp）分布、截斷正態（Norm）分布和Gamma分布。統計排隊模型關鍵指標平均值見表4，表中：W為試件在試驗大廳的停留時間；Wq為試件在試驗前的平均排隊時間；Ws為試件的平均試驗時間；Lq為試件平均排隊長度；N為排隊系統中的平均試件數，取等待中試件和試驗中試件數量之和。同時，對工況中試驗大廳內無空置環模設備的概率Pfull進行了統計。

表4 不同任務量下排隊模型仿真的關鍵參數統計Table 4 Analysis of key parameters of queuing models with different test task numbers

為了對蒙特卡羅模型的收斂性進行評估，引入離散系數，對于一組仿真中獲得的排隊模型關鍵參數樣本x，其可以表示為

式中：SD(x)為樣本的標準差；為樣本的平均值。通過離散系數可以對多組平均值、單位不同的樣本進行離散度比較，統計排隊模型關鍵指標仿真值的離散系數如表5所示。可以看到，對于所有計算工況，多次蒙特卡羅仿真獲得的結果非常接近，排隊模型關鍵參數的離散系數均小于0.05，可以認為結果已經收斂，即本文通過蒙特卡羅法求解的結果可以代表該排隊模型的關鍵參數。

表5 排隊模型關鍵參數仿真值的離散系數Table 5 Coefficients of variation for key parameters of the queue model

圖6為不同任務量下根據3種試驗持續時間分布所計算的試件排隊長度分布。由圖可見：任務量較低時，不同的試驗持續時間分布對試件排隊長度分布影響非常小；但隨著任務量的增大，負指數分布的試驗持續時間分布逐漸與截斷正態分布和Gamma分布產生差異。

圖6 試件排隊長度分布Fig.6 Distribution of queue length

圖7和圖8為不同任務量、不同試驗持續時間分布下，試件進行試驗前的平均排隊長度、平均排隊時間以及試驗大廳內無空置環模設備的概率。可以看到：在空間環模設備負載量相對較低時，由于不同試驗持續時間分布的數學期望一致，排隊時間、排隊長度等關鍵指標并無差異；隨著任務量的增大，試驗持續時間的分布對平均排隊長度和平均排隊時間均會產生影響，其中截斷正態分布與Gamma分布的計算結果較為接近，負指數分布的計算結果則偏差較大。這表明，針對真空熱試驗的試件排隊問題，應選取與實際情況最為接近的Gamma分布或截斷正態分布。此外，當試驗持續時間分布不發生變化時，若任務量繼續上升，在達到當前任務量的2倍前，平均排隊長度、平均排隊時間隨任務量的增加緩慢增加；但若任務量達到當前任務量的2.4倍以上時，平均排隊長度、平均排隊時間上升斜率迅速變大，現有設備將難以滿足全部試件的進度要求。

圖7 平均排隊時間和平均排隊長度Fig.7 Average waiting time and queue length

圖8 無空置環模設備的概率Fig.8 Probability of no-vacancy state of facilities

3 結論

1）本文統計的試驗間隔時間近似服從θ=7.19的負指數分布。隨著任務量的上升，負指數分布的尺度參數θ逐漸降低；試驗對空間環模設備的占用時間近似服從Gamma分布。

2）當任務負載量較低時，排隊模型的關鍵參數僅和試驗持續時間分布的數學期望有關，因此不同分布對排隊關鍵參數的影響很小；隨著任務量增大，模型間差異逐漸增大，選取與實際情況最接近的Gamma分布或截斷正態分布計算結果較為接近，均可用于對試件的排隊估算。

3）當試驗持續時間等關鍵參數不發生改變時，在任務量達到當前值的2.0倍之前，平均排隊時間、排隊長度不會發生較大變化；但當任務量達到當前值的2.4倍以上時，平均排隊時間、平均排隊長度將會迅速上升，現有設備數量將難以滿足全部試件的進度要求。

本文建立的排隊模型可用于估算組批空間環模設備的最大試驗承載能力，并為未來相應設備的建設與規劃提供參考。