正定矩陣的判定及應用

(成都理工大學 四川 成都 610059)

矩陣不僅是數學研究的分支和高等代數的主要研究對象，還是理學研究中不可缺少的具有實用價值的工具。矩陣已經成為了處理有限空間和數量關系的重要的工具。正定矩陣在矩陣的研究中占有十分重要的地位，對于正定矩陣的研究有利于我們日后更加詳盡的研究二次型、線性空間和線性變換。

一、正定矩陣的定義

二、判定

(一)利用定義判定

利用定義證明矩陣A正定需要證明：對任何的非零實列向量X,XTAX>0.

例設A是m×n矩陣，B=λE+ATA,證明當λ>0時，B是正定矩陣。

證明因為BT=(λE+ATA)T=λE+ATA=B,故B是n階實對稱矩陣，對于任意的n維實向量x≠0，有

xTBx=λxTx+xTATAx=λxTx+(Ax)TAx=λ‖x‖2+‖Ax‖2

由于x≠0，λ>0，則恒有λ‖x‖2>0，而λ‖x‖2≥0，因此xTBx>0(?x≠0)，由定義可得B是正定矩陣。

(二)利用順序主子式判定

n階實對稱矩陣A是正定的充要條件是A的順序主子式都大于零,所以我們可以利用順序主子式來判定一個矩陣是否是正定矩陣。

運用順序主子式判定矩陣是否正定，首先我們需要確定矩陣的各階順序主子式較容易得到，然后根據矩陣的各階順序主子式均大于零，可以快速的判斷出矩陣是否為正定矩陣。此方法只適用于各階順序主子式方便計算的矩陣，具有一定的局限性。

(三)利用特征值判定

運用特征值判定正定矩陣，首先要計算出矩陣的所有特征值，如果所有的特征值都為正數則該矩陣為正定矩陣。如果可以保證所有的特征值全部為正數，那么也可不計算特征值的具體數值直接判定。此方法適用于根據已知可以容易判斷特征值是否全為正數的矩陣。

(四)總結

正定矩陣首先必然為實對稱矩陣。因此在判定一個矩陣是否正定時必須首先判定該矩陣是否為對稱陣，若它不是對稱陣，那么其一定不是正定矩陣，若是對稱陣則可以繼續判定。若給出的是一個具體數字的實對稱矩陣，那么在判定時可以驗證各階順序主子式是否全大于零；若給出的是一個抽象矩陣，那么在判定時可以利用定義或者特征值來進行判定。

三、正定矩陣在廣義積分計算中的應用

積分上下限皆為無窮的N重廣義積分，傳統的積分方法對這類積分往往難以奏效，本節介紹一種利用二次型理論計算這類廣義積分的方法。

考慮如下形式的n重廣義積分

(1)

其中f(x1,x2,…,xn)是二次多項式，為簡單起見，我們可以設f(x1,x2,…,xn)是一個n元二次齊次式(借助于正交變換，總可以化成此類情況的計算)。于是我們只需考慮如下形式的n重廣義積分：

(2)

這里f(x1,x2,…,xn)=XTAX是一個實二次型，X=(x1,x2,…,xn)T，A是該實二次型的矩陣。當A是正定矩陣時，上述積分(2)的計算已得到解決：

(3)

但當A是非正定矩陣時，上述積分是發散的，從而可將結果合并表示為：

(4)

現先將(4)式兩個結果一起證明如下：

這里λ1,λ2,…,λn是A的特征值，從而A=PTΛP,于是

又由于P是正交矩陣，從而在正交變換X=PY下，體積元素dx1dx2…dxn可以用體積元素dy1dy2…dyn代替，于是(4)中的積分變為：

(5)