從一道調(diào)研題談數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的培育*

數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題、用數(shù)學(xué)方法建構(gòu)模型解決問(wèn)題的素養(yǎng)。高考中對(duì)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的考查主要體現(xiàn)在應(yīng)用題的考查上。江蘇省高考數(shù)學(xué)試卷中，應(yīng)用題屬于中等難度的試題，一般在第17、18題的位置上出現(xiàn)，是試卷中的關(guān)鍵題。江蘇省南通市2019年高三數(shù)學(xué)第一次調(diào)研測(cè)試的應(yīng)用題源自生活實(shí)際，對(duì)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)提出了較高的要求，但考生實(shí)際答題情況卻很不理想。筆者負(fù)責(zé)了本次調(diào)研測(cè)試題的命制和閱卷工作，結(jié)合這一經(jīng)歷對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)發(fā)表一些個(gè)人的觀點(diǎn)。

2019年南通市高三數(shù)學(xué)第一次調(diào)研測(cè)試第18題如下：

如圖1，一藝術(shù)拱門(mén)由兩部分組成，下部為矩形ABCD，AB，AD的長(zhǎng)分別為和4 m，上部是圓心為O的劣弧CD，

（1）求圖1中拱門(mén)最高點(diǎn)到地面的距離；

（圖 1）

（2）現(xiàn)欲以B點(diǎn)為支點(diǎn)將拱門(mén)放倒，放倒過(guò)程中矩形ABCD所在的平面始終與地面垂直，如圖2、圖3、圖4所示。設(shè)BC與地面水平線l所成的角為θ。記拱門(mén)上的點(diǎn)到地面的最大距離為h，試用θ的函數(shù)表示h，并求出h的最大值。

（圖 4）

一、命題過(guò)程再現(xiàn)

1.想法由來(lái)。

在實(shí)際生產(chǎn)、生活中，常需要將物體旋轉(zhuǎn)傾倒。在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，物體的最高點(diǎn)與地面的距離h會(huì)不斷地發(fā)生變化。那么這一變化過(guò)程能否用數(shù)學(xué)模型進(jìn)行刻畫(huà)？如何用數(shù)學(xué)知識(shí)判斷這種旋轉(zhuǎn)在實(shí)際環(huán)境中是否能發(fā)生？這樣的想法，引發(fā)了本試題的編制。

2.試題初稿。

某糧食食品有限公司，有高度為5a（a為正常數(shù)）的倉(cāng)庫(kù)。倉(cāng)庫(kù)內(nèi)有如圖5所示的糧倉(cāng)模型，該模型是由上、下兩部分構(gòu)成，下半部是軸截面為矩形 ABCD 的圓柱，AB=2a，AD=4a，上半部是圓心角COD為120°的球的一部分。

（1）求該糧倉(cāng)模型最高點(diǎn)到地面的距離（用常數(shù)a表示）；

（2）由于該糧倉(cāng)使用已久需要修理，問(wèn)能否將該糧倉(cāng)模型以點(diǎn)B為支點(diǎn)，按順時(shí)針?lè)较蛟趥}(cāng)庫(kù)內(nèi)按如圖所示的示意圖放倒。

（圖 5）

3.磨題定稿。

初稿試題與命題的初始想法是完全吻合的，但在語(yǔ)言表述上還存在歧義，不利于學(xué)生理解。同時(shí)，這道以立體幾何為背景的應(yīng)用題建模要求非常高：解答試題需要經(jīng)歷從立體到平面，準(zhǔn)確描述從初始狀態(tài)到終止?fàn)顟B(tài)的運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程，找到不同變化階段的臨界狀態(tài)。本題如果讓學(xué)生進(jìn)行課后探究，將是一個(gè)非常好的培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的素材。但作為一道大型調(diào)研測(cè)試題，對(duì)學(xué)生的建模要求則太高了。

能否適當(dāng)降低要求，將初稿試題變成一道適合學(xué)情的考題？我們做了如下調(diào)整：（1）由于本題實(shí)際是轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題來(lái)求解的，故我們舍棄了立體幾何的背景，直接從平面切入，力求讓思維過(guò)程適度簡(jiǎn)化，降低難度；（2）我們通過(guò)4幅圖來(lái)刻畫(huà)運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程，突出了中間過(guò)程的描述，這其實(shí)也是對(duì)學(xué)生解題的一種提示。

其實(shí)，在蘇教版高中數(shù)學(xué)教材必修4中，也有用三角函數(shù)刻畫(huà)相關(guān)旋轉(zhuǎn)變化的問(wèn)題，題目如下：

矩形ABCD所在平面與地面垂直，A點(diǎn)在地面上，AB=a，BC=b，AB與地面成θ角（如圖6所示）。若記點(diǎn)C到地面的距離為h，試用θ的函數(shù)表示h，并求出h的最大值。

（圖 6）

與教材習(xí)題相比較，考題改變了研究對(duì)象的形狀，將矩形改變?yōu)橐粋€(gè)組合圖形，但本質(zhì)沒(méi)發(fā)生改變。

二、答題情況反饋

本題總分16分，調(diào)研人數(shù)為22253人，實(shí)際平均分為5.53分，可以說(shuō)得分情況并不理想。

在閱卷過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的水平不同，展現(xiàn)出來(lái)的解法也不一樣。主要解法有如下三種。

水平1：抓住問(wèn)題本質(zhì)，運(yùn)用三角函數(shù)的定義進(jìn)行建模，彰顯了良好的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，解答簡(jiǎn)潔明快、運(yùn)算便捷。

（圖 7）

明晰了上述模型本質(zhì)，就可以以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l為軸，建立直角坐標(biāo)系進(jìn)行解題，具體過(guò)程略。

水平2：直奔研究目標(biāo)，結(jié)合平面圖形特征求解，雖表述上未凸顯問(wèn)題本質(zhì)，但也彰顯了較高的學(xué)科素養(yǎng)。

解題思路：如圖8所示，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥l，垂足為E，過(guò)點(diǎn)C分別作DE，l的垂線，垂足為G，F(xiàn)，在所構(gòu)造的直角三角形中利用三角函數(shù)解題，具體過(guò)程略。

（圖 8）

水平3：根據(jù)以往對(duì)平面圖形問(wèn)題的一般處理經(jīng)驗(yàn)來(lái)求解，添加較復(fù)雜的輔助線幫助求解。雖也能解決，但過(guò)程較為繁雜，需要非常扎實(shí)的數(shù)學(xué)基本功和解題意志力方能求解到底。其方法多樣，但過(guò)程繁雜，這里就不一一展示了。

三、問(wèn)題診斷分析

1.偽建模題訓(xùn)練讓學(xué)生勞而無(wú)功。高考試題的命題者特別重視對(duì)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的考查，他們會(huì)認(rèn)真研制高質(zhì)量的應(yīng)用題；教學(xué)中，教師煞費(fèi)苦心，花費(fèi)大量精力用于應(yīng)用題的教學(xué)；學(xué)習(xí)中，學(xué)生深入題海，耗費(fèi)大量的時(shí)間用于解答各類應(yīng)用題。但實(shí)際學(xué)習(xí)下來(lái)，卻給人以勞而無(wú)功的感覺(jué)，學(xué)生反倒越做越怕。究其原因，很重要的一點(diǎn)是因?yàn)槠綍r(shí)的訓(xùn)練題很多都是假應(yīng)用題、偽建模題。這些題或是情境虛設(shè)，或是只需簡(jiǎn)單處理無(wú)需建模，或是問(wèn)題情境遠(yuǎn)離學(xué)生實(shí)際，學(xué)生缺乏相關(guān)經(jīng)驗(yàn)無(wú)從建模。

2.忽略建模過(guò)程讓學(xué)生“望模卻步”。在教材習(xí)題、高考試題、各類大型調(diào)研測(cè)試中，也有很多優(yōu)秀的應(yīng)用題，這類試題源自現(xiàn)實(shí)世界，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的優(yōu)質(zhì)素材。但很多教師在教學(xué)時(shí)，常為了追求一定的數(shù)量，忽略了建模的過(guò)程，簡(jiǎn)單呈現(xiàn)結(jié)果。這種忽視過(guò)程的教學(xué)，使學(xué)生無(wú)法真正理解和體驗(yàn)建模的過(guò)程，學(xué)生無(wú)法順利解題也就不足為奇了。

四、教學(xué)訓(xùn)練建議

1.選好題，讓學(xué)生真正經(jīng)歷建模的過(guò)程。要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，教師不僅要選好題，還要把探索實(shí)踐的機(jī)會(huì)留給學(xué)生，讓學(xué)生經(jīng)歷真正的建模過(guò)程。上文的案例源自生活實(shí)際，教學(xué)時(shí)可結(jié)合對(duì)實(shí)際運(yùn)動(dòng)過(guò)程的觀察，讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程分為兩個(gè)階段：點(diǎn)P在劣弧CD上和點(diǎn)P在線段AD上，并能用數(shù)量關(guān)系去刻畫(huà)臨界狀態(tài)。在師生合作建模、解模的過(guò)程中，可采用的流程是：改編設(shè)問(wèn)方式，創(chuàng)設(shè)建模機(jī)會(huì)；深刻理解情境，初定建模方案；多法解模驗(yàn)?zāi)＃角笞顑?yōu)解法；自我評(píng)估反思，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

2.研透題，讓學(xué)生深刻理解模型的本質(zhì)。通過(guò)做好題，經(jīng)歷建模的過(guò)程研透題，讓學(xué)生比較各種解決方案背后的異同點(diǎn)。如本例的3種水平的解答，雖都能解決問(wèn)題，但思維層次卻各不相同，只有第一種解答真正切入模型的本質(zhì)。本案例解決以后，要讓學(xué)生回歸教材習(xí)題中的數(shù)學(xué)模型，使他們認(rèn)識(shí)到解決問(wèn)題的關(guān)鍵即為教材數(shù)學(xué)模型的反復(fù)使用，本質(zhì)上是用三角函數(shù)的定義去刻畫(huà)高度的變化。教學(xué)中只有處理好量與質(zhì)的關(guān)系，發(fā)揮案例的作用，才能讓學(xué)生舉一反三，深入數(shù)學(xué)建模的本質(zhì)。