應對變換功在平時

徐怡鈞

一、通過折疊變換考查數學基礎知識的運用

例1 將圖1所示的四邊形紙片ABCD的邊AD向邊AB折過去（其中AD

【解析】關于圖形的折疊問題，我們只需要將變換后的圖形還原，同時找到折痕并進行標識，利用軸對稱的性質找出相等的量即可。

將圖3還原后得到圖4，由題意，AC和BE是折疊時的折痕。第一次對折可以發現，AC是∠DAB的平分線，即∠DAC=∠BAC;第二次對折可以發現BA=BC，因此∠BAC=∠BCA，從而∠DAC=∠BCA，從而得到AD∥BC。由于AD

【點評】折疊時，重合的量相等，即對應邊相等、對應角相等。這往往是解決此類問題的通常思路。

二、通過旋轉變換考查坐標系中圖形位置的刻畫

例2 矩形AOCD繞頂點A（0，5）逆時針方向旋轉，當旋轉到如圖5所示的位置時，邊BE交邊CD于M，且ME=2，CM=4。

（1）求AD的長。

（2）求經過A、B、D三點的拋物線解析式。

【解析】本題是平面直角坐標系背景下的圖形旋轉，可根據旋轉性質及坐標系中點的坐標與線段長度之間的關系進行探索。（1）如圖6，連接AM，設OC=AD=m，由題意知，AB=CD=OA=5，BE=OC=m，故BM=m-2，DM=1。由AB2+BM2=AD2+DM2，得52+（m-2）2=m2+12，求得m=7，即AD=7。（2）如圖7，過點B作GH∥x軸，分別交OA、CD于G、H，由（1）可知AB=BM=5，易證△ABG≌△BMH。設G（0，n），則HC=OG=n，所以GB=MH=4-n，BH=AG=5-n，因為GH=GB+BH=9-2n，GH=OC=7，所以n=1，所以B（3，1），又因為D（7，5），A（0，5），從而求得過A、B、D三點的拋物線解析式為y=[13x2]-[73x]+5。

【點評】許多幾何計算問題常常可以通過設未知數，再根據幾何圖形中存在的某種特定數量關系建立方程來解決。比如，利用全等、相似、勾股定理等都可以建立方程，從而解決問題。

三、通過運動問題考查對圖形變換本質的理解和運用

例3 如圖8，在平面直角坐標系內，點C是反比例函數y=[kx]的圖像上的一個動點，過點C分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為A、B，連接AB。

（1）若△ABC的周長為4+[26]，AB=4，求k的值。

（2）連接OC，若點C在（1）中的雙曲線上運動，線段OC是否存在最小值？若存在，請求出點C的坐標;若不存在，請說明理由。

【解析】以函數為背景的運動型問題，需要充分挖掘圖形的幾何性質，將基本數量關系用方程的形式表達出來。（1）設CA=b，CB=a，由a+b=[26]，a2+b2=16，可得ab=4，因為圖像位于第二象限，故k=-4。（2）OC存在最小值。不難發現，當點C為雙曲線y=[-4x]與直線y=-x的交點時，OC最小，可求得C1（-2，2）、C2（2，-2）。

【點評】（1）利用k的幾何意義來求解，這是最直接、最有效的方法。具體解答過程中利用完全平方公式的一個基本變式ab=[a+b2-a2+b22]可以快速地解決問題。（2）直截了當地考查了旋轉變換（雙曲線的中心對稱性）和軸對稱變換（雙曲線的軸對稱性）。同時，這也是一個數形結合的典型案例——隨著點C在雙曲線上運動，OC長的變化規律究竟如何？同學們可以試著用所學過的代數知識，來說明當點C在直線y=-x上時，OC取得最小值的理由。

在某種意義上，圖形的變換其實是數學基本模型和數學思想方法的集中營。抓住三種基本變換的本質，把尋找對應相等的幾何元素作為分析題目的“規定動作”，平時做好對常用數學模型和經典問題背景的積累與歸類工作，對你解決圖形變換類問題會大有裨益。

（作者單位：江蘇省無錫市蠡園中學）