無(wú)窮級(jí)數(shù)的柯西和與切薩羅和

趙小玲 上海電機(jī)學(xué)院 文理學(xué)院

無(wú)窮級(jí)數(shù)求和問(wèn)題是級(jí)數(shù)教學(xué)中的一個(gè)起點(diǎn)，也是重點(diǎn)和難點(diǎn)。在《高等數(shù)學(xué)》中，首先定義了無(wú)窮級(jí)數(shù)的收斂和發(fā)散，接著才定義了收斂級(jí)數(shù)的和，這種和稱(chēng)為柯西和。可以發(fā)現(xiàn)，此種定義框架下，發(fā)散級(jí)數(shù)是不能求和的。但是，當(dāng)我們改變和的定義方式時(shí)，某些發(fā)散級(jí)數(shù)也能求和，且與柯西和是相容的。意大利數(shù)學(xué)家切薩羅就提出了另一種定義方式方式，讓我們可以求出某些發(fā)散的無(wú)窮級(jí)數(shù)的和。

一、柯西和

利用上述定義，即求部分和數(shù)列的斂散性，我們可以得到級(jí)數(shù)的斂散性，并求出收斂級(jí)數(shù)的和。

例1：用柯西和定義討論下列級(jí)數(shù)的和。

（2）1-1+1-1+…+(-1)n-1+…

（3）1+2+3+4+…+n+…

解：(1) 因?yàn)榧?jí)數(shù)的前n 項(xiàng)的部分和

在判斷級(jí)數(shù)收斂或發(fā)散時(shí)，我們還特別強(qiáng)調(diào)了如下一些性質(zhì)。

（1）收斂級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)和構(gòu)成的新級(jí)數(shù)仍然收斂；發(fā)散級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)和構(gòu)成的新級(jí)數(shù)不一定發(fā)散；如果兩級(jí)數(shù)逐項(xiàng)和的新級(jí)數(shù)發(fā)散，原級(jí)數(shù)中至少有一個(gè)發(fā)散；如果兩級(jí)數(shù)逐項(xiàng)和的新級(jí)數(shù)收斂，原級(jí)數(shù)不一定都收斂。

（2）在級(jí)數(shù)中增加或減少有限項(xiàng)不改變級(jí)數(shù)的斂散性；但在收斂時(shí)，級(jí)數(shù)的和數(shù)不同的；

（3）在收斂級(jí)數(shù)上任意加括號(hào)構(gòu)成的級(jí)數(shù)仍然收斂，且和不變；若加括號(hào)構(gòu)成的級(jí)數(shù)發(fā)散，則原級(jí)數(shù)一定發(fā)散；若加括號(hào)構(gòu)成的級(jí)數(shù)收斂，原級(jí)數(shù)不一定收斂（即不能用加括號(hào)改變級(jí)數(shù)運(yùn)算順序的方法求級(jí)數(shù)的和）。 在第三個(gè)性質(zhì)中，著重強(qiáng)調(diào)了發(fā)散級(jí)數(shù)求和不能任意加括號(hào)。例如是發(fā)散的，但是在給此級(jí)數(shù)用不同的方法加括號(hào)以后有：這兩個(gè)加括號(hào)后改變運(yùn)算順序的級(jí)數(shù)均是收斂的，但收斂到不同的數(shù)值。表明用任意加括號(hào)的方法求級(jí)數(shù)的和并不科學(xué)。

那么，對(duì)于發(fā)散級(jí)數(shù)，有沒(méi)有一種方法可以更好地描繪級(jí)數(shù)趨近于哪一個(gè)常數(shù)呢。比如格蘭迪級(jí)數(shù)，它的和一直在0 和1 之間擺動(dòng)，我們直觀上認(rèn)為，它應(yīng)該趨近于二分之一比較合理。事實(shí)上，用切薩羅求和，確實(shí)可以得到這樣的結(jié)論。

二、切薩羅和

例如：用切薩羅和定義討論例1 中各級(jí)數(shù)的和。

解：(1) 因?yàn)榧?jí)數(shù)的前n 項(xiàng)的部分和

所以級(jí)數(shù)和為1。可見(jiàn)，此定義方式與柯西和是相容的，即柯西和若存在，則切薩羅和也存在且與柯西和相等。

當(dāng)然，切薩羅和也不是萬(wàn)能的，對(duì)于（3）這個(gè)全體自然數(shù)相加的發(fā)散級(jí)數(shù)，用切薩羅定義不能求出它的和。

從以上例子可以看出，在研究無(wú)窮級(jí)數(shù)求和的發(fā)展過(guò)程中有著很多數(shù)學(xué)理論上的跳躍式發(fā)展。全體自然數(shù)相加的級(jí)數(shù)，用切薩羅定義不能求出它的和，但是用拉馬努金和的定義方式可以得到一個(gè)令人瞠目結(jié)舌的 “和”。我們?cè)跀?shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中要特別注意數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，注意數(shù)學(xué)架構(gòu)的嚴(yán)謹(jǐn)清晰，有理有據(jù)。在一定的公理體系下，通過(guò)嚴(yán)密的邏輯推理，可以發(fā)展出不同的數(shù)學(xué)新分支，豐富數(shù)學(xué)理論。