淺談如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力

李影飛

中國航天之父錢學(xué)森教授曾經(jīng)說過：“教育工作的最終機(jī)智在于人腦的思維過程。”思維活動的研究，是教學(xué)研究的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)教學(xué)與思維的關(guān)系緊密相連。數(shù)學(xué)教學(xué)實際上就是在教師的指導(dǎo)下，通過思維活動，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家思維活動的成果，并發(fā)展數(shù)學(xué)思維，使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維結(jié)構(gòu)，向數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)思維結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化的過程。因此，對數(shù)學(xué)思維的研究，是數(shù)學(xué)教學(xué)研究的核心。

一、激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動學(xué)生數(shù)學(xué)思維的積極性

教育心理學(xué)認(rèn)為：興趣是力求認(rèn)識和接觸某種事物的傾向。事實證明，興趣是提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的內(nèi)驅(qū)力，也是思維發(fā)展的前提條件。只有學(xué)生對某一事物發(fā)生興趣，才會積極動腦筋想辦法去探討和研究它。根據(jù)這一心理學(xué)特點，教師在教學(xué)中應(yīng)該盡量提一些學(xué)生感興趣的具有思維性的問題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲望，促使他們動手、動腦，主動探究，從而達(dá)到培養(yǎng)他們數(shù)學(xué)思維能力的目的。

例如，在教學(xué)“雞兔同籠”時，由于這個知識相對于學(xué)生來說比較抽象，學(xué)生不好理解，需要較強(qiáng)的思維能力作支撐。為了更好地為新課學(xué)習(xí)做好鋪墊，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，做好積極思維的預(yù)熱，在探究新知之前我特意設(shè)計了四組闖關(guān)題，并以學(xué)生喜聞樂見的動畫形式顯示出來：

第一關(guān)： 一只雞有（）個頭，（）條腿;

一只兔有（）個頭，（）條腿。

第二關(guān)：2只雞和2只兔共有（）個頭，（）腿。

7只雞和3只兔共有（）個頭，（）腿。

第三關(guān)：用表示雞或兔的頭，用表示腿，按要求給雞或兔畫上頭和腿。

第四關(guān)：根據(jù)下列所給的腿的總數(shù)，用鼠標(biāo)拖動相應(yīng)的雞或兔。（八只腳）

上述的四個闖關(guān)活動，難度由淺到深，層層遞進(jìn)，既有效地激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又巧妙地激起了學(xué)生思維的動機(jī)，使他們沉浸在積極思考的探索中，為新知的探究奠定了堅實的思維基礎(chǔ)。

二、做好形象思維和抽象（邏輯）思維的轉(zhuǎn)化

形象思維與抽象思維是兩種基本的思維方式，人類從事各種活動，往往需要對兩種思維方式協(xié)同使用。對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動來說，亦是如此。專家的大腦中有著豐富的形象貯備，在解決數(shù)學(xué)問題時，他們總是先根據(jù)問題情景構(gòu)建出清晰的數(shù)學(xué)圖象;盡可能利用圖形來反映題目中的數(shù)量關(guān)系;善于在頭腦中對有關(guān)形象進(jìn)行分析、比較、類比、整合，做到數(shù)形結(jié)合。所以，專家往往對問題的形象有著較強(qiáng)的直感能力。而一般人的大腦中，形象的貯備相對貧乏，他們在解決數(shù)學(xué)問題時，不善于從形象上去把握問題，不善于把形象思維和抽象思維融會貫通，一接觸到問題，就企圖立即建立有關(guān)的求解方程，其結(jié)果往往是欲速則不達(dá)。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生溝通形象思維和抽象思維的內(nèi)在聯(lián)系，加強(qiáng)兩者之間的互相轉(zhuǎn)化，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

北師大版數(shù)學(xué)教材五年級上冊的《點陣中的規(guī)律》屬于新課程標(biāo)準(zhǔn)中的“嘗試與猜測”這部分內(nèi)容，是《標(biāo)準(zhǔn)》中的數(shù)形結(jié)合思想在教材中的具體體現(xiàn)，它從“中國古代名題”延伸到“普遍聯(lián)系找規(guī)律”， 引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、推理等活動，在生動的情景中找出圖形的變化規(guī)律，從形象思維入手，逐步溝通過度到抽象思維，從而將數(shù)形結(jié)合在一起。教學(xué)時，我先出示四個正方形點陣：

我啟發(fā)學(xué)生思考：“圖中有幾個點陣，每個點陣各有幾個點？”“怎么數(shù)得這樣快？有竅門嗎？” 學(xué)生經(jīng)過觀察和思考，很快會說：“用算式算出來的。”教師根據(jù)學(xué)生的回答，板書第一組算式：

這樣，一個“算”字，學(xué)生的思維初步實現(xiàn)由“形”——“數(shù)”的轉(zhuǎn)換。接著，我說：“這種數(shù)法真是又快又方便！照這樣下去，第五個點陣有多少個點呢？第六個呢？第七個？八個？……第100個呢？” 有了前面的鋪墊，學(xué)生很容易就總結(jié)出“第幾個點陣就用幾乘幾”，也有的學(xué)生會說，“第幾個點陣就是幾的平方。”

接著，我再引導(dǎo)學(xué)生從另一個角度去思考（電腦演示一下圖形）：

“斜著看又可以得到什么新的算式呢？”讓學(xué)生獨立思考，得出算式，然后匯報。我根據(jù)學(xué)生的回答板書：

并讓學(xué)生說說“誰發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？” 引導(dǎo)學(xué)生得出“如第2個點陣就從1加到2再加回來，第3個點陣就從1加到3再加回來，第4個點陣就從1加到4再加回來”。“第幾個點陣就從1連續(xù)加到幾，再反過來加回到1”這個規(guī)律。

緊接著，我再次設(shè)疑：“剛才同學(xué)們發(fā)現(xiàn)了點陣中的兩個規(guī)律，這些點陣中還有其它的規(guī)律嗎？還能換個角度去思考嗎？”（課件演示）

學(xué)生經(jīng)過思考，列出算式，并得出“幾個點陣就從1開始加幾個連續(xù)奇數(shù)”的規(guī)律。在這里，教師不是讓學(xué)生思維之旅就此結(jié)束，而是把上面的幾組算式進(jìn)行整合（課件顯示）：

三、落實收斂思維和發(fā)散思維的辯證統(tǒng)一

收斂思維也是創(chuàng)新思維的一種形式，與發(fā)散思維不同，發(fā)散思維是為了解決某個問題，從這一問題出發(fā)，想的辦法、途徑越多越好，總是追求還有沒有更多的辦法。而收斂思維也是為了解決某一問題，在眾多的現(xiàn)象、線索、信息中，向著問題一個方向思考，根據(jù)已有的經(jīng)驗、知識或發(fā)散思維中針對問題的最好辦法去得出最好的結(jié)論和最好的解決辦法。收斂思維與發(fā)散思維，如同“一個錢幣的兩面”，是對立的統(tǒng)一，具有互補性，不可偏廢。實踐證明：在教學(xué)中，既重視培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維，又重視收斂思維的培養(yǎng)，才能較好地促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展，提高學(xué)習(xí)能力，培養(yǎng)高素質(zhì)人才。

教學(xué)實踐經(jīng)驗告訴我，訓(xùn)練發(fā)散性思維的最佳方法是開展研究型學(xué)習(xí)。改變傳統(tǒng)的學(xué)習(xí)模式，每遇到一個問題時，首先以這個問題為中心，展開思路去尋求不同的解題方法。例如，在學(xué)習(xí)了《路程、時間與速度》一課后，我出示了這樣一道思維訓(xùn)練題：“從我家到學(xué)校的路程是 600 米，我步行的速度是 60 米/分，我從家出發(fā)步行 9 分鐘能否到達(dá)學(xué)校？（你有多少種方法呢？）”根據(jù)一般的思維習(xí)慣，很多學(xué)生會用“時間=路程÷速度”的方法求出“從我家到學(xué)校所需的時間”再行判斷。在這里，我特意加上一句話“你有多少種方法呢？”目的在于引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思維，運用不同的思路進(jìn)行解題。在我的啟發(fā)下，最終學(xué)生能分別從路程、時間、速度三個方面進(jìn)行比較，確定“我是否能在9分鐘內(nèi)到達(dá)學(xué)校”。

四、加強(qiáng)正向思維和逆向思維的互化

所謂正向思維，就是人們在創(chuàng)造性思維活動中，沿襲某些常規(guī)去分析問題，按事物發(fā)展的進(jìn)程進(jìn)行思考、推測，是一種從已知進(jìn)到未知，通過已知來揭示事物本質(zhì)的思維方法。逆向思維則是對司空見慣的似乎已成定論的事物或觀點反過來思考的一種思維方式。人們習(xí)慣于沿著事物發(fā)展的正方向去思考問題并尋求解決辦法。其實，對于某些問題，尤其是一些特殊問題，從結(jié)論往回推，倒過來思考，從求解回到已知條件，反過去想或許會使問題簡單化。于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來說，把正向思維和逆向思維緊密聯(lián)系在一起，加強(qiáng)兩者的內(nèi)化，能幫助學(xué)生深刻理解題意，提高數(shù)學(xué)思維能力。

例如，“小明有14張郵票，送給妹妹3張，爸爸又給他買5張，小明現(xiàn)在有多少張郵票？”這是一道簡單的兩步計算的應(yīng)用題，按順向數(shù)量關(guān)系列式為14-3+5=（）。可以轉(zhuǎn)化為“小明若干張郵票，送給妹妹3張，爸爸又給他買5張，這時小明有14張郵票，小明原來有多少張郵票？”轉(zhuǎn)化后的數(shù)量關(guān)系是（）-3+5=14。但這個問題必須把這個數(shù)量關(guān)系逆轉(zhuǎn)為14-3+5=（）才能解決。又如判斷題“鈍角都大于90°”在學(xué)生作出正確判斷以后，把題目改為“大于90°的都是鈍角。”引導(dǎo)學(xué)生從正反兩個方面進(jìn)行分析、比較、判斷，既拓展了學(xué)生的認(rèn)知領(lǐng)域，也有效提高思維的能力。

責(zé)任編輯 徐國堅