厘清法則 觸摸數(shù)學(xué)本質(zhì)

郭繼峰

摘 要：“計(jì)算法則”，也就是學(xué)生在計(jì)算中所要遵循的方法、規(guī)則或程序等。在低年級(jí)計(jì)算教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生借助情境、操作和運(yùn)用，探尋數(shù)學(xué)計(jì)算法則之源、之本、之根、之果，不斷發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的同時(shí)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)智慧的生長。教師引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)算理的探究過程，不斷夯實(shí)、筑牢學(xué)生的計(jì)算基礎(chǔ)，改變學(xué)生學(xué)習(xí)的方式，就能更好地、有效地發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：低年級(jí)數(shù)學(xué);計(jì)算法則;法則建構(gòu);學(xué)習(xí)能力

所謂“計(jì)算法則”，也就是學(xué)生在計(jì)算中所要遵循的方法、規(guī)則或程序等。荷蘭著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾認(rèn)為，數(shù)學(xué)知識(shí)有“程序性知識(shí)”和“思辨性知識(shí)”。顯然，計(jì)算法則屬于程序性知識(shí)。對(duì)學(xué)生尤其是低年級(jí)學(xué)生來說，運(yùn)用計(jì)算法則相對(duì)簡單，而理解計(jì)算法則背后的算理則相對(duì)較難。為此，教師要加強(qiáng)法則背后的算理教學(xué)，讓學(xué)生“算理明”“算法清”，真正做到“法理融通”。

一、借助情境，探尋計(jì)算法則之“源”

對(duì)于小學(xué)生而言，計(jì)算法則理解通常要借助一定的情境。這種情境既可以是生活化、經(jīng)驗(yàn)化的情境，也可以是蘊(yùn)含數(shù)學(xué)計(jì)算法則邏輯事理的情境。從這個(gè)意義上說，情境應(yīng)該是學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)計(jì)算法則之源。在情境中，學(xué)生觸景生情、觸景生需、觸景生思。當(dāng)計(jì)算法則以具體情境為背景、載體時(shí)，就可以化抽象為具體、直觀、形象，從而幫助學(xué)生理解計(jì)算法則背后的算理，催促學(xué)生積極主動(dòng)地建構(gòu)算法。

教學(xué)《十幾減9》時(shí)，教師充分利用教材主題圖，創(chuàng)設(shè)生活化情境，讓學(xué)生在情境中思考。教師先出示直觀圖，讓學(xué)生讀懂信息：“13個(gè)桃，我買9個(gè)。”引導(dǎo)學(xué)生交流：從圖上，你知道了哪些條件？能提出什么問題？在學(xué)生交流的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生嘗試探索，構(gòu)建算法。啟發(fā)學(xué)生思考：怎樣從13個(gè)桃里拿走9個(gè)桃。

結(jié)合學(xué)生的交流，教師進(jìn)行直觀演示。

方法1：先拿去盒子外的3個(gè)桃，再拿去盒子里的6個(gè)桃，還余4個(gè)。交流拿桃的過程。強(qiáng)調(diào)拿桃分兩次，還余多少個(gè)桃？

方法2：先從10個(gè)桃里拿去9個(gè)，再把余下的1個(gè)與外面的3個(gè)加起來，還剩4個(gè)桃。

由于學(xué)生已經(jīng)有了“9加幾”“8加幾”等的數(shù)學(xué)認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，因此學(xué)生能夠認(rèn)識(shí)到這屬于一個(gè)“去一去”“拿一拿”的數(shù)學(xué)問題，因此應(yīng)該用減法計(jì)算。關(guān)鍵問題變?yōu)椋?3減9到底可以怎樣計(jì)算？在問題驅(qū)動(dòng)下，部分學(xué)生能迅速調(diào)用已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，根據(jù)“加法”推算“減法”。絕大多數(shù)學(xué)生則借助教材主題圖，在情境中展開深度思考。有學(xué)生認(rèn)為，“從13個(gè)中拿走9個(gè)，可以這樣計(jì)算，先從10個(gè)中拿走9個(gè)，再將零頭3個(gè)加上去”;有學(xué)生認(rèn)為，“可以先從13個(gè)里面拿走3個(gè)，再從剩下的10個(gè)里面拿走6個(gè)”，等等。教師創(chuàng)設(shè)情境，給予學(xué)生在情境化思考中直接體會(huì)“破十法”“平十法”以及“想加算減”的操作過程。讓學(xué)生在思維活動(dòng)的過程中進(jìn)一步抽象算法，明曉算法，使學(xué)生獲得思維發(fā)展方向的指引，幫助學(xué)生更好地理解十幾減9的計(jì)算法則。對(duì)于低年級(jí)學(xué)生來說，情境不僅激活了學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，更激活了學(xué)生對(duì)算式的主動(dòng)思考。學(xué)生努力通過生活化的“算理”解釋數(shù)學(xué)化的“算法”。這種“破十法”“平十法”以及“9加幾”的“湊整法”等，蘊(yùn)含著深刻的數(shù)學(xué)“分與合”思想，是學(xué)生今后學(xué)習(xí)簡便運(yùn)算的基礎(chǔ)。

二、借助操作，探尋計(jì)算法則之“本”

瑞士著名教育心理學(xué)家皮亞杰說：“兒童智慧在指尖跳躍。”學(xué)生對(duì)計(jì)算法則的建構(gòu)不僅依賴于情境，更依賴于操作。實(shí)踐證明，動(dòng)手操作能激發(fā)學(xué)生的直觀思維，引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)深度思考。對(duì)于學(xué)生來說，計(jì)算“法則”是抽象的，而“算理”卻應(yīng)當(dāng)是直觀的。只有這樣，學(xué)生才能理解算理、建構(gòu)算法。通常而言，“算法”解決的是“怎樣計(jì)算”的程序性問題，而“算理”表征的是“為什么這樣計(jì)算”的思辨性問題。算理是算法的依據(jù)、道理，算法是算理的抽象化、形式化表征。

在計(jì)算教學(xué)中，教師要為學(xué)生提供“算珠”“小棒”“圓片”等具有“齊性”的操作素材。什么是“齊性”？也就是說學(xué)生的操作素材應(yīng)盡量少的具有無關(guān)屬性，盡量多的具有相關(guān)屬性。

教學(xué)《兩位數(shù)加一位數(shù)（進(jìn)位）》，以蘇教版為例，教材提供的主題圖是“小亮有24張畫片，小明有9張畫片，小紅有6張畫片，小亮和小紅一共有多少張畫片？”為此，教師可以讓學(xué)生借助小棒進(jìn)行操作，讓學(xué)生自主探究。有學(xué)生先擺出2捆小棒，再擺出4根小棒，然后擺出6根小棒，隨后就匆忙數(shù)起來。在這里，小棒成為學(xué)生“數(shù)”的素材，沒有成為學(xué)生“探究”的素材。基于此，筆者這樣啟發(fā)學(xué)生：當(dāng)4根小棒與6根小棒合起來時(shí)，有沒有一捆？由此幫助學(xué)生建立“捆”的概念。在筆者的啟發(fā)下，學(xué)生將4根小棒與6根小棒合起來，變成一捆，再和之前的兩捆合起來。在操作中，學(xué)生建構(gòu)了“滿十進(jìn)一”的數(shù)學(xué)計(jì)算法則模型。在操作中，學(xué)生經(jīng)歷了算法形成的全過程，從而能深度地理解算法、運(yùn)用算法。

三、借助運(yùn)用，探尋計(jì)算法則之“根”

對(duì)于學(xué)生來說，計(jì)算學(xué)習(xí)要“返本歸源”“葉落歸根”。所謂“根”，就是所從之、所回歸的地方。對(duì)于計(jì)算法則來說，生活既是源頭，又是歸根。很多時(shí)候，學(xué)生由于法則運(yùn)用不到位，導(dǎo)致計(jì)算法則不能積淀為學(xué)生的計(jì)算技能。計(jì)算教學(xué)不僅要讓學(xué)生做到“理法融通”，更要做到“算用結(jié)合”。作為教師，要激活、調(diào)用、提升學(xué)生的數(shù)學(xué)計(jì)算活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行意義聯(lián)結(jié)。讓計(jì)算法則之根扎得更深，讓計(jì)算法則之葉長得更盛。

教學(xué)《有余數(shù)的除法》時(shí)，在學(xué)生借助直觀操作、觀察等活動(dòng)體會(huì)“余數(shù)要小于除數(shù)”之后，教師要著力引導(dǎo)學(xué)生對(duì)這一“法則”進(jìn)行多視角、多向度的運(yùn)用。通過讓學(xué)生自己舉例，聯(lián)系經(jīng)驗(yàn)，展開數(shù)學(xué)思考。在此基礎(chǔ)上，教師提供已知被除數(shù)、除數(shù)的素材，要求學(xué)生求出商和余數(shù)類的;已知被除數(shù)、余數(shù)的素材，要求學(xué)生求出商和除數(shù)類的;要求學(xué)生求一個(gè)數(shù)中至多有幾個(gè)幾的;算式中的余數(shù)大于除數(shù)，要求學(xué)生理性判斷類的;已知除數(shù)，要求余數(shù)最大是幾的;已知商和余數(shù)，要求學(xué)生列舉除數(shù)和被除數(shù)一共有多少種可能的，等等。通過大量的正反變式、互逆變式、多向變式，促使學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)知識(shí)，觸摸數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，在發(fā)展學(xué)生的正向思維的同時(shí)，不斷關(guān)注學(xué)生的逆向思維、發(fā)散思維、批判思維等。有了靈活的數(shù)學(xué)運(yùn)用，就能提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平，突破學(xué)生數(shù)學(xué)思維局限性、思維障礙，消除學(xué)生的思維盲點(diǎn)、認(rèn)知誤區(qū)，讓學(xué)生建立深刻的、清晰的、牢固的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)計(jì)算法則的深度理解。

四、借助反思，探尋計(jì)算法則之“果”

活動(dòng)是認(rèn)知的基礎(chǔ)，反思是智慧生長的開始。學(xué)生學(xué)會(huì)反思，不僅收獲的是知識(shí)和技能，更能收獲學(xué)習(xí)能力之果。在低年級(jí)的數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)中，教師除了關(guān)注學(xué)生抽象數(shù)學(xué)知識(shí)的過程，更要注重學(xué)生反思能力的培養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)反思。

在計(jì)算教學(xué)中，教師要讓學(xué)生進(jìn)行及時(shí)歸納和總結(jié)，使學(xué)生在反思與聯(lián)想中，溝通新舊知識(shí)的聯(lián)系，建構(gòu)良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

如教學(xué)《筆算兩位數(shù)加、減兩位數(shù)》時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生在不同的階段進(jìn)行反思，使學(xué)生產(chǎn)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生合作交流的意識(shí)和良好的習(xí)慣。

1.在復(fù)習(xí)引入時(shí)，適時(shí)總結(jié)反思，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

教師出示：54+20=? 54-20=? 54+2=? 54-2=

讓學(xué)生口算出得數(shù)后，交流說說是怎樣算的。在學(xué)生一一交流算法的基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生反思：上面的加、減整十?dāng)?shù)和加、減一位數(shù)計(jì)算方法一樣嗎？計(jì)算加、減一位數(shù)是在哪一位上加減的？加、減整十?dāng)?shù)呢？

學(xué)生反思后明確：計(jì)算加、減一位數(shù)是在個(gè)數(shù)上進(jìn)行加減的，而加、減整十?dāng)?shù)是在十位上加減。

教師引入新課：學(xué)習(xí)兩位數(shù)加減整十?dāng)?shù)、一位數(shù)時(shí)，可以依據(jù)數(shù)的組成來思考，利用小棒或用計(jì)數(shù)器撥一撥，找出幾十和十位上的幾十加減，個(gè)位上的幾和幾加減。今天老師和小朋友們來研究的兩位數(shù)加、減兩位數(shù)又有什么不同呢？

板書課題：筆算兩位數(shù)加、減兩位數(shù)

……

2.在探究算法時(shí)，適時(shí)回顧反思，促進(jìn)數(shù)學(xué)理解

教師出示主題圖后，交流信息：藍(lán)汽車坐45人，黃汽車坐31人，兩輛車一共坐了多少人？

讓學(xué)生自主列式：45+31，啟發(fā)學(xué)生思考：怎樣來算得數(shù)？

回顧以前的方法：用小棒、撥小算盤的算珠來算得數(shù)。

學(xué)生嘗試操作，交流，教師結(jié)合學(xué)生的匯報(bào)進(jìn)行演示。

把7個(gè)十和6個(gè)一分別框一框，再把兩部分圈起來。

思考：為什么是3捆和4捆要對(duì)齊擺，1根和5根對(duì)齊擺。

在學(xué)生交流的基礎(chǔ)上，再演示撥小算盤的算珠來算得數(shù)。

教師教學(xué)筆算兩位數(shù)加法的寫法：先寫加數(shù)45，再在下面寫加數(shù)31，寫加號(hào)，畫橫線。

……

引導(dǎo)學(xué)生回顧算法：在筆算加法時(shí)，豎式怎樣列？為什么十位要和十位對(duì)齊，個(gè)位要和個(gè)位對(duì)齊？

理解算理是學(xué)生學(xué)習(xí)算法的基礎(chǔ)，而理解算理，厘清計(jì)算法則則是學(xué)習(xí)計(jì)算的難點(diǎn)。教師通過引導(dǎo)學(xué)生回顧思考：為什么這樣寫？讓學(xué)生厘清算理，明確算法，掌握法則，發(fā)展了學(xué)生的形象思維和初步的分析、抽象、概括等思維能力。

綜上所述，計(jì)算是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的根基。在小學(xué)低年級(jí)計(jì)算教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)計(jì)算算理的探索過程，幫助學(xué)生理解計(jì)算法則，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)計(jì)算的過程中，提高計(jì)算技能、增強(qiáng)計(jì)算能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)自信心，發(fā)展學(xué)生的計(jì)算應(yīng)用能力。在計(jì)算教學(xué)中，只有夯實(shí)、筑牢學(xué)生的計(jì)算基礎(chǔ)，才能有效地發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。教師可以引導(dǎo)學(xué)生借助情境、操作和運(yùn)用，探尋數(shù)學(xué)計(jì)算法則之源、之本、之根，做到“理法融通”“算用結(jié)合”，讓學(xué)生“以理釋法”“依理用法”，實(shí)現(xiàn)學(xué)生對(duì)算理的深層理解和對(duì)算法的切實(shí)把握，使提升學(xué)生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的同時(shí)，促使學(xué)生的數(shù)學(xué)智慧不斷生長。

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編輯 謝尾合