三軸轉(zhuǎn)臺(tái)粗瞄控制系統(tǒng)非脆弱魯棒濾波

李月芳，周振華，王 茂

(1.常州輕工職業(yè)技術(shù)學(xué)院, 常州 213164； 2.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 空間控制與慣性技術(shù)研究中心, 哈爾濱 150000)

由于星地通訊具有實(shí)時(shí)性和精準(zhǔn)性，被廣泛應(yīng)用于軍事領(lǐng)域，而在眾多星地通訊方式中激光通訊仍是行之有效的解決方案。伴隨超光譜成像技術(shù)和合成孔徑雷達(dá)在衛(wèi)星平臺(tái)上的應(yīng)用[1]，如何準(zhǔn)確且高速捕捉和瞄準(zhǔn)鏈路目標(biāo)成為星地激光通訊領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)[2-4]。這一過程的實(shí)現(xiàn)依賴于粗瞄控制系統(tǒng)控制策略的選擇以及實(shí)現(xiàn)，因此，粗瞄控制系統(tǒng)性能將直接影響激光通訊對(duì)焦的速率和質(zhì)量[5]。

自1945年，世界上首個(gè)采取傳統(tǒng)滾珠式軸承的仿真轉(zhuǎn)臺(tái)在美國麻省理工學(xué)院誕生[6]，到我國現(xiàn)代新型三軸轉(zhuǎn)臺(tái)雛形的出現(xiàn)，這一過程伴隨技術(shù)更新和幾代人的不懈努力[7]。2005年，哈爾濱工業(yè)大學(xué)自主研發(fā)的三軸飛行仿真轉(zhuǎn)臺(tái)ET313A，準(zhǔn)靜態(tài)瞄準(zhǔn)精度高、飛行速度適應(yīng)范圍廣，相關(guān)技術(shù)參數(shù)達(dá)到國際領(lǐng)先水平[8]。基于控制理論與相關(guān)技術(shù)的不斷發(fā)展，近年來有關(guān)三軸轉(zhuǎn)臺(tái)的報(bào)道多集中在控制算法選擇與模擬實(shí)現(xiàn)上，文獻(xiàn)[9]通過對(duì)測(cè)量模型、結(jié)構(gòu)參數(shù)模型及外參數(shù)模型的建模及優(yōu)化整合提出一種基于三軸轉(zhuǎn)臺(tái)的多視場(chǎng)星敏感器標(biāo)定方法。用于地面衛(wèi)星整星級(jí)姿態(tài)動(dòng)力學(xué)試驗(yàn)的三軸氣浮臺(tái)參數(shù)辨識(shí)方法由文獻(xiàn)[10]給出，采用剩余誤差法可以直接作為二階電子穩(wěn)定方程的替代方案，成功應(yīng)用于三軸穩(wěn)定轉(zhuǎn)臺(tái)雷達(dá)[11]。此外，文獻(xiàn)[12-13]在轉(zhuǎn)臺(tái)結(jié)構(gòu)以及控制策略選擇上也做了相應(yīng)的研究。不難發(fā)現(xiàn)，今年來對(duì)三軸轉(zhuǎn)臺(tái)控制算法的研究均沒有給出消除子系統(tǒng)切換所造成延時(shí)以及如何抵消外部擾動(dòng)的方法，本文在前人所做研究的基礎(chǔ)上，研究三軸轉(zhuǎn)臺(tái)粗瞄控制系統(tǒng)既能消除切換延時(shí)以及外部擾動(dòng)，又滿足一定魯棒性能指標(biāo)的控制方法。

本文基于廣義分段仿射系統(tǒng)理論提出一種非脆弱魯棒濾波算法，針對(duì)粗瞄控制系統(tǒng)位移狀態(tài)切換存在延時(shí)且抗擾動(dòng)能力較弱，解決一類參數(shù)不確定性體現(xiàn)為范數(shù)有界形式的離散廣義分段仿射系統(tǒng)具有H∞性能指標(biāo)且漸近穩(wěn)定的彈性濾波器的設(shè)計(jì)問題，并將結(jié)果轉(zhuǎn)換為包含參變量的LMIs約束條件，得到欲尋求使閉環(huán)系統(tǒng)容許的反饋控制器增益。本文所考慮星地激光通訊粗瞄控制系統(tǒng)整體框架如圖1。

圖1 星地激光通訊粗瞄控制系統(tǒng)整體框架

1 數(shù)學(xué)建模

本文所考慮三軸轉(zhuǎn)臺(tái)的三個(gè)自由軸都采用傳統(tǒng)直流力矩電機(jī)驅(qū)動(dòng)，三軸之間關(guān)系如圖2。

圖2 方位軸與俯仰軸位置示意圖

其中：控制方位軸采用一個(gè)電機(jī)(101)，而俯仰軸采用兩個(gè)電機(jī)(102,103)，且俯仰軸的兩個(gè)電機(jī)繞組在接線時(shí)采用串聯(lián)方式，以保證其同步性。

本文對(duì)此類三軸轉(zhuǎn)臺(tái)的數(shù)學(xué)建模采用物理推導(dǎo)的方法進(jìn)行，被控對(duì)象為轉(zhuǎn)臺(tái)臺(tái)面軸，其負(fù)載部分的數(shù)學(xué)模型可以根據(jù)三軸轉(zhuǎn)臺(tái)力學(xué)原理推導(dǎo)，其動(dòng)力學(xué)方程如下式所示：

式中:Tm為電機(jī)的輸出轉(zhuǎn)矩，Tl為對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)臺(tái)面軸的干擾力矩，Jm為電機(jī)轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，Jl為負(fù)載的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，θ0為轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)角，Bm為電機(jī)轉(zhuǎn)子阻尼系數(shù)，Bl為負(fù)載的阻尼系數(shù)[14]。

通過推導(dǎo)，得到三個(gè)電機(jī)的輸出力矩，以此類推，還可以通過負(fù)載動(dòng)力學(xué)方程推導(dǎo)出電機(jī)自身內(nèi)部系統(tǒng)的電氣方程式，具體操作過程如下：

直流力矩電機(jī)作為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的元件，根據(jù)電氣原理將電機(jī)的模型歸納如下：

由此得到電機(jī)自身內(nèi)部系統(tǒng)的電氣方程式，其中各個(gè)物理量的具體含義如表1所示。

表1 各物理量的具體含義

接下來，采用Laplace變換對(duì)以上電機(jī)自身內(nèi)部系統(tǒng)電氣方程和電機(jī)輸出力矩進(jìn)行處理，可以得到如下平衡方程：

在此假設(shè)三軸轉(zhuǎn)臺(tái)方位軸所轉(zhuǎn)動(dòng)的方向角可以通過測(cè)量得到，將三軸轉(zhuǎn)臺(tái)所受臺(tái)面垂直方向的力矩T作為系統(tǒng)輸入，一段時(shí)間以后，對(duì)系統(tǒng)實(shí)施控制策略的最終目的在于保持方位軸轉(zhuǎn)動(dòng)角速度θ0恒定的前提下，使得：y=0(103位移),φ=0。

進(jìn)一步，通過反拉氏變換，將該類系統(tǒng)狀態(tài)空間描述歸納為一類參數(shù)不確定性體現(xiàn)為范數(shù)有界形式的時(shí)變參數(shù)連續(xù)時(shí)滯廣義分段仿射系統(tǒng)：

(1)

t∈[-h,0]

(2)

(3)

注：本文中只考慮矩陣Ai、Adi和bi帶有不確定項(xiàng)的情況。本文處理不確定項(xiàng)的方法同樣可以應(yīng)用于其他系統(tǒng)矩陣，例如Bi，i∈I。

其中：Wi1，Ei1，Ei2和Ei3是預(yù)先指定的定常實(shí)數(shù)矩陣，Δi(t):Z+→Rs1×s2是一個(gè)未知的實(shí)值時(shí)變矩陣函數(shù)，并且包含Lebesgue可測(cè)量元素，具有如下形式；

(4)

如果式(3)和式(4)同時(shí)成立，則稱系統(tǒng)具有容許的參數(shù)不確定性。

在子系統(tǒng)中，將多面體區(qū)域Ri過渡到區(qū)域Rj的集合用Ω表示，可以描述為：

Ω={(i,j)|y(t)∈Ri,y(t+τ(t))∈Rj,i,j∈I}

(5)

本文假設(shè)多面體區(qū)域Ri,i∈I具有形式：

Ri={y|αi≤y≤βi,y=Cix},i∈I

(6)

該多面體區(qū)域可以進(jìn)一步描述為一個(gè)橢圓集合，其中Fi=2Ci/(βi-αi)，fi=-(βi+αi)/(βi-αi)；

εi={x|||Fix+fi||≤1},i∈I

(7)

對(duì)于每個(gè)橢圓區(qū)域，可以得到；

(8)

2 預(yù)備知識(shí)

定義1[15]考慮參數(shù)不確定體現(xiàn)為范數(shù)有界形式的離散廣義分段仿射系統(tǒng)(1)，其中u(t)=0；

① 如果deg(det(zE-Ai))=rank(E),i∈I則稱式(1)所表示的系統(tǒng)是因果廣義系統(tǒng)。

② 如果式(1)所表示的廣義系統(tǒng)是容許的，則系統(tǒng)(1)必定正則、因果，而且是穩(wěn)定的。

③ 用ν1表示矩陣束(E,Ai)的一階向量，且非零向量ν1滿足Eν1=0，對(duì)于滿足Eνk=Aivk-1的非零特征向量νk(k≥2)，則稱為矩陣束(E,Ai)的k階特征向量。

引理1 對(duì)于適當(dāng)維數(shù)實(shí)矩陣M=MT、S、N和Δ(t)，若滿足ΔT(t)Δ(t)≤I，則當(dāng)且僅當(dāng)存在某個(gè)標(biāo)量ε>0時(shí)：M+SΔ(t)N+NTΔT(t)ST<0等價(jià)于M+εSST+ε-1NTN<0。

對(duì)于系統(tǒng)式(1)，考慮性能指標(biāo)：

(9)

本文中，考慮如下彈性狀態(tài)反饋控制器：

(Ki+ΔKi(t))x(t),Ki∈Rnu×nx,i∈I

(10)

有此狀態(tài)反饋控制器(9)和連續(xù)廣義分段仿射系統(tǒng)(1)構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)可以描述如下：

(11)

3 主要結(jié)果

ETPiE≥0

(12)

(13)

(14)

證明 在本文中，考慮如下連續(xù)時(shí)間廣義分段仿射李雅普諾夫函數(shù)：

(15)

根據(jù)連續(xù)時(shí)間時(shí)滯廣義分段仿射李雅普諾夫函數(shù)(15)的定義，為使閉環(huán)系統(tǒng)(11)是容許的，只需保證如下不等式成立，具體做法是對(duì)連續(xù)時(shí)間廣義分段仿射李雅普諾夫函數(shù)(15)式兩邊同時(shí)沿閉環(huán)系統(tǒng)(11)求導(dǎo)，得到如下不等式：

(16)

其中：

π=E(bi+Δbi)，式(16)可進(jìn)一步改寫為如下形式，其中(i,j)∈Ω：

(17)

從式(16)可以看到：

(18)

很容易得到如下不等式：

Ai(t)TPiAi(t)-ETPiE<0

(19)

假設(shè)矩陣束(E,Ai(t))是非因果的。用一階特征向量ν1和它的Hermitian矩陣ν1*分別左乘和右乘式(19)。用Eν2代替Ai(t)ν1，并注意到Eν1=0，得到：

ν2*ETPiEν2< 0

(20)

與條件(12)相矛盾。所以得到矩陣束(E,Ai(t))是因果的。顯然，證明因果性的同時(shí)也證明了矩陣束(E,Ai(t))的正則性。

進(jìn)一步將式(17)改寫為如下形式：

(21)

(22)

應(yīng)用引理2，可以得到如下不等式：

(23)

其中：

再次應(yīng)用引理2，可以得到如下不等式：

(24)

定理得證。

(25)

4 數(shù)值仿真

本文所考慮三軸轉(zhuǎn)臺(tái)的三個(gè)自由軸都采用傳統(tǒng)直流力矩電機(jī)驅(qū)動(dòng)。根據(jù)狀態(tài)空間描述法給出的系統(tǒng)式(1)，每個(gè)自由軸的電機(jī)對(duì)應(yīng)一個(gè)廣義分段子系統(tǒng)，則各自的參數(shù)矩陣賦值如下：

具有范數(shù)有界參數(shù)不確定性的離散廣義分段仿射系統(tǒng)區(qū)域信息式中各項(xiàng)的賦值情況如下：

其中：

α1=3,β1=10,α2=4,β2=9,α3=2,β3=8。

并且給定范數(shù)有界參數(shù)不確定性的離散廣義分段仿射系統(tǒng)擾動(dòng)信號(hào)具有形式：w(k)=10e-k。通過數(shù)值仿真得到帶跟蹤值與預(yù)先指定期望之間的關(guān)系曲線，由于引入非脆弱魯棒H∞濾波器而產(chǎn)生的閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)跟蹤值是基于本文所提定理而產(chǎn)生的，可以通過應(yīng)用Matlab 7.0軟件中的mincx求解器得到。

應(yīng)用本文所提三軸轉(zhuǎn)臺(tái)粗瞄控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法得到欲尋求的狀態(tài)反饋控制器增益矩陣：

接下來，魯棒H∞濾波器的待定系數(shù)矩陣如下：

此時(shí)，離散廣義分段仿射系統(tǒng)魯棒H∞性能指標(biāo)γ=21.425 4。

另一方面，本文所設(shè)計(jì)濾波誤差動(dòng)態(tài)跟蹤系統(tǒng)中預(yù)先指定期望值和被跟蹤值之間的關(guān)系曲線見圖3、圖4。

圖3 根據(jù)定理得到的濾波系統(tǒng)狀態(tài)X1誤差響應(yīng)曲線

圖4 根據(jù)定理得到的濾波系統(tǒng)狀態(tài)X2誤差響應(yīng)曲線

其中，虛線表示被跟蹤信號(hào)狀態(tài)響應(yīng)曲線，實(shí)線表示預(yù)先指定期望值。顯而易見，兩條曲線之間伴隨跟蹤較好。

針對(duì)傳統(tǒng)三軸轉(zhuǎn)臺(tái)粗瞄控制系統(tǒng)子系統(tǒng)相互切換存在系統(tǒng)輸出延時(shí)的情況，本文所提算法同樣給出了解決方案。應(yīng)用本文定理，基于以上給出的數(shù)值仿真結(jié)果，繪制系統(tǒng)輸出響應(yīng)曲線，如圖5所示。

其中，右邊的曲線(橫坐標(biāo)從0到0.045)表示實(shí)際系統(tǒng)輸出曲線，而左邊的曲線(橫坐標(biāo)從0.045到0.05)表示傳統(tǒng)控制方法作用下的系統(tǒng)輸出曲線。通過觀察可知，本文所提算法成功消除了傳統(tǒng)控制方法給整體系統(tǒng)帶來的系統(tǒng)延時(shí)。

根據(jù)仿真結(jié)果繪制實(shí)際三軸轉(zhuǎn)臺(tái)粗瞄控制系統(tǒng)中臺(tái)面方位角以及俯仰角的誤差跟蹤曲線，具體見圖6所示。

圖5 根據(jù)定理得到的濾波系統(tǒng)輸出響應(yīng)曲線

圖6 臺(tái)面角以及俯仰角牽引偏差曲線

圖6中上圖曲線代表臺(tái)面方位角牽引偏差曲線，下圖曲線代表俯仰角牽引偏差曲線。

本文所提控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法源于實(shí)際項(xiàng)目需求，為了驗(yàn)證本文所提控制方法在實(shí)際轉(zhuǎn)臺(tái)控制系統(tǒng)中的可行性以及卓越性，需要對(duì)硬件系統(tǒng)中主控板、故障保護(hù)電路裝置以及高速串行通訊板°三部分進(jìn)行分別配置。在實(shí)際測(cè)試時(shí)，現(xiàn)場(chǎng)所得實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)根據(jù)不同速率分組進(jìn)行記錄，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中分別給定速度為0.01(°)/s，定時(shí) 1 000 s取值，完成10°停頓的取值；指定速度取30 (°)/s記，間隔12 s，停頓12 s取值，完成360°間隔的讀數(shù)；迭代取值11次。

通過試驗(yàn)可知，本文所提三軸轉(zhuǎn)臺(tái)粗瞄控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法可以解決實(shí)際問題。

5 結(jié)論

本文針對(duì)現(xiàn)有星地激光通訊粗瞄控制系統(tǒng)，在未知外部干擾和測(cè)量噪聲存在的前提下，提出了一種基于線性矩陣不等式LMI算法的H-infinite非脆弱保性能控制方法，成功消除位移狀態(tài)切換時(shí)存在的內(nèi)部系統(tǒng)延時(shí)。通過采用廣義分段仿射Lyapunov函數(shù)、投影定理以及幾個(gè)處理線性矩陣不等式的基本引理，使得由所設(shè)計(jì)彈性控制器構(gòu)成的反饋系統(tǒng)同時(shí)滿足魯棒H-infinite性能指標(biāo)和二次型性能指標(biāo)。通過求解一組包含參變量的LMIs，得到保證此類連續(xù)廣義分段仿射系統(tǒng)具有H-infinite性能的反饋控制器增益以及濾波器待定矩陣，通過仿真證明所提方法有效。