一種改進的基于Jacobi橢圓函數的隨機平均法

徐文俊　鄭麗文　 馬品奎

摘要： 建立了改進的基于Jacobi橢圓函數的隨機平均法，用于預測有界噪聲激勵作用下硬彈簧和軟彈簧系統的隨機響應。通過引入基于Jacobi橢圓函數的變換，導出關于響應幅值和激勵與響應之間相位差的隨機微分方程，應用隨機平均原理，將響應幅值近似為一個Markov擴散過程，建立其平均的It隨機微分方程。響應幅值的穩態概率密度由相應的簡化FokkerPlanckKolmogorov方程解出;進而得到系統位移和速度的穩態概率密度。以DuffingVan der Pol 振子為例，研究了硬剛度及軟剛度情形下的隨機響應，通過與Monte Carlo數值模擬結果比較證實了此方法的可行性及精度。由于廣義調和函數是基于線性系統的精確解，Jacobi橢圓函數是基于非線性系統的精確解，研究結果表明基于Jacobi橢圓函數的隨機平均法得到的結果與Monte Carlo模擬方法更接近。因此與基于廣義調和函數的隨機平均相比，基于Jacobi橢圓函數更加精確，因為它是基于保守的非線性系統。

關鍵詞： 隨機振動; 隨機平均; 有界噪聲; 硬剛度; 軟剛度

中圖分類號： O324; O322? 文獻標志碼： A? 文章編號： 1004-4523（2019）03.0444.08

引 言

隨機平均法是非線性隨機系統響應分析的有效方法之一。該方法在保留系統本質非線性特性的同時降低了系統維數，應用平均原理后，系統的慢變過程近似為擴散Markov過程，通過求解相應的FokkerPlanckKolmogorov （FPK）方程得到響應概率密度，隨機平均技術基于Khasminskii[12]提出的一些定理，迄今的研究可歸為以下5類：標準隨機平均法[3]、能量包線隨機平均法[47]、擬Hamilton系統隨機平均法[811]、基于廣義諧和函數的隨機平均法[12]、基于橢圓函數的隨機平均法[13]。Stratonovich隨機平均法可以有效地求解寬帶激勵下的擬線性隨機系統問題。基于能量包絡的隨機平均，即擬Hamilton系統的隨機平均，該方法適用于寬帶噪聲激勵下的單自由度強非線性系統，也可適用于高斯白噪聲激勵下的多自由度擬Hamilton系統。基于廣義諧和函數的隨機平均法，可適用于寬帶、有界、諧波函數和高斯白噪聲聯合激勵下的強非線性系統。作者之前引入高斯白噪聲激勵下的基于Jacobi橢圓函數的隨機平均法，結果表明它比基于廣義調和函數的隨機平均具有更高的精度，由于橢圓余弦函數是保守Duffing系統的精確解，因此該方法具有更高精度。

在研究地震、海浪、風作用的時候往往要考慮隨機噪聲的影響，所以研究隨機激勵下非線性系統的問題也引起了很多學者的重視。由于有界噪聲在工程中應用非常廣泛，因此本文主要研究在有界噪聲激勵下基于Jacobi橢圓函數的隨機平均法。有學者研究了基于廣義調和函數Duffing系統硬剛度在有界噪聲激勵下的響應問題[14]。該方法所采用的廣義諧波變換是基于具有時間相關的幅度、初始相位和頻率的三角函數，它是保守線性系統的精確解，但是隨著立方剛度非線性的增加，這種解的精度將會變差。橢圓函數是非線性系統的精確解，考慮到基于橢圓函數的隨機平均的優點，將該方法擴展到有界噪聲情況是適當的，但該問題的解至今沒有詳細提出。Tien等提出的基于橢圓函數的隨機平均[13]是文[1516]的確定性系統的擴展。近幾年，Okabe，Rakaric等[1719]提出了改進的基于Jacobi橢圓函數確定平均法，將解表示為Jacobi橢圓函數，從而可用來研究各種彈簧特性的系統。得到了具有各種彈簧性質的強非線性確定性動力系統的高精度周期解，證明了該方法提供了更準確的解決方案[19]。本文把基于Jacobi橢圓函數的平均方法擴展到有界噪聲的情況。

本文推廣已有的基于Jacobi橢圓函數的隨機平均法，用于研究有界噪聲激勵下強非線性系統的隨機響應。將系統樣本響應用Jacobi橢圓正弦函數，余弦函數和delta函數來近似，其中頻率和模用幅值表示。通過引入新變量，即施加的激勵和系統響應之間的相位差，通過隨機平均原理導出二維擴散過程，然后求解相關的FPK方程得到振幅和相位差的平穩聯合概率密度函數。以硬剛度和軟剛度的Duffing系統為例，通過計算得到的數值結果說明了所提出方法的可行性。

3 結 論

本文主要研究了基于Jacobi橢圓函數的隨機平均法，并用其研究強非線性系統在有界噪聲激勵下的隨機響應問題。首先引入Jacobi橢圓函數的變換，包含Jacobi橢圓正弦函數、余弦函數及delta函數。導出外共振情形下關于響應幅值和激勵與響應的相位差的隨機微分方程，應用隨機平均原理可以得到一個二維的擴散過程。通過解相應的FPK方程，可以得到系統的穩態概率密度。將此方法應用于具有硬化和軟化剛度的有界噪聲激勵下的Duffing系統。該方法的結果與Monte Carlo模擬結果一致，說明該方法的有效性和準確性。此外，與基于廣義諧和函數的隨機平均法相比，該方法提供了更準確的結果。

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Abstract： A novel stochastic averaging technique is proposed to evaluate the random responses of nonlinear systems with cubic stiffness to bounded noises. By introducing a transformation based on the Jacobian elliptic functions， the stochastic differential equations with respect to the system amplitude and the phase difference between the imposed excitation and the system response are derived. Applying the stochastic averaging principle yields the associated It stochastic differential equations. Then， the stationary joint probability density of the amplitude and the phase difference is obtained by solving the corresponding FokkerPlanckKolmogorov equation. Numerical results for a representative example with hardening and softening stiffness are given to verify the feasibility and accuracy of the proposed procedure. Compared to the stochastic averaging method based on generalized harmonic functions， the present procedure is of higher accuracy as it is based on the exact solution of the associated conservative nonlinear system.

Key words： stochastic vibration; stochastic averaging; bounded noise; hardening stiffness; softening stiffness

作者簡介： 徐文俊（1981），男，碩士，副教授。電話：（0570）8068262; Email： xwjaaa@126.comZ ··y^