四邊形上一種線性雙有理映射構造方法

吳 夢，陳 沖，王旭輝，錢毅加

四邊形上一種線性雙有理映射構造方法

吳 夢，陳 沖，王旭輝，錢毅加

(合肥工業大學數學學院，安徽 合肥 230009)

作為一種特殊的有理映射，雙有理映射可應用于圖像變形、等幾何分析中區域參數化中。針對文獻[1]通過幾何方法構造四邊形上的雙有理映射，需要先確定權值再構造的問題，提出一種基于動直線的方法，可直接構造四邊形上的雙有理映射。此外，通過選擇不同的參數，可以得到四邊形上不同的雙有理映射。驗證可知，該方法滿足文獻[1]提出的權值比例關系，并通過實例說明了其有效性。

雙有理映射；動直線；權值

雙有理映射是一種特殊的有理映射，其映射與逆映射均為有理的。具體到二元有理映射情形，給定二元有理映射(,)，若其滿足：

雙有理映射具有形式簡單便于計算等特性，且在計算機圖形學和幾何設計中發揮著重要的作用[2]，同時也在圖像變形和圖像修復上有著廣泛的應用[3]，HUDSON[4]基于Cremona變換討論了二維有理映射的數學理論，但具體應用時需要考慮雙有理映射的構造問題，這也是十分新穎的問題。近年來，文獻[1]針對四邊形情形，通過事先對四邊形的頂點賦予適當的權值，提出了一種四邊形上的雙有理映射的構造方法，同時FLOATER[5]又從重心的角度出發，重新解釋了在四邊形上的雙有理映射，并且給出了其逆映射的一般形式。文獻[6]通過建立凸六面體的重心坐標，找到了滿足特殊條件的權值的構造方法，給出了在凸六面體上的三線性映射為雙有理映射。

動直線是由COX等[7]提出的，是一種解決曲面表示與計算的代數工具，在曲線曲面隱式化、坐標參數化以及奇點計算等方面有著廣泛的應用[8]。

本文從動直線出發，不需要事先通過對頂點賦權值來構造四邊形上的雙有理映射，從而直接給出四邊形上的一種雙有理映射。

1 四邊形上的雙有理映射

則定義在該四邊形上的雙線性映射為

一般情況下，該映射不是雙有理映射。然而，文獻[1]將頂點賦上適當的權值w，通過計算，發現了權值需要滿足的關系式，即當權值滿足比例關系