基于改進非線性趨近律的橋式起重機滑模控制

王 杰，強寶民，何禎鑫，杜文正

(火箭軍工程大學 導彈工程學院， 西安 710025)

橋式起重機作為一種典型的欠驅動設備，在工業生產中有廣泛的應用。所謂欠驅動系統，是指系統的獨立控制變量個數小于系統自由度個數的一類非線性系統，在生產實踐中很多設備都具有欠驅動的形式，由于去掉系統部分驅動器，增加了系統自由度，提高了系統靈活性，并且在節約能源、降低價格、減輕質量、增強系統適應性等方面都欠驅動系統都比全驅動系統優越，但系統中存在非直接控制的擺動自由度，給系統的穩定控制帶來了難度。因此對橋式起重機的防擺研究，不論對于控制理論的完善，還是實際工業生產都有極其重要的意義。

近年來，國內外學者針對橋式起重機系統的控制問題開展了很多研究工作，主要控制方法可以分為線性控制與非線性控制。H.Saeidi等采用神經網絡自整定方法調節PD參數[1]；M.Solihin通過遺傳優化方法設計穩定的魯棒PID控制器[2]；M.Adeli等設計了一種與遺傳算法相結合的并行分布式模糊LQR控制器[3]。Khatamianfar等利用模型預測控制方法對橋式起重機的防擺控制進行了廣泛的研究，提出了基于模型預測控制的約束欠驅動狀態(如擺角)的方案[4]；Chiu 等使用梯度下降法對遞歸神經網絡(RNN)進行參數在線調整[5]；方勇純團隊將能量法應用到橋式起重機的消擺控制中，并加入自適應控制，增強了系統的適應能力，取得了豐碩的研究成果[6-7]。

對于橋式起重機系統而言，現階段主要控制目標為快速且準確的臺車定位與負載擺動的抑制消除，由于系統自身的欠驅動特性，加之多數負載具有雙擺效應[8]，甚至發生吊繩方向的軸向扭轉[9]，因此系統具有極強的不穩定性，同時，在生產中極易出現短時強風[10]等外界干擾，如不加有效控制，收斂速度很慢，嚴重影響生產效率。

滑模控制具有對參數攝動和外界干擾不敏感的特點，被越來越多的研究人員用來處理橋式起重機系統的控制問題。根據文獻[11]提出的橋式起重機分級滑模控制方法，針對本文的研究問題，將系統分成兩個二階子系統，先就各子系統設計第一層滑動面，再定義第二層滑動面，依據第二層滑動面的穩定條件得出控制輸入。通過使用分層滑模控制，實現了系統多目標控制到單目標控制的轉換，簡化了系統的控制設計。之后針對等速趨近律引起的系統高頻抖振問題，提出了改進的非線性趨近律，實現了快速趨近，削減抖振。

1 橋式起重機系統數學模型

對于常見的二維定繩長橋式起重機示意圖如圖1，M，m分別為臺車和負載的質量，l為吊繩質量,u(t)為控制輸入，θ為負載偏角，fr為軌道摩擦力，采用歐拉-拉格朗日方法建模為[12]：

(1)

(2)

方程式(1)、式(2)可改寫為欠驅動系統的一般形式：

(3)

其中，x=[x1,x2,x3,x4]T為系統狀態向量，分別代表臺車速度、加速度、負載偏角以及角速度，u(t)為控制輸入，f1,f2,g1,g2為狀態向量的非線性函數，表示為：

(4)

圖1 二維橋式起重機示意圖

2 基于控制律的分層滑模控制器設計

考慮式(3)所示欠驅動系統的一般形式，X=[x1,x2,x3,x4]T為系統狀態變量，x1,x2是臺車的速度、加速度信息，x3,x4是負載的擺角以及角速度信息，因此可采用兩層滑模面保證系統的穩定性。將整個欠驅動系統的狀態定義為[x1,x2]T位移子系統和[x3,x4]T擺角子系統，針對每個子系統所設計的子滑模面滿足李雅普諾夫穩定性理論因此子滑模面是漸進穩定的，之后定義的總滑模面是子滑模面的線性組合，因此能夠保證子滑模面快速收斂[13-14]，進而實現整個欠驅動橋式起重機系統的穩定與快速收斂。首先定義子系統滑模面：

(5)

其中c1,c2為嚴格正實數。

由等效控制原理求得等效控制量：

(6)

為了保證包含兩個子系統的總系統穩定，需要設計第二層滑模面：

S=α2s2-α1s1

(7)

其中，α1,α2為嚴格正實數。

為保證子系統能夠到達第一層滑模面，設計系統總輸入為：

u=ueq1+ueq2+usw

(8)

為了獲得整個系統的控制輸入量，需要確定切換控制部分。對基于分層滑模控制方法的變結構控制器而言，系統第二級滑動面的穩定性保證了變結構控制系統的整體穩定性，因此切換控制量usw的選取應使滑模到達條件成立：

(9)

采用等速趨近律求解滑模控制器的切換控制量[15]，即

(10)

其中，ε為嚴格正實數。

由式(7)、式(10)求得滑模控制器切換控制量：

(11)

進而求得基于等速趨近律的分層滑模控制器總輸入：

u=ueq1+ueq2+usw=

(12)

由式(12)可知，整個起重機系統的控制輸入量中含有符號函數這一不連續項，該不連續項的存在將導致變結構系統出現抖振現象，且系統的抖振程度取決于系統參數的大小。為獲得較短的穩定時間和魯棒性，需要選擇較大的控制器增益，這會導致系統的大幅高頻抖振，為解決系統抖振與控制效益的矛盾，本文在文獻[16]中的基礎上提出了式(13)表示的非線性趨近律：

(13)

其中：k,ε為正實數；p為介于[0,1]區間的正實數；γ為正實數；χ為正整數。由式(13)求得：

(14)

式(14)表明，滑模到達條件式(9)成立，因此系統的第二層滑動面S′是穩定的，從而確保整個控制系統處于穩定可控狀態。此時系統控制輸入為：

(15)

3 控制系統快速性分析

根據式(10)和式(13)所示等速趨近規律和非線性趨近規律，有趨近速度：

(16)

由式(16)得，對非線性控制規律而言，當系統狀態遠離平衡點時，即S′?1，由式(13)得此時非線性趨近律中，ε/Q(S′)無限趨近于ε/p，而ε/p>ε，從而趨近過程中，ε/Q(S′)>ε使得系統狀態的穩定趨近速度加快，與此同時，當系統狀態接近穩定時，即S′→0，此時的系統趨近速度接近于ε，因此在系統的趨近過程中，趨近速度由ε/Q(S)逐步下降到ε，使得非線性趨近律項滿足ε<ε/Q(S)<ε/p，進而抑制了系統抖振，同時也使得控制器能夠動態地適應S′的變化。對等速趨近律而言，趨近速度穩定在ε，趨近速度無法進行動態調整，從而會引起大幅高頻抖振。

收斂性定理:針對相同的控制系統，非線性趨近律具有更短的到達時間。

證明：由非線性趨近律式(13)，并設到達時間為t1，可得：

(17)

由于Q(S)>0，且S(t1)為零，將式(17)化簡并在[0,t1]進行積分，可得：

(18)

對等速趨近律而言，S(t2)為零，同理可得：

t2ε=|S(0)|

(19)

由式(18)、式(19)得：

(20)

因此非線性趨近律相比等速趨近律，具有更短的趨近時間，因此能夠達到更好的控制效果。

4 穩定性分析

穩定性定理一:對于二維定繩長橋式起重機系統，若采用式(5)所示設計子系統滑模面，式(7)所示總滑模面，并采用式(15)所示總滑模控制量，則整個橋式起重機系統的滑模面 是漸進穩定的。

證明：構造Lyapunov能量函數

(21)

(22)

由之前對系統的快速性分析可知：

ε<ε/Q(S)<ε/p

(23)

因此，由式(22)可進一步得

(24)

對式(24)進行積分運算，進一步有

(25)

進而

(26)

V(0)<∝

(27)

穩定性定理二:對于二維定繩長橋式起重機系統，若采用式(5)所示設計子系統滑模面，式(7)所示總滑模面，并采用式(15)所示總滑模控制量，則各子滑模面也漸進穩定。

證明： 由式(27)得到：

(28)

即總滑模面為絕對可積，構造兩個滑模面：

(29)

(30)

進而有：

(31)

由式(27)、式(30)可知

(32)

從而得出：

(33)

5 仿真分析

為了進一步分析本文橋式起重機控制方法的有效性與可行性，采用Matlab/Simulink進行數值仿真試驗驗證。分別針對等速趨近律、改進趨近率進行系統的穩定性分析論證；針對兩種趨近律分別分析滑模面的收斂情況；分別針對控制輸入分析系統抖振情況，最后對系統對干擾的魯棒性進行試驗分析，檢驗控制方法的穩定性、收斂速度以及抖振抑制性能在實際工況中的應用效果。

仿真試驗期望位置設置為2 m，橋式起重機系統參數分別設置為：臺車質量m=9.5 kg，負載質量M=10 kg，繩長l=1 m，參數c1=0.55，c2=4.9，α1=2.15，α2=2.85，ε=3，k=0.55，p=0.1，χ=1。

采用普通等速趨近律的系統控制響應曲線如圖2所示，采用改進的非線性趨近律的系統控制響應曲線如圖3所示，兩種趨近律的子滑模面與總滑模面函數曲線如圖4所示。

圖2 基于等速趨近律控制響應曲線

圖3 基于非線性趨近律控制響應曲線

圖4 分層滑模控制滑模面函數曲線

通過仿真，由圖1、圖2可以看出，改進非線性趨近律的控制品質較等速趨近律基本相同，等速趨近律能夠在6 s內完成系統收斂，非線性趨近律能夠在4 s左右完成系統收斂，但相比之下，改進趨近率能夠較等速趨近律大幅減小系統切換抖振。由圖3看出，兩種控制方法的滑模面都能夠在有限時間內趨近于零，因而驗證了控制方法的穩定性。

對于橋式起重機復雜的工況條件，本研究采用高斯噪聲對系統魯棒性進行驗證，在8 s處定義干擾為：

(33)

仿真試驗取噪聲信號幅值A=2，參數ci=8，bi=0.3，得到系統控制輸入和狀態響應曲線如圖5所示，滑模面函數曲線如圖6所示。

圖5 基于非線性趨近律干擾下系統響應曲線

圖6 干擾下分層滑模控制滑模面函數曲線

從仿真結果可以看出，基于改進趨近率的滑模控制方法對外界干擾和系統不確定性具有很強好的控制品質，能夠快速消除外界干擾和系統不確定性的影響，受擾后能夠快速進入滑模狀態，因此具有較強的魯棒性能。

6 結論

針對欠驅動橋式起重機系統的控制問題，分析了現有分層滑模控制方法存在的高頻抖振問題，提出了改進趨近規律的分層滑模控制方法。該方法在滿足橋式起重機系統快速消擺和準確定位控制目的的同時，當系統進入滑模態后，對外界干擾也具有極強的抗擾性能。通過仿真實驗分析，進一步驗證了控制方法的有效性和可行性。