利用點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的深度域地震記錄合成方法

張金陵 徐美茹 葉月明 王兆旗 王宗仁

(中國石油天然氣股份有限公司杭州地質(zhì)研究院，浙江杭州 310023)

0 引言

疊前深度偏移比疊前時間偏移在成像位置的準(zhǔn)確性和成像振幅的保真性方面具有明顯優(yōu)勢。尤其在地層構(gòu)造復(fù)雜和速度橫向變化劇烈的區(qū)域，此類區(qū)域通常是有利的油氣聚集場所，如復(fù)雜斷塊、巖丘、生物礁等。伴隨疊前深度偏移算法和計算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，疊前深度域成像(如克希霍夫、波束、單程波和逆時偏移等)逐漸成為目前主流的成像技術(shù)。探索深度域的疊后正演方法，有助于開展層位標(biāo)定和儲層預(yù)測。現(xiàn)今業(yè)內(nèi)發(fā)展了四種深度域合成記錄方法： ①在時域用Robinson褶積模型合成地震記錄，然后時深轉(zhuǎn)換到深度域[1-3]；②將地層速度視為勻速，因勻速介質(zhì)中子波保持不變，可直接應(yīng)用褶積模型制作深度域合成記錄[4-8]；③變換域速度函數(shù)制作深度域合成地震記錄，此方法需先建立轉(zhuǎn)換函數(shù)，通過變換使速度在“新深度域”中為常數(shù)、“子波”具有時不變性，然后應(yīng)用褶積模型制作合成記錄[9-11]；④建立深度域的速度模型，波動方程正演獲得時域合成記錄，再通過深度域偏移得到深度域的合成記錄[12]。

上述方法都有各自的優(yōu)缺點(diǎn)。方法①在時間域完成合成記錄，符合Robinson褶積模型，可作為地質(zhì)層位標(biāo)定的方法。但作為反演中正問題的解法，會使算法變得復(fù)雜、運(yùn)算量增大，且屬于間接方法。方法②將地層速度視為常速，在較小的局部范圍內(nèi)易滿足條件，但與實(shí)際地下地質(zhì)情況很難相符。方法③將真實(shí)深度域速度轉(zhuǎn)換到無明確物理意義的變換域(類似于時域)中，以滿足Robinson褶積模型的假設(shè)條件，但該方法物理意義不明確，且不是在真實(shí)的深度域中進(jìn)行。方法④類似于方法①，不同之處在于正演方法，但對于一維井旁合成記錄這兩種方法本質(zhì)是相同的，都屬于在時間域制作、再變換到深度域的合成記錄制作方式。

針對上述方法的局限，本文提出一種基于點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)非穩(wěn)態(tài)褶積的深度域合成記錄制作方法，它直接在深度域?qū)崿F(xiàn)，可用于深度域?qū)游粯?biāo)定。

1 時間域褶積模型

時域地震記錄的褶積模型是Robinson于1975年提出的，其表達(dá)式為

(1)

式中：w(t)是子波；r(t)是反射系數(shù)。

該方法基于假設(shè)：地震子波是時不變的，且是單一相位(零相位、最小或最大相位)的，地下反射系數(shù)是具有白噪譜的隨機(jī)序列。若地層是彈性介質(zhì)，則子波不隨時間變化，滿足褶積條件。時域子波與反射系數(shù)褶積運(yùn)算進(jìn)行細(xì)化，其本質(zhì)是反轉(zhuǎn)的子波與反射系數(shù)相乘后再相加的運(yùn)算(圖1)。

圖1 時間域褶積原理圖[13]

2 點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)

傳統(tǒng)的偏移和反演方法中，地震記錄d(疊前)通常被看作是線性正演算子M與反射系數(shù)序列r的矩陣相乘。算子可以是離散或連續(xù)的積分運(yùn)算。最小二乘反演問題通常表述為

r=(M*M)-1M*d

(2)

式中M*是正演算子的共軛算子，也為偏移算子。

介質(zhì)模型的反射系數(shù)序列r與偏移成像s=M*d通過下式相關(guān)聯(lián)

s=Hr

(3)

式中海森算子H=M*M。

海森算子通過對繞射點(diǎn)反偏移，然后再進(jìn)行偏移得到。反偏移算子取決于偏移算子。繞射點(diǎn)的偏移和反偏移響應(yīng)通常被稱為點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)[14-15](Point Spread Function，PSF)。從式(3)可見，深度域成像結(jié)果是點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)與反射系數(shù)的褶積，它是一種非穩(wěn)態(tài)運(yùn)算。

3 一維情況下求取空間點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)

一維情況下點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的波長與子波周期滿足

(4)

式中：T是時間子波的周期；λ是空間點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的波長；v(h)是點(diǎn)h處的速度。

給定時域子波和層速度，則可根據(jù)式(4)點(diǎn)對點(diǎn)求得深度域?qū)?yīng)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)。該式表征時域子波與空間的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的關(guān)系。在常速介質(zhì)中對應(yīng)的頻率與波數(shù)域的關(guān)系如下

(5)

式中：f是子波主頻；k是波數(shù)；v是速度。

選擇時域子波為20Hz 雷克子波，若地層為2000m/s的均勻速度，則可得對應(yīng)的時域子波(圖2a)和深度域點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)(圖2b)；若地層速度是線性變化(圖3a)，則其深度域點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)如圖3b所示。

從時域的振動子波與深度域的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系可見，深度域點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的形態(tài)、頻率和相位都隨速度的變化而變化。時間t對應(yīng)的空間位置h的振幅未發(fā)生變化。

圖2 時域子波(a)及常速介質(zhì)中的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)(b)

圖3 線性速度模型(a)及其深度域點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)(b)

4 點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)非穩(wěn)態(tài)褶積深度域合成記錄制作

時域褶積模型的本質(zhì)是時間位置的子波與對應(yīng)位置的地層反射系數(shù)相乘后再相加。在深度域地層中對應(yīng)于某一時間位置的深度位置點(diǎn)的反射系數(shù)保持不變，點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)是隨速度變化的函數(shù)。

深度域的成像是點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)與反射系數(shù)的褶積，是一種非穩(wěn)態(tài)的運(yùn)算過程。深度域合成記錄可表述為

(6)

式中wi是深度di處的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)。在不同的空間位置，點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)不同。合成記錄計算過程為： 在深度域求取地層每點(diǎn)的反射系數(shù)，并在各個反射系數(shù)點(diǎn)求取對應(yīng)的深度域點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)及其與反射系數(shù)的積，將求取的積相加即可得到深度域的合成記錄。具體流程(圖4)如下：

(1)利用聲波和密度測井?dāng)?shù)據(jù)計算深度域的反射系數(shù)序列[16]；

(2)從疊前深度偏移層速度提取井旁速度道[17]；

(3)從疊前深度偏移轉(zhuǎn)時域數(shù)據(jù)體，采用文獻(xiàn)[18]中的方法提取井旁道時域子波；

(4)以兩倍的原始采樣率對提取的時域子波做重采樣[19]，顯然樣點(diǎn)數(shù)變?yōu)樵紩r域子波的一半；

(5)利用提取的測井速度的低頻分量將重采樣后的時域子波利用式(4)計算得到對應(yīng)位置的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)；

(6)將每個深度點(diǎn)的反射系數(shù)與計算得到的對應(yīng)點(diǎn)的深度點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)相乘，然后求和，完成深度域合成地震記錄的制作。

圖4 深度域合成記錄制作流程

5 理論模型測試

為測試點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)非穩(wěn)態(tài)褶積深度域合成記錄，建立一個一維的6層速度模型(圖5a)。選取20Hz的雷克子波作為時域子波。將速度模型轉(zhuǎn)換到時間域，采用Rbinson褶積模型生成時域的合成地震記錄(圖5b)。以平均速度將時域子波轉(zhuǎn)換為深度域的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)，用Rbinson褶積模型生成深度域的合成地震記錄(圖5c)。為了在同一種域中對比時域褶積合成記錄與深度域褶積合成記錄，將時域合成記錄用速度轉(zhuǎn)換到深度域。圖5d展示了時域合成記錄轉(zhuǎn)換到深度域后與深度域褶積合成記錄對比，可見深度域直接褶積合成記錄子波形態(tài)未發(fā)生變化，與時間域轉(zhuǎn)深度域的合成記錄具有較大差異。

按照本文提出的方法將時域子波以層速度在不同位置求取點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)，并與深度域反射系數(shù)進(jìn)行非穩(wěn)態(tài)褶積，得到深度域合成記錄。圖5e 是時間域轉(zhuǎn)深度域的合成記錄與深度域非穩(wěn)態(tài)褶積合成記錄的對比，可見非穩(wěn)態(tài)褶積合成地震記錄與時間域轉(zhuǎn)深度域合成記錄完全吻合(在一維情況下，時域合成地震記錄轉(zhuǎn)換到深度域等價于偏移到深度域，可作為深度域合成記錄的判斷標(biāo)準(zhǔn))。

圖5 理論模型測試及其效果

6 實(shí)際數(shù)據(jù)應(yīng)用

以西部X油田的一口測井曲線合成記錄對地震數(shù)據(jù)的標(biāo)定為實(shí)例，驗(yàn)證本文方法在實(shí)際數(shù)據(jù)中的應(yīng)用效果。在井旁地震數(shù)據(jù)中提取時域地震子波(圖6a)，從疊前深度偏移層速度中提取井旁的速度，從聲波測井速度(圖7a)計算反射系數(shù)序列(圖7b)，將時域子波(圖6a)轉(zhuǎn)換為點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)序列(圖6b)，然后計算得到深度域的合成地震記錄。

為了說明深度域合成記錄方法的準(zhǔn)確性，將時域合成記錄轉(zhuǎn)換到深度域并與深度域合成記錄進(jìn)行比較(圖8)，得到兩者相關(guān)系數(shù)高達(dá)0.98。從圖8可見，深度域合成記錄與時間域合成記錄的相位一致，僅振幅在極少部位呈現(xiàn)較小偏差。分析后認(rèn)為：實(shí)際數(shù)據(jù)的深度域合成記錄與時域合成記錄未能完全吻合的原因是深度域合成記錄過程中采用的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)精確。本文采用的子波是無畸變對稱子波，即假設(shè)在子波的波長范圍內(nèi)速度是常數(shù)，而實(shí)際地層速度在一個子波波長范圍內(nèi)會發(fā)生變化。圖9比較了深度域合成地震記錄與時域合成記錄對實(shí)際地震數(shù)據(jù)標(biāo)定的準(zhǔn)確程度。時域合成記錄標(biāo)定后與實(shí)際數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為0.853，深度域合成記錄與實(shí)際數(shù)據(jù)標(biāo)定后的相關(guān)系數(shù)是0.845。從相關(guān)系數(shù)和視覺分辨都可認(rèn)為，深度域合成記錄方法與時域褶積合成記錄方法具有極相似的標(biāo)定效果。

圖6 提取的時域子波(a)及深度分別為2000m(b)和4000m(c)處的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)

圖7 聲波測井速度(a)和深度域的反射系數(shù)序列(b)

圖8 深度域合成記錄與時域合成記錄轉(zhuǎn)深度域后的對比

圖9 深度域標(biāo)定(a)和時間域標(biāo)定(b)

7 結(jié)束語

深度域地震成像可表述為點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)與反射系數(shù)的非穩(wěn)態(tài)褶積。在一維情況下，時間域子波與深度域點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)具有明確的對應(yīng)關(guān)系。通過在時間域求取子波，利用深度域偏移層速度轉(zhuǎn)換得到深度域隨空間位置變化的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)，形成點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)體，再利用點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)體與深度域反射系數(shù)序列進(jìn)行非穩(wěn)態(tài)褶積運(yùn)算得到深度域合成地震記錄。理論模型和實(shí)際數(shù)據(jù)測試表明：該方法具有很高的精度，能夠解決深度域合成記錄制作問題。