2RPU-UPR并聯機構在天線支撐中的應用

許允斗 仝少帥 王 貝 鞠忠金 姚建濤 趙永生

1.燕山大學河北省并聯機器人與機電系統實驗室,秦皇島,0660042.燕山大學先進鍛壓成型技術與科學教育部重點實驗室,秦皇島,066004

0 引言

天線作為任何無線電通信系統都離不開的重要前端器件，在汽車、飛機、船舶及航空航天等領域發揮著巨大的作用。天線支撐機構作為天線的支撐和定向機構，對天線的性能具有重要的影響，天線指向的精度完全由天線支撐機構決定，所以天線支撐機構的高剛度高精度設計顯得尤為重要。

目前采用的天線支撐機構多為串聯形式，存在累計誤差大、承載能力低和穩定性較差等問題。如俯仰-方位型天線支撐機構不能在天線頂端連續跟蹤[1]；X-Y型天線支撐機構結構不夠緊湊，空間體積比較大[2]；極軸型天線支撐機構結構較復雜，存在受力不佳的問題[3]。并聯機構具有串聯機構不具備的優勢，如承載能力大等[4]，已有較多成功應用，如3-DOF Delta并聯機器人[5]、飛行模擬器[6]、望遠鏡反射面調整機構[7]與并聯機床[8]等。

目前雖然已有少量并聯式天線支撐機構，如基于Stewart型六自由度并聯機構的天線支撐系統[9]，但是存在工作空間小、不能實現大范圍調姿、結構復雜等問題；基于3RSR型三自由度并聯機構的天線支撐系統雖然能實現較大范圍的調姿，但是其承載能力有限[10]。因此，亟需能夠實現大范圍調姿且承載能力高的并聯機構作為天線支撐機構。本文選擇一種兩轉一移(2R1T)少自由度并聯機構2RPU-UPR[11-12]作為天線支撐機構，對其進行了尺度優化、結構設計及實驗。

1 并聯式天線支撐機構2RPU-UPR分析

1.1 運動學分析

本文中，U、P、S和R分別表示虎克鉸、移動副、球副和轉動副。2R1T并聯機構2RPU-UPR如圖1所示，2RPU-UPR并聯機構是目前2R1T并聯機構中運動副數目最少的，易于實現高結構剛度的設計；結構上具有很好的對稱性，受力各向同性較好，在各個方向均可以承受較大載荷；機構兩個轉動自由度均具有連續軸線，可得到運動學正反解的解析表達式[12]，軌跡規劃與運動控制算法簡單易實現。

圖1 2R1T并聯機構2RPU-UPRFig.1 2R1T parallel mechanism 2RPU-UPR

為方便分析，在并聯支撐機構簡圖中建立定坐標系A：OXYZ和動坐標系B：oxyz，X軸由點a指向A2，Z軸由點a指向點b，x軸由點b指向B2，z軸沿ab方向垂直向上，如圖1所示。由文獻[12]可知該機構具有3個自由度，分別為繞x軸和y軸的2個轉動以及沿P3副軸線的移動，且2個轉動自由度軸線始終保持不變，為連續轉動[13-15]。

采用矢量法求解不同載荷下機構各個運動副對動平臺的約束力及驅動支鏈的驅動力。支撐機構初始位型機構簡圖見圖2a，其中，點a、點b分別為A1A2、B1B2的中點，線段ab、B1b、B3b、A1a的長度分別為H、r1、r2、r4，A3B3沿Y軸的投影大小為r3，A3B3沿Z軸的投影大小為h。動系B相對于定系A可經過以下3次順序變換得到：①繞定平臺Y軸轉動α角；②沿Z軸平移λ；③繞動平臺x軸轉動β角。變換后機構位形如圖2b所示。

圖2 并聯支撐機構旋轉前后簡圖Fig.2 Schematic diagram of the parallel support mechanism before and after rotation

(1)

其中，c(·)表示cos(·)，s(·)表示sin(·)。

1.2 受力分析

本文忽略動平臺和3條分支的重力及運動副之間的摩擦力。首先建立動平臺靜力學平衡方程。動平臺與第三支鏈通過R副連接，與另兩個支鏈通過U副連接。動平臺受力情況如圖3所示。

圖3 支撐機構動平臺受力示意圖Fig.3 Schematic diagram of the force of the moving platform on the supporting platform

通過受力分析，可對動平臺建立平衡方程，對動平臺上點b取矩，可得到動平臺的力矩平衡方程。整理可得3個標量表達方程：

(2)

式中，(ai,bi,ci)T為Bi點在定坐標系A下的位置矢量；(AFBix,AFBiy,AFBiz)T為Bi點處運動副施加給動平臺的作用力；AMBi為Bi點處運動副施加給動平臺的作用力矩，后同；(Fx,Fy,Fz)T、(Mx,My,Mz)T分別為施加給動平臺的外部作用力和力矩。

對于支鏈上部建立靜力平衡方程。第一支鏈、第二支鏈和第三支鏈的連桿上部和連桿下部均通過P副連接，支撐機構支鏈連桿上部受力示意圖見圖4。

圖4 支撐機構第i條支鏈上部受力示意圖Fig.4 Schematic diagram of the upper part of the No.i branch

對于支撐機構第1支鏈連桿上部，力平衡方程沿分支軸線方向表達式，可得1個標量方程：

cosφFB1x-sinφFB1z+τ1=0

(3)

對于支撐機構第2支鏈連桿上部，力平衡方程沿分支軸線方向表達式，可得1個標量方程：

cosφFB2x+sinφFB2z-τ2=0

(4)

對于支撐機構第3支鏈連桿上部，力平衡方程沿分支軸線方向表達式，可得1個標量方程：

FB3z-τ3=0

(5)

式中，τi為第i個驅動分支桿的驅動力，i=1,2,3。

由于此類機構存在過約束，其受力分析為靜不定問題，故需建立補充方程進行求解。通過分析發現，對于支鏈上部，力矩M′Biz作用時，支鏈連桿上部不會出現扭轉變形，因此，變形協調方程為

M′Biz=0

(6)

式中，M′Biz為動平臺施加給Bi點處運動副的反作用力矩，i=1,2,3,即M′Biz=-MBiz。

同理，可對3條支鏈建立靜力平衡方程，求得各運動副約束力方程。根據上述建立的靜力平衡方程可求解運動副的約束力、約束力偶以及各個支鏈的驅動力。在ADAMS仿真軟件中建立其仿真模型，為了保持與理論模型盡量一致，設重力加速度為零，且不施加關節摩擦力，如圖5所示。

圖5 仿真模型Fig.5 Simulation model

在ADAMS仿真軟件中進行靜力學分析，機構在外靜力載荷的作用下使機構保持一定位姿時，對各個支鏈的關節約束與驅動力大小進行測算。在動平臺運動坐標系B：bxyz下給動平臺施加六維外載荷F=(5,4,3)TN、M=(3,4,5)TN·mm，進行仿真分析，測得各個支鏈的驅動力和運動副約束力大小仿真值。在同樣的外載荷作用下，采用上文理論分析結果也可得到各個支鏈的驅動力和運動副約束力大小，見表1。

表1 約束力與驅動力仿真結果對比

Tab.1Comparisonofsimulationresults

名稱變量理論值(kg)仿真值(kg)誤差(%)約束力FB153.937 852.449 72.8FB272.697 367.493 77.2FB373.559 773.555 70.005驅動力Fm153.578 152.449 72.1Fm210.515 315.395 77.9Fm373.543 573.543 50

對表1中數據進行分析，可得誤差在10%以內，基本上驗證了上面靜力學分析的正確性。分析產生誤差的原因可能是結構存在過約束，建立的變形協調方程中涉及連桿的剛度模型，而理論的剛度模型與仿真模型不可避免地存在偏差[16]。

2 尺度優化與結構設計

2.1 天線對支撐機構的技術要求

天線對支撐機構的具體技術要求見表2，其中對橫搖和縱搖兩個方向的擺動角度要求特別大，分別為±90°，這對并聯機構提出了極高的要求。根據技術要求，對天線支撐機構進行尺度優化設計[17-18]。

表2 天線支撐機構的技術要求

2.2 尺度優化

天線支撐機構主要承受天線自身的重力以及運動過程產生的慣性載荷，因此，機構的承載能力將作為一項優化指標。定義最大承載能力指標：在同等外載作用下，3個驅動分支中的最大驅動力最小，其數學表達式為

FM=min[max(τi)]

(7)

為了滿足橫搖、縱搖的大范圍擺動角度，驅動分支運動范圍也是一項重要指標。定義驅動分支運動范圍指標為：支撐機構動平臺轉動至空間極限位置時3個驅動分支的最大運動范圍最小，其表達式為

SR=min[max(Δli)]

(8)

式中，Δli為第i個驅動分支桿的運動變化量，i=1,2,3。

當機構繞定系Y軸轉動90°后,動平臺的高度應大于定平臺的高度，同時基于實際結構設計的要求，3個驅動桿的行程與其初始桿長需滿足一定比例限制。由此建立以下約束函數：

(9)

式中，lib為3個驅動分支轉動至空間極限位置時的最大運動變化量；lic為3個分支的初始桿長，i=1，2，3。

定義機構的結構尺寸H、h、r1、r2、r3、r4為6個設計變量，為了簡化優化過程，將動平臺尺寸固定，令r1=125 mm及r2=150 mm，并設定相關參數變化范圍，見表3。

表3 設計變量變化范圍

首先基于最大承載能力指標對H、h、r3和r4四個參數進行優化，得到各參數對指標的影響規律，如圖6所示。由此得到一組優化結果，見表4。

圖6 單個變量參數對驅動分支驅動力指標的影響Fig.6 The influence of single variable parameters on driving force index of driving branch

mm

基于驅動分支運動范圍指標，對各個設計變量進行優化，得到的參數對指標影響規律及優化結果見圖7和表5。

圖7 單個變量參數對運動范圍指標的影響Fig.7 The effect of a single variable parameteron the range of motion indicators

Tab.5 Optimization result of movement range of driving branchmm

綜合考慮兩個指標的優化結果，發現以下結論：設計變量h基于兩個目標的優化結果一致，故取350 mm；設計變量r3對兩個目標影響不顯著，故統一取540 mm；設計變量r4和H對兩個目標的影響較為顯著，且影響趨勢相反，故采用統一目標函數法建立兩個指標的綜合評價函數，確定其最優解。

首先對設計變量H構建統一的目標函數。采用理想點法構造統一的目標函數，使得函數求得較好的非劣解，具體形式為

(10)

權因子ωi通過容限法確定，且滿足歸一性和非負性，可得ω1=0.508 5，ω2=0.491 5。對量綱一處理后的曲線fi(x)使用MATLAB中的擬合工具箱進行擬合，可得

(11)

由此，可分別構建評價函數、約束函數：

minf(x)=(ω1(y1+1.7484)2+ω2(y2+1.3866)2)

(12)

700 mm≤x≤800 mm

(13)

利用MATLAB可得繪制的圖像,如圖8a所示，并采用黃金分割法可求得最優值點為(738.03，2.55)mm。設計變量H的取值完全確定，取740 mm。

對設計變量r4采用以上方法建立統一的目標函數，得到評價函數的圖像,如圖8b所示，最優值點為(46.70,1.02)mm，設計變量r4完全確定，取40 mm。天線并聯支撐機構的優化結果見表6。

圖8 統一目標函數的圖像及最小值點Fig.8 Unify the image of the objective function and the minimum point

Tab.6 The final values of four design variablesmm

優化前后驅動分支驅動力和驅動分支運動范圍指標對比如圖9所示，可以看出優化后機構驅動分支驅動力和驅動分支運動范圍指標性能均有較大改善。

圖9 優化前后對比Fig.9 Comparison before and after optimization

3 樣機結構設計與實驗

3.1 樣機結構設計

機構的3條直線驅動支鏈中，2條RPU支鏈結構相同且為對稱布置，與動平臺相連的運動副為2個U副和1個R副，與定平臺相連的運動副為2個R副和1個U副。

定平臺和動平臺鉸鏈連接點的運動副為3個U副和3個R副，根據機構R副轉動范圍的要求，機構的3個R副的設計如圖10所示。

虎克鉸在設計時，考慮到支撐機構要求U副轉動范圍較大，某些方向上要求能夠達到旋轉±90°，由此將U副的轉軸中心置于U副外部，最終虎克鉸結構如圖11所示。可以看出該轉軸中心位于U副底座的外部，這種U副的設計大大增加了U副工作空間范圍，使得機構在軸2的方向上能夠達到旋轉±90°以上的要求。

圖10 轉動副結構Fig.10 Structure of R pair

圖11 虎克鉸結構Fig.11 Structure of U pair

兩條RPU支鏈和一個UPR支鏈均采用P副作為驅動。由于主要是為了驗證機構能夠達到預期的工作空間要求，故從簡便角度出發，直線驅動單元采用手動方式來進行設計，實驗時可以通過直接擰滾花手輪來實現天線支撐機構的直線驅動，以此驗證天線支撐機構能夠滿足機構橫搖±90°、縱搖±90°的要求。裝配完成的支撐機構三維模型如圖12所示。

圖12 樣機三維模型Fig.12 Three dimensional model of prototype

3.2 實驗

基于設計完成的樣機結構模型進行天線支撐機構零部件的加工，并對加工好的零部件進行裝配，裝配后的樣機初始位形如圖13所示。

圖13 天線支撐機構樣機Fig.13 The prototype of the antenna support mechanism

對機構進行運動實驗，以檢驗機構的運動性能，使機構橫搖±90°、縱搖±90°，運動實驗結果如圖14所示。根據實驗結果可以判斷，該機構能夠滿足橫搖±90°、縱搖±90°的需求。

圖14 天線支撐機構運動實驗Fig.14 Motion experiments of the antenna support mechanism

4 結論

優化后機構橫搖和縱搖均能達到±90°的需求。實驗結果表明，該天線支撐機構能夠滿足橫搖±90°、縱搖±90°的技術需求。