提高思維品質，發展直觀想象

甘肅

直觀想象是六大數學核心素養之一，方法主要有以下幾種：

1.利用圖形描述數學問題：借助幾何直觀和空間想象可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索問題的思路，預測解答結果，這在數學學習中發揮著重要作用；

2.利用圖形理解數學問題：數學問題的抽象性使得理解數學問題變得困難，通過將數學問題以圖形的形式展現出來，形成直觀形象的變量關系，更有助于數學問題的理解；

3.利用圖形探索解決數學問題：代數問題的求解需要有嚴格的邏輯思路,若借助圖形輔助分析，將代數問題幾何化，就會使得邏輯推理變得更自然、更有活力；

4.構建數學問題的直觀模型：在數學實際問題解決過程中,建立問題的幾何模型，使得問題清晰化、結構化.

高中數學教學的一個主要手段就是利用圖象解決有關數學問題,不同的題型有不同的特點,能否應用圖形輔助解題,如何應用圖形輔助解題都是需要在實際情境中具體分析的.另外有些問題的解題思路就是以圖形為基礎的,故能借助圖形對常見的經典題型流暢解答是十分必要的，下面筆者就分類例談不同題型的解答策略.

1.數形結合，形象直觀

例1.已知方程sinx-lgx=0,求方程根的個數.

分析：方程sinx-lgx=0?sinx=lgx，即方程sinx-lgx=0根的個數等于函數y=sinx與y=lgx圖象的交點個數.

由圖可知函數y=lgx經過點(1,0)和A(10,1),通過觀察可知，兩圖象的交點個數是3個,即方程sinx-lgx=0根的個數是3個.

反思：此題主要考查方程的根與兩函數圖象交點，常見的解答手段都是作圖分析，但在作圖過程中要注意兩函數圖象的相對位置關系.

2.以靜制動，簡單有效

例2.(2014·全國卷Ⅱ理·16)設點M(x0,1),若在圓O:x2+y2=1上存在點N,使得∠OMN=45°，則x0的取值范圍是________.

分析：此題要準確理解“存在”的含義.有兩個動點M和N.故需要將點M(x0,1)看成是直線y=1上的點,再來研究N.

(1)當點M在圓上,即M(0,1)時,存在點N(1,0),使得∠OMN=45°.

(2)當點M不在圓上時,過點M做圓的切線，切點為P(0,1),此時∠OMN的最大角為∠OMP.如圖1∠OM1P=45°,∠OM2P=45°.

①當點M在線段M1M2上時，∠OMP≥45°,故存在點N使得∠OMN=45°,如圖1；

②當點M在線段M1M2外時，∠OMP<45°,故不存在點N使得∠OMN=45°,如圖2.

圖1

圖2

綜上可得：x0∈[-1,1].

反思：此題主要考查平面解析幾何中圓的相關知識,借助圓的幾何圖形，將點M幾何化，從而能夠更清晰的呈現變量之間的關系，這也是解析幾何的常用方法.

3.洛必達輔助作圖，高效引領思維

分析：y=ax+a,x<0關于原點對稱的函數為：y=ax-a,x>0.由于f(x)圖象上有且僅有兩對點關于原點對稱，所以y=ax-a,x>0的圖象與y=xlnx,x>0的圖象有且僅有兩個交點.

所以h(x)的圖象為圖3或圖4.

圖3

圖4

圖象到底是圖3還是圖4，具體分析要看當x→0時，xlnx的極限值.

h(x)=xlnx在x=1處的切線方程為：y=x-1,故有：

當a=1時，y=a(x-1)圖象與y=xlnx的圖象相切；

當a>1時，y=a(x-1)圖象與y=xlnx的圖象有兩個交點，如圖5；

當a<1時，y=a(x-1)圖象與y=xlnx的圖象也有兩個交點，如圖6.

圖5

圖6

綜上可得：a∈(0,1)∪(1,+∞).

反思：此題是應用洛必達法則輔助作圖的經典例題,洛必達法則能幫助確定函數圖象,在此例題中,根據函數的單調性是無法確定相對準確的函數圖象的，只有借助洛必達法則才可以確定.

4.多交點問題注意臨界狀態

例4.已知f(x)=x2-lnx與g(x)=ax的圖象恒有兩個交點,求實數a的取值范圍.

分析：重點研究y=f(x)與y=g(x)圖象只有一個交點的情況,再由此擴展即可.

即當a=1時，兩函數圖象只有一個交點，如圖7；當a>1時，兩函數圖象有兩個交點，如圖8.

圖7

圖8

綜上可知：a∈(1,+∞).

反思：解決恒成立問題的常用手段是分離參數法,但是有些恒成立問題利用圖象解答更簡單明了,能起到事半功倍的效果，特別是涉及多交點的問題,利用兩函數圖象相切的臨界情況解題能起到畫龍點睛的效果.

5.觀察結構，類比聯想

例5.定義在[1,+∞)上的函數f(x)滿足：(1)f(2x)=2f(x)；(2)當2≤x≤4時，f(x)=1-|x-3|.則g(x)=f(x)-2在區間[1,28]上的零點個數為________.

分析：f(x)=1-|x-3|在區間[2,4]上是確定的函數,而f(x)在[1,+∞)上滿足f(2x)=2f(x),對其進行伸縮變換，從而得到f(x)在[1,+∞)上的圖象,根據圖象可以確定y=g(x)在區間[1,28]上的零點個數.

解題的關鍵是理解伸縮變換的特點及伸縮的方向,由f(2x)=2f(x)可以得到：

先畫出y=f(x)在區間[2,4]的圖象，如圖9，利用(1)、(2)的變換方式將f(x)分別向左、右作伸縮變換可得y=f(x)在區間[1,28]的圖象，如圖10.

圖9

圖10

所以y=g(x)在區間[1,28]上的零點個數為y=f(x)的圖象與直線y=2的交點個數,由圖可知y=g(x)在區間[1,28]上的零點個數為4個.

反思：此題的關鍵是從幾何的角度理解f(2x)=2f(x),結合周期性的特點及圖象伸縮變換的特點，把代數式通過圖象展現出來.

6.熟練三次函數的圖象,從圖形中發現問題解決方案

例6.已知函數f(x)=ax3-3x2,若函數g(x)=f(x)+f′(x),x∈[0,2]在x=0處取得最大值.求實數a的取值范圍.

分析：已知f(x)=ax3-3x2,則f′(x)=3ax2-6x,即g(x)=ax3-3x2+3ax2-6x，所以g′(x)=3ax2-6x+6ax-6,要利用y=g(x)在x=0處取得最大值，就需要判斷g(x)的單調區間I(特別是遞減區間)，進一步判斷區間I與區間[0,2]的關系，從而得出結論.

然而求解y=g′(x)的零點需要求3ax2-6x+6ax-6=0的根，比較復雜，因此這種純代數式的解答思路是走不通的，需要借助三次函數的圖象特點分析y=g(x)的圖象在x=0處的特點.

借圖分析，理清思路：

(1)當a=0時,g(x)=-3x2-6x在區間[0,2]上單調遞減,有g(x)max=g(0)=0,滿足題意，故a=0成立.

(2)當a≠0時,g(x)=ax3-3x2+3ax2-6x=ax2(x+3)-3x(x+2),g(0)=0,g′(0)=-6,即y=g(x)的圖象過點(0,0),且y=g(x)在(0,0)處的切線函數單調遞減,因此y=g(x)的圖象大致為：

反思：三次函數是很重要的一類函數,根據三次項系數的正負畫出函數圖象的示意圖,進而解決相關問題.