例析圓題中的“安全隱患”

黑龍江

圓是高中數學的重要組成部分，同時也是高考的高頻考點，但在學習本部分內容時，常常會因忽視“安全隱患”而導致解題的失誤.現舉例加以辨析，以期能對大家解題能力的提升有所幫助.

安全隱患一：忽視必備前提

【例1】若圓C1:x2+y2=1和圓C2:x2+y2-6x-8y-k=0沒有公共點，則實數k的取值范圍是

( )

A.(-9,11)

B.(-25,-9)

C.(-∞,-9)∪(11,+∞)

D.(-25,-9)∪(11,+∞)

辨析：方程x2+y2+Dx+Ey+F=0能表示圓的前提條件是D2+E2-4F>0，因此若方程x2+y2-6x-8y-k=0能表示圓，則必有(-6)2+(-8)2+4k>0，即k>-25.故選D.

點評：忽視方程x2+y2-6x-8y-k=0能表示圓的必備條件是解此題最大的“隱患”.當然，本題也可借助圓心距與半徑的關系：d>r1+r2或0≤d<|r1-r2|來處理.

安全隱患二：遺漏特殊情形

( )

A.相切 B.相交

C.相離 D.相切或相交

辨析:易知過定點M(1,1)的直線系方程k(x-1)+1-y=0僅不能表示與x軸垂直的直線x=1，而直線x=1恰恰就與圓C相切，因此直線l與圓C始終是相交的，不能相切.故選B.

點評:本題的“安全隱患”藏匿在“特殊情形”之中，不容易被挖掘到，當然該題也可利用圓心到直線的距離d與圓半徑r的關系來判斷.

安全隱患三：受制隱含條件

( )

安全隱患四：囿于定式思維

【例4】已知圓C1:x2+y2=1和圓C2:(x-3)2+(y-4)2=4，直線l:3x+4y-11=0，則下列說法正確的是

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A.l為兩圓的公共弦所在的直線

B.l為兩圓的連心線

C.l為兩圓的一條公切線

D.l上任一點引兩圓的公切線長度相等

錯解:將圓C1和C2的方程作差得(x2+y2-1)-[(x-3)2+(y-4)2-4]=0，整理得3x+4y-11=0，即直線l的方程，設兩圓的交點為M1(x1,y1)，M2(x2,y2)，易知點M1,M2均在直線l上，故l為C1和C2的公共弦所在的直線.故選A.

點評:該題因思維定式而產生“安全隱患”，誤認為兩圓C1和C2作差得到的方程永遠是兩圓公共弦所在的直線方程，而不考慮這兩個圓是否相交這一重要前提，應引起注意.

安全隱患五：不是等價轉化

( )

點評：在進行平方運算時，最大的“隱患”在于忽視了“等價性”，當然處理本題最好的方法是借助數形結合，可以成功繞過“危險地帶”.

安全隱患六：丟掉變量范圍

【例6】若圓C:x2+(y-a)2=1與拋物線P:x2=2y有公共點，則實數a的取值范圍是

( )

A.(-∞,1] B.[-1,1]

錯解:將x2=2y代入圓C的方程并消去x整理得y2+(2-2a)y+a2-1=0(*)，依題意有Δ=(2-2a)2-4(a2-1)≥0，解得a≤1.故選A.

安全隱患七：錯用圓系方程

【例7】經過圓C1：(x-1)2+(y-2)2=1和圓C2：x2+y2=4的交點，且和直線l：3x+4y-10=0相切的圓方程為

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A.x2+y2+10x+20y-44=0

B.x2+y2=4

C.x2+y2=4或x2+y2+10x+20y-44=0

D.非上述答案

錯解:設所求圓的方程為C:(x-1)2+(y-2)2-1+λ(x2+y2-4)=0(λ≠-1),

辨析:本題錯在所設的圓系方程(x-1)2+(y-2)2-1+λ(x2+y2-4)=0不能表示圓x2+y2=4，而圓x2+y2=4恰好也滿足條件.

點評:利用曲線系方程解題往往能給我們帶來方便，但有時也可能會因忽視限制條件而產生“安全隱患”，解題時要做到揚長避短.

安全隱患八：方法選擇不當

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C.4 D.2或4

綜合(1)和(2)可知選D.

點評：上述解題的“隱患”在于忽視了用判別式法解決某些二次曲線的交點問題是失效的！到底應采用怎樣的方法還需依據題目的特點，具體問題具體分析.