巧用函數(shù)單調(diào)性，妙解各類數(shù)學(xué)題

江蘇

函數(shù)單調(diào)性是函數(shù)的基本性質(zhì)之一，在很多相關(guān)的知識中都有非常廣泛的應(yīng)用.很多看似復(fù)雜或是無法下手的問題，通過分析，其實就是函數(shù)的單調(diào)性問題，透過函數(shù)的單調(diào)性，抓住實質(zhì)，可以獲得很巧妙或很簡單的解答方法.

1.比較大小

( )

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>a>cD.c>b>a

當00，即函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，1)上是單調(diào)遞增函數(shù)，

【點評】利用單調(diào)性可以比較函數(shù)值的大小，即增函數(shù)的函數(shù)值隨著自變量的增大而增大，減函數(shù)的函數(shù)值隨著自變量的增大反而減?。煌瑫r利用函數(shù)單調(diào)性比較大小應(yīng)注意將自變量放在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)加以分析判斷.

【變式訓(xùn)練1】(2017·天津卷理·6)已知奇函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1)，b=g(20.8)，c=g(3)，則a，b，c的大小關(guān)系為

( )

A.a

C.b

2.確定參數(shù)的取值范圍

所以f(x)為R上的單調(diào)遞增函數(shù).

那么由f(a-1)+f(2a2)≤0可得f(2a2)≤-f(a-1)=f(1-a)，

【點評】根據(jù)函數(shù)的解析式，通過函數(shù)奇偶性的定義判定f(x)是奇函數(shù)，又通過求導(dǎo)，結(jié)合基本不等式和導(dǎo)函數(shù)的符號確定f(x)是增函數(shù)，再將含參不等式進行轉(zhuǎn)化，從而求解相應(yīng)的不等式，最終確定參數(shù)的取值范圍.對于利用函數(shù)單調(diào)性求解參數(shù)的取值范圍的問題，要注意數(shù)形結(jié)合思想的運用，采用逆向思維.

【變式訓(xùn)練2】設(shè)函數(shù)f(x)在R上存在導(dǎo)數(shù)f′(x)，對于任意的x∈R，都有f(-x)+f(x)=x2，且在[0，+∞)上有f′(x)

( )

A.(-∞，-2]∪[2，+∞) B.[2，+∞)

C.[-1，1] D.[1，+∞)

3.求解代數(shù)式

綜上可得f(x)=f(-y)，所以x=-y，即x+y=0，所以(x+y)2019=0，故填0.

【點評】對于某些代數(shù)式的求值問題，若能根據(jù)問題的結(jié)構(gòu)特征，注重揭示內(nèi)在聯(lián)系，挖掘隱含條件，用運動、變化、相互聯(lián)系的函數(shù)觀點分析和處理變量之間的關(guān)系，利用函數(shù)的單調(diào)性巧妙地解決問題.

4.求解方程

例4.解方程：(3x+4)5+x5+4x+4=0.

【解析】原方程變形可得(3x+4)5+3x+4=-(x5+x)，

構(gòu)造函數(shù)f(t)=t5+t，可知函數(shù)f(t)=t5+t是R上的增函數(shù)，且為奇函數(shù)，

由原方程的變形可得f(3x+4)=-f(x)，

又由奇函數(shù)的性質(zhì)f(-x)=-f(x)，則有f(3x+4)=-f(x)=f(-x)，

結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得3x+4=-x，解得x=-1，所以原方程的解為x=-1.

【點評】利用函數(shù)單調(diào)性求解一些高次方程、超越方程時，關(guān)鍵是對原方程進行合理變形，構(gòu)造出相應(yīng)的函數(shù)，利用函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性以及函數(shù)的其他相關(guān)性質(zhì)加以轉(zhuǎn)化，通過低次方程或簡單方程的求解達到求解復(fù)雜方程的目的.

5.求解不等式

那么f(2x+1)+f(x)>6等價于g(2x+1)+g(x)>0，

【點評】利用單調(diào)性解不等式(組)就是利用函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性推出兩個變量的大小關(guān)系，然后求解相應(yīng)的不等式；要經(jīng)常注意變量的限制條件，即首先考慮使得給出解析式有意義的未知數(shù)的取值范圍.

6.確定最值

【解析】令x=y=0，可得f(0)=0，

再令y=-x，可得f(x)+f(-x)=f(0)=0，所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù)；

對于任意的x1，x2∈R，若x10，

則f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)<0，即f(x1)>f(x2)，

所以函數(shù)f(x)在R上為減函數(shù)，其在區(qū)間[-3，3]上也為減函數(shù)，

而f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=3f(1)=-2，所以f(-3)=-f(3)=2，

所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[-3，3]上的值域為[-2，2]，即函數(shù)f(x)在區(qū)間[-3，3]上的最大值為2，最小值為-2.

【點評】求解抽象函數(shù)在給定區(qū)間的最值問題，關(guān)鍵是根據(jù)抽象函數(shù)的特征確定其基本性質(zhì)，包括奇偶性與單調(diào)性等.這里利用函數(shù)單調(diào)性定義判斷抽象函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合相關(guān)條件進行合理轉(zhuǎn)化、判斷，別具一格，干凈利索.

7.其他方面的應(yīng)用

可知f′(x)=(x+1+m)ex-x-(m+1)=(x+1+m)·(ex-1)≥0在R上恒成立，

則當x≤0時，ex-1≤0，則有x+1+m≤0恒成立，解得m≤-1；

當x>0時，ex-1>0，則有x+1+m≥0恒成立，解得m≥-1.

綜上分析可知m=-1，故填{-1}.

【點評】結(jié)合題目條件，利用函數(shù)的單調(diào)性，通過對題中自變量的不同情況進行分類討論，確定相應(yīng)的參數(shù)的取值情況，再綜合其共同問題，利用兩邊夾定理，確定參數(shù)取值的公共部分，從而得以快捷破解.

【變式訓(xùn)練7】已知函數(shù)f(x)是定義在R上的單調(diào)函數(shù)，且滿足f[f(x)-ex]=e+1(e為自然對數(shù)的底數(shù))，則函數(shù)f(x)的解析式是________.

函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用在很多場合都有涉及，尤其在數(shù)學(xué)解題中有著廣泛的應(yīng)用.利用函數(shù)的單調(diào)性可以解決很多數(shù)學(xué)問題.特別是有些數(shù)學(xué)問題，貌似與函數(shù)單調(diào)性沒有太大聯(lián)系，通過理清題目中的已知條件，挖掘函數(shù)的結(jié)構(gòu)特點，再利用函數(shù)單調(diào)性，就能迅速打破思維僵局，獲得有效解決.

【變式訓(xùn)練參考答案】

1.C【解析】由于奇函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，所以當x>0時，f(x)>0，從而g(x)=xf(x)是R上的偶函數(shù)，且在(0，+∞)上是增函數(shù)，因為0<20.8<21=2=log24

則有t=log16x=1，解得x=16，所以原方程的解為x=16.

由f(m+4)-f(1-2m)>0可得f(m+4)>f(1-2m)，

所以原不等式的解集為{m|-1