改進的粒子群優化算法優化分數階PID控制器參數

金滔 董秀成 李亦寧 任磊 范佩佩

摘 要：為了提高分數階比例積分微分（FOPID）控制器的控制效果，針對FOPID控制器參數整定的范圍廣、復雜性高等特點，提出改進的粒子群優化（PSO）算法優化FOPID控制器參數的方法。該算法對PSO中慣權重系數的上下限設定范圍并隨迭代次數以伽瑪函數方式非線性下降，同時粒子的慣性權重系數和學習因子根據粒子的適應度值大小動態調整，使粒子保持合理運動慣性和學習能力，提高粒子的自適應能力。仿真實驗表明，改進的PSO算法優化FOPID控制器的參數較標準PSO算法具有收斂速度快和收斂精度高等優點，使FOPID控制器得到較優的綜合性能。

關鍵詞：分數階比例積分微分（FOPID）控制器;粒子群優化（PSO）;慣性權重系數;參數優化;自適應

中圖分類號： TP273

文獻標志碼：A

文章編號：1001-9081（2019）03-0796-06

Abstract： Aiming at poor control effect of Fractional Order Proportional-Integral-Derivative （FOPID） controller and the characteristics of wide range and high complexity of parameter tuning for FOPID controller， an improved Particle Swarm Optimization （PSO） method was proposed to optimize the parameters of FOPID controller. In the proposed algorithm， the upper and lower limits of inertial weight coefficients in PSO were defined and decreased nonlinearly with the iteration times in form of Gamma function， meanwhile， the inertia weight coefficients and learning factors of particles were dynamically adjusted according to the fitness value of particles， making the particles keep reasonable motion inertia and learning ability， and improving self-adaptive ability of the particles. Simulation experiments show that the improved PSO algorithm has faster convergence rate and higher convergence accuracy than the standard PSO algorithm in optimizing the parameters of FOPID controller， which makes the FOPID controller obtain better comprehensive performance.

Key words： Fractional Order PID （FOPID） controller; Particle Swarm Optimization （PSO）; inertial weight coefficient; parameter optimization; self-adaption

0 引言

分數階比例積分微分（Fractional Order Proportional-Integral-Derivative， FOPID）控制器首先由Podlubny[1]提出，是傳統比例積分微分（Proportional-Integral-Derivative， PID）控制器使用分數演算的一種推廣。與傳統的PID控制器相比，FOPID控制器中積分次數和微分次數不是整數，控制器參數的維度和范圍變大，為實現復雜的控制性能提供更大的靈活性。分數階控制算法中附加的積分階和微分階數為提高系統的魯棒性、穩定性和暫態性能提供了更多的可能性。在控制領域，PID控制無疑是工業應用中應用最廣泛的控制算法。因此，研究分數階PIDFOPID控制器具有重要的現實意義。

與傳統的PID控制相比，分數階PIDFOPID控制器在許多科學和工程領域的理論和應用研究顯示出了許多優點。然而，由于增加兩個附加的參數，使得分數階PIDFOPID控制器的參數整定變得更加復雜。目前分數階PIDFOPID參數整定的方法有優化方法、主導極點法[2]、幅度裕量與相位裕量法[3]。隨著智能優化算法的興起和廣泛應用以及計算機技術的快速發展，越來越多的優化方法應用在分數階PIDFOPID參數整定中。李新波等[4]使用RBF（Radial Basis Function）神經網絡建模得到的Jacobain信息來整定分數階PIDFOPID控制器中的參數并應用在壓電疊堆控制中。Zhang等[5]將FOPID控制器參數整定問題轉化為一個非凸優化問題，引入一種新的元啟發式方法——狀態轉移算法（State Transition Algorithm， STA）來選擇最優的FOPID控制器參數。張欣等[6]采用量子粒子群（Quantum Particle Swarm Optimization， QPSO）優化算法優化分數階PIDFOPID控制器參數，融合了量子計算的方法和粒子群算法的思想，使得算法具有更強的全局尋優能力，克服了粒子群算法早熟收斂的缺點。Aghababa[7]在粒子群優化算法的原速度更新公式中加入自適應加速器參數，提高優化FOPID控制器參數的速度。Das等[8]使用線性二次型調節器（Linear Quadratic Regulator， LQR）優化分數階PIDFOPID控制器。高嵩等[9]提出一種按適應度大小淘汰部分個體的改進PSO（Partiele Swarm Optimization）優化分數階PIDFOPID。騰志軍等[10]對PSO算法中的學習因子引入動態加速因子，提高算法全局搜索能力，使得算法能以更快的速度搜索到全局最優解。文獻[11]采用自適應慣性權值調節的方式對粒子群優化算法進行改進，并應用在磁懸浮系統中的模糊控制系統的量化因子的參數優化上，最終獲得較好的控制效果。Liu等[12]針對永磁同步電機的關鍵參數估計問題，提出一種帶學習策略的動態粒子群算法，同時設計一種具有可變探測矢量的運動修正方程，有效地更新粒子，使群體能夠以較大的概率覆蓋大范圍的搜索空間，從而提高了全局搜索能力。

為應對分數階PIDFOPID參數整定的復雜性和不確定性，本文提出改進的粒子群優化分數階PIDFOPID參數的方法，對粒子群算法的慣性權重系數和學習因子進行改進，分別設置慣性權重系數的最大值和最小值的范圍，并且慣性權重系數的最大值和最小值的范圍隨算法迭代次數以伽瑪函數方式非線性下降，同時每個粒子的慣性權重系數和學習因子依據該粒子的適應度值進行動態調整，以此實現提高算法的收斂速度和收斂精度的目的。

1 分數階控制系統數學基礎

1.1 分數階微積分定義

整數階微積分的階次均為1，而分數階中積分階次和微分階次為任意正實數。分數階的定義[13]有Caputo定義、Cauchy定義、Riemann-Liouville定義和Grunwald-Letnikov定義，其中Riemann-Liouville定義是最常用的分數階定義。對任意實數m-1<α

1.2 Oustaloup近似方法

1.3 分數階PIDFOPID控制器

分數階PIDFOPID控制器相對于整數階PID而言引入兩個新的系數：微分階次μ和積分階次λ，使得控制器的可調參數由PID控制器的3個參數增加到分數階PIDFOPID控制的5個參數。控制器參數維度的增加，控制參數可調范圍更廣，控制模型更為精確，對被控對象的控制更加地靈活方便，從而使被控對象可獲得更好的動態和靜態特性，以滿足復雜系統的各項性能指標。

分數階PIDFOPID控制器的系統模型如圖1所示，其中：r（t）為系統輸入，e（t）為控制器輸入，u（t）為控制器輸出，G1（s）為被控對象，y（t）為系統輸出。

2 標準PSO算法及改進

2.1 算法原理

2.2 慣性權重系數的改進

PSO算法迭代中慣性權重系數w是最重要的參數，影響算法的收斂速度和收斂精度，因而慣性權重系數的取值至關重要[16]。慣性權重系數w使得微粒迭代過程中保持運動的慣性，通過調整慣性權重系數w可以改變PSO算法的空間搜索能力。慣性權重系數w越大，PSO全局搜索能力提高，有效避免陷入局部最優;當w較小時，全局收斂速度下降，但可以提高PSO的收斂精度。標準PSO算法中慣性權重系數w是按迭代次數的增加依次線性減小，其變化過程按式（11）進行：

標準PSO算法中慣性權重的取值在一定程度上滿足算法迭代要求：在迭代的開始階段為保證種群搜索空間的拓展能力，需要粒子保持較高的運動慣性，隨迭代次數增加粒子運動慣性下降，相應地提高算法的收斂精度。但是PSO算法在實際的迭代過程中其收斂穩定時的迭代次數要遠小于預先設置的最大迭代次數，即算法優化目標（適應度值）趨于穩定的速度要遠大于慣性權重系數下降的速度，在算法迭代的后期慣性權重系數的變化對算法收斂的快速性和精確性沒有實質性的影響。同時，在迭代過程中對所有的粒子使用相同的慣性權重系數不利于提高算法的收斂速度和收斂精度，對于不同適應度大小的粒子，其運動慣性應有所區別。

慣性權重系數w的上下限按伽瑪函數逐漸減小。而對于單個粒子的慣性權重系數wi按粒子的適應度大小進行動態調整，粒子的適應度越大，表明粒子處于較優的位置，應降低慣性權重系數w，保證粒子的收斂精度;而粒子的適應度越小，表明粒子遠離較優位置，為提高粒子的收斂速度，此時應增大粒子的慣性權重系數w。將所有粒子按其適應度值從小到大的順序排列，粒子i的適應度排列序號為ti（i=1，2，…，n，n為種群規模），則粒子i對應的慣性權重系數wi排由式（14）計算得到。

從式（14）可知粒子的適應度越高，其相應的慣性權重系數w越小;粒子的適應度越低，其慣性權重系數w越大，慣性系數的動態取值使粒子具有合適的運動慣性。

慣性系數權重改進后具有如下優勢：1）采用伽瑪函數使慣性權重系數的最大值和最小值按迭代次數非線性降低，在迭代次數較低時具有較快的下降速度，隨迭代次數的增加其下降速度逐漸降低。使得算法前期需要保持較大的運動慣性，提高整個種群的空間拓展能力，算法后期降低粒子的運動慣性，提高算法的收斂精度。該變化趨勢與PSO算法適應度值得變化趨勢大致相同，使得算法可以在最短的時間內收斂趨于穩定。2）單個粒子的慣性權重系數按其適應度的大小動態取值，粒子的適應度越高，慣性權重系數w越小;粒子的適應度越低，慣性權重系數w越大。使得粒子保持較為合理的運動慣性，提高種群的進化速度和進化精度。

2.3 學習因子的改進

學習因子c1越大，粒子i靠近其個體最優位置pbesti的能力加強，即粒子加強對本身的思考，自身認知能力提高，粒子的迭代行為表現得越發獨立，在搜索空間上分散現象就越明顯，同時PSO算法迭代進化過程變得越慢，迭代次數增加，容易陷入局部最優。學習因子c2越大，粒子i靠近種群最優位置gbest的能力加強，社會意識能力加強，種群中粒子之間信息共享的力度加強，迭代中粒子間的差異就越小，在搜索空間上聚集現象越明顯，PSO算法進化速度越快，迭代次數減小，容易越過全局最優位置[18]。

學習因子c1、c2影響著粒子對自身的認知能力和社會的認知能力，c1、c2的合理取值對PSO算法進化速度和收斂精度的提高具有重要的作用。標準PSO中學習因子c1、c2的取值為固定值，不具有自適應調整的能力。本文對學習因子進行如下改進（簡稱改進PSO2）：在改進PSO1方法的基礎之上，對學習因子c1、c2按照粒子的適應度大小進行動態調整。粒子的適應度越大，說明粒子本身為處于較優的位置，此時粒子應該加強對自身的認知能力，即增大學習因子c1;而粒子的適應度越小，表明粒子處于較劣的位置，此時粒子應加強對社會的認知能力，即增大學習因子c2。學習因子c1和c2的值由式（15）、（16）確定：

對學習因子改進后具有如下兩方面的優勢：一方面有利于粒子根據自身的適應度增加或降低粒子向社會和自身的學習能力，提高粒子本身在整個群體中的適應能力;另一方面學習因子的動態調整可以有效地避免種群陷入局部最優或克服算法早熟收斂等缺點，使得整個種群向更優的方向進化，便于得到更優的解。

3 改進的PSO優化分數階PIDFOPID控制器參數

3.1 優化參數及優化目標

PSO算法優化分數階PID控制器的參數包含比例系數kp、積分系數ki、微分系數kd、積分階次λ、微分階次μ。將kp、ki、kd、λ、 μ、作為粒子的輸入，即粒子參數空間的維度為5。PSO算法的參數優化是給定優化目標函數并在目標空間中搜索出滿足最優目標參數的過程。

分數階PIDFOPID控制器的性能指標包含調節時間、超調量、穩態誤差等。以時間和誤差絕對值的積分作為優化目標，可使得控制器具有較好的動態性能。以系統輸出的最大值作為優化目標可以有效防止系統的超調。因而所得的優化目標為式（17）：

3.2 改進PSO算法的優化步驟

改進PSO算法中慣性權重系數和學習因子（即改進PSO2）后優化分數階PIDFOPID的流程如圖3所示。改進PSO1的算法在改進PSO2步驟中省略第7）步，改進PSO2具體步驟如下。

1）初始化粒子群參數。最大迭代次數kmax、學習因子c1的最大值c1max和最小值c1min、學習因子c2的最大值c2max和最小值c2min、慣性權重系數最大值的范圍[wmaxdown，wmaxup]和最小值的范圍[wmindown，wminup]、種群規模n、粒子速度的范圍[vmin，vmax]、粒子的隨機初始速度和初始位置。

2）計算粒子適應度值：利用粒子的位置（優化參數）對控制系統進行階躍響應，根據優化目標（式（17））計算每個粒子的適應度值Ji。

3）更新個體最優位置：粒子i當前的適應度值與其個體最優適應度值pbesti比較，如果較好，則將當前適應度值作為個體最優值，并保存該位置。

4）更新種群最優位置：粒子i當前的適應度值與種群最優適應度值gbest比較，如果較優，則將當前適應度值作為種群最優值，并保存該位置。

5）計算慣性權重系數的最大值和最小值：wkmax、wkmin根據式（12）、（13）計算。

6）計算粒子慣性權重系數：對種群中所有粒子的適應度值從小到大進行排序，然后根據式（14）計算出粒子i的慣性權重系數wi。

7）計算粒子學習因子：粒子i的學習因子ci1、ci2根據式（15）、（16）計算。

8）更新粒子速度和位置：vk+1id、xk+1id根據迭代式（8）和（9）計算。

9）粒子速度約束：由式（10）確定。

10）迭代是否結束：如果到達最大迭代次數kmax則退出;否則返回第2）步繼續迭代。

4 仿真結果與分析

為驗證改進的PSO算法的對分數階PIDFOPID控制器的控制效果，選取典型的二階系統作為被控對象，其傳遞函數為：

從表1中可知：改進PSO2算法平均收斂的迭代次數為11次，相比于其他兩種算法具有較快的收斂速度。改進PSO2算法優化分數階控制器參數后，其平均超調量為0.0487，平均調節時間為0.7899s，平均穩態誤差為-0.00065。對比其他兩種算法，改進PSO2的綜合性能最優。

從標準PSO、改進PSO1和改進PSO2三種不同的算法中分別選擇一組優化的分數階PIDFOPID控制器的參數，如表2所示，且這三組參數的優化過程如圖4所示。

如圖4所示，其中標準PSO優化算法中優化目標在第34代時趨于穩定，改進PSO1優化算法在第22代搜索到最優目標，改進PSO2優化算法優化的速度最快，迭代到第10代算法就收斂穩定。

選出的三種優化參數值在單位階躍輸入下，其控制效果如圖5所示。從圖5中可知，標準PSO的階躍響應較快，但其超調也較大;改進PSO1響應較慢，超調量比標準PSO階躍響應的要小;改進PSO2從響應速度和超調量這兩個指標綜合來比較其效果優于標準PSO和改進PSO1。

在1.2s到1.4s的時間內人為施加-0.4的擾動，三種算法下優化參數的控制器的抗擾動曲線如圖6所示，圖7為抗擾動過程的局部放大圖。

從圖6和圖7中可知，標準PSO算法優化的參數在擾動后波動最大;改進PSO1波動最小，但調節時間相對較長;改進PSO2對干擾的波動不大，調節過程快且相對平穩，具有更好的抗干擾性能。

5 結語

本文針對控制領域中分數階PIDFOPID控制器參數自整定的問題，利用PSO智能優化算法，提出兩種基于改進的PSO算法整定分數階PIDFOPID控制器參數的方法。第一種是對慣性權重系數的改進：通過對慣性權重系數的最大值和最小值設置上下限范圍，并在其范圍內隨迭代次數按伽瑪函數非線性遞減，單個粒子的慣性權重系數根據其適應度的大小取值，使得適應度大的粒子具有較小的運動慣性，保證其收斂精度;適應度小的粒子具有較大的運動慣性，提高其收斂速度。第二種是在改進PSO1的基礎之上對學習因子也進行改進：依據粒子的適應度大小動態調整學習因子，自適應增加或降低粒子對自身的認知能力和對社會的認知能力。對比仿真實驗表明，改進的PSO2算法優化參數具有收斂速度快、收斂精度高和抗干擾能力強等優點，采用改進的PSO2算法整定的分數階PIDFOPID控制器參數在超調量、穩態誤差、調節時間等方面具有較優的性能指標。

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