固體推進劑粘彈性泊松比應變率-溫度等效關系

呂 軒，申志彬，崔輝如

(國防科技大學 空天科學學院，長沙 410073)

0 引言

固體推進劑的泊松比作為藥柱結構完整性分析時的重要輸入參數[1]，其微小的變化將會對分析結果帶來嚴重的影響[2-3]。由于推進劑的粘彈特性，其泊松比實際上是一個與時間、溫度、加載速率密切相關的粘彈性材料參數[4-8]。然而，因推進劑模量小、易變性，受限于測試手段，行業內一直將推進劑的泊松比簡化處理為彈性泊松比。另外，點火增壓工況下的藥柱結構完整性是發動機設計者和使用者關注的重點之一。因此，準確地測量出固體推進劑在點火增壓工況下的粘彈性泊松比就顯得至關重要。

關于泊松比的測量，何鐵山等[9]利用圓管發動機法測量了兩種不同內外徑比的圓管發動機藥柱在固化降溫后內孔的最大徑向變形量，以變形量結合有限元計算程序，得出了固化降溫后不同溫度下的泊松比。鄭健等[10]通過設計蠕變試驗獲得推進劑材料的橫向應變，結合推進劑材料的松弛模量獲得材料的泊松比與時間的變化規律。潘兵[11]和申志彬[12]等首次將數字圖像相關(DIC)方法用于推進劑泊松比的測量，研制了高精度泊松比測量系統，并利用松弛法得到了推進劑的時變泊松比。崔輝如等[13]通過DIC方法和松弛試驗研究了溫度、縱向應變水平、預緊力以及貯存時間對推進劑泊松比的影響，并基于時間-溫度等效原理建立了某參考溫度下泊松比的時間主曲線。但是對于點火增壓過程，發動機藥柱處于三向受壓狀態，由于推進劑的近似不可壓縮特性，藥柱環向承受拉應變，受力狀態與推進劑試樣的單向定速加載試驗非常接近。目前還未有學者基于DIC方法研究單向定速拉伸條件下測量推進劑粘彈性泊松比的試驗方法。

針對固體發動機點火增壓工況下推進劑的受力特點，本文基于DIC方法設計可測量推進劑粘彈性泊松比的單向定速拉伸試驗，研究溫度和拉伸速率對推進劑粘彈性泊松比的影響規律，以建立推進劑泊松比的應變率-溫度等效關系，并擬合得到泊松比應變率主曲線。

1 定速拉伸法測泊松比原理

針對固體發動機點火增壓工況下推進劑的受力特點，設計定速拉伸法測量推進劑的粘彈性泊松比，研究泊松比隨溫度和拉伸速率的變化規律。對于線彈性的材料，在對其進行拉伸時，其體積應變張量εkk會發生變化，具體表達式如下：

εkk=εx+εy+εz=(1-2ν)εx

(1)

式中εx為縱向應變；εy和εz為橫向應變；ν為泊松比。

根據彈性-粘彈性對應原理，易得式(1)在復域內的相應粘彈性表達式：

(2)

對式(2)進行Laplace逆變換，得到體應變張量εkk(t)的計算表達式：

(3)

對于定速拉伸的試驗，εx(t)是已知的量，εx(t)=Rt，其中R為試驗機的拉伸應變速率，為常數。對于式(3)，當εx(0)=0時，可將其簡化：

(4)

再將式(4)對時間求導，可得

(5)

由于推進劑試樣的橫截面為正方形，所以在拉伸過程中可認為y和z兩個方向的橫向應變是一樣的，即εy(t)=εz(t)。因此，式(5)可以簡化為

(6)

式(6)就是定速拉伸試驗中推進劑的粘彈性泊松比表達式。

2 推進劑泊松比的DIC測量裝置及方案

根據DIC測試原理，搭建了一套非接觸式的推進劑泊松比測量系統[12]，設計了一種合理可測推進劑泊松比的單向定速拉伸試驗方案，測試了不同溫度和拉伸速率下固體推進劑的粘彈性泊松比。

2.1 測量裝置

基于DIC的推進劑粘彈性泊松比測量系統如圖1所示。其中，高低溫試驗箱和微機控制電子式萬能試驗機主要提供溫度和加載環境，雙遠心鏡頭和高分辨率相機實現圖像采集，VIC-2D軟件進行數據處理。

圖1 測量裝置

鏡頭和相機是泊松比高精度測量試驗的關鍵設備。為了減小被測區域的離面位移誤差，采用XENOPLAN型雙遠心鏡頭，工作距離為195 mm，遠心深度為±4 mm。考慮到單向定速拉伸試驗時間較短，為了在試驗過程中采集到足夠多的圖像，要求相機采集圖像的幀率不能太低，而高速相機分辨率一般不高，難以處理出準確的變形。綜合考慮相機的采集頻率和分辨率，選用了美國FLIR相機代替原系統中瑞士Baumer公司的TXG50工業數字CCD相機[12]，該相機型號為BFS-U3-123S6，分辨率為4096×3000 pixels(1200萬像素)，最高幀率可達64 FPS。

2.2 測量方案

(1)環境加載

參考《GJB 770B—2005火藥試驗方法》中推進劑單向定速拉伸試驗標準，設計了可測量推進劑粘彈性泊松比的單向定速拉伸試驗方案：分別考慮60、40、25、-20、-30 ℃等5個溫度點；考慮2、100、200、500 mm/min不同拉伸速率，共進行20組試驗，每組共有3個平行試樣。

試驗件使用的是4組元啞鈴形試樣，試樣長度為120 mm，工程標距為(70±0.5) mm，厚度為(10±0.5) mm，寬度為(25±0.5) mm。

(2)圖像采集

將復合固體推進劑試樣安裝到試驗機的專用拉伸夾具上后，試驗機以0.1 mm/min的速度給試樣施加預緊，然后分別以2、100、200、500 mm/min 的速率將試樣拉伸至斷裂，相機自動采集該過程中推進劑試樣的圖像信息。

為保證相鄰圖像間的變形量及總變形接近，不同拉伸速率狀態下采用不同的圖像采集幀率和時長，具體設置參數見表1。

表1 定速拉伸法圖像采集參數

(3)數據處理

將推進劑試樣被測區域變形前后的圖像導入VIC-2D軟件中，在參考圖像上選擇一個特征點作為分析圖像時的參考匹配點，以這點為中心選擇一個大小合適的計算區域。為了將變形前后的圖像進行快速匹配，首先手動將變形后的前三張圖像與參考圖像進行匹配，接著設置匹配算法，進行位移場計算，擬合位移場函數，再利用位移與應變的關系獲得推進劑的橫縱兩個方向的應變，進一步可計算出推進劑每個時刻下的應變和相應的泊松比-時間曲線。

3 試驗結果與分析

利用DIC法和單向定速拉伸試驗，可測得不同溫度、拉伸速率下推進劑的粘彈性泊松比。文獻[12]詳細驗證了試驗結果的準確性與可靠性，本文不作贅述。

3.1 溫度對推進劑粘彈性泊松比影響分析

圖2給出了拉伸速率相同時，不同溫度條件下的推進劑粘彈性泊松比隨應變的變化曲線。可以看出，拉伸速率一致時，隨著溫度的升高，推進劑的粘彈性泊松比隨之增大。這是因為高溫下推進劑的模量較小，接近不可壓狀態。

(a)2 mm/min

(b)100 mm/min

(c)500 mm/min

由圖2(a)、(b)可以清楚地看出，溫度越低，初始泊松比越容易到達平衡泊松比。對于-30 ℃，推進劑試樣變形僅到2%左右，粘彈性泊松比就達到穩定，這可能與低溫下推進劑模量變大有關。

由圖2(c)可知，60 ℃下拉伸速率為500 mm/min的推進劑粘彈性泊松比介于0.480 3～0.495 4，平均泊松比為0.491 6。而在相同的拉伸速率下，-30 ℃的泊松比介于0.433 3～0.444 8，平均泊松比為0.441 9，與高溫時推進劑的泊松比相差較大。行業內對發動機進行藥柱結構完整性分析時，推進劑的泊松比取值一般在0.495～0.499 5之間，該范圍與高溫時推進劑泊松比實測值差別不大，但與低溫時的實測值差別較大。因此，在發動機結構完整性分析時，需要考慮藥柱的使用溫度，選擇合適的泊松比值。

3.2 拉伸速率對推進劑粘彈性泊松比影響分析

圖3給出了溫度條件一致時，不同拉伸速率下推進劑粘彈性泊松比隨應變的變化曲線。通過將相同溫度條件下不同拉伸速率的泊松比曲線進行對比可見，隨著拉伸速率的增大，推進劑的粘彈性泊松比增大。

(a)60 ℃

(b)25 ℃

(c)-30 ℃

由圖3(a)可知，溫度條件為60 ℃時，拉伸速率為2 mm/min的推進劑粘彈性泊松比介于0.365 3～0.456 5，平均泊松比為0.430 1，值得注意的是，該工況下的初始泊松比小于0.4。同時從圖3可看出，當拉伸速率較小時，泊松比增長快速，一開始初始泊松比較小，然后隨著推進劑變形的增大，逐漸接近平衡泊松比。當拉伸速率達到500 mm/min時，推進劑泊松比隨應變的增長不明顯，初始泊松比與平衡泊松比近似。由此可知，拉伸速率對推進劑泊松比的影響較大。對于發動機點火增壓工況，推進劑加載速率較快，應變率超過0.5 s-1(折算為拉伸速率約為2000 mm/min)，粘彈性泊松比趨于穩定，此時可將泊松比視為常數。

3.3 推進劑粘彈性泊松比的應變率-溫度等效關系

為滿足藥柱結構完整性分析時對不同應變率下推進劑泊松比的使用需求，參考抗拉強度、伸長率主曲線處理方法，將各拉伸速率對應的lgR按式(7)計算：

lgR=lgV-lgL0

(7)

式中R為應變速率的數值，min-1；L0為試樣初始工程標距數值，L0=70 mm；V為拉伸速率的數值， mm/min。

圖4為不同溫度下泊松比隨lgR變化的等溫曲線，可以看出推進劑的粘彈性泊松比存在應變率-溫度等效關系。以25 ℃下泊松比隨lgR的變化曲線為參考，將其他各個溫度下的泊松比曲線分別沿著x軸向左或向右移動。圖5為平移后的泊松比數據點，平移因子lgαT與溫度之間的關系可以用WLF方程表示：

(8)

圖4 不同溫度下泊松比隨lgR變化的等溫曲線

利用Prony級數將平移后的泊松比數據擬合為主曲線的形式，如圖6所示。在參考溫度Ts=278.15 K時，擬合得到WLF方程的系數：C1=3.157 7、C2=164.753 5。

圖5 平移后的泊松比數據點

圖6 25 ℃泊松比主曲線

4 結論

(1)在單向定速拉伸試驗中，隨著變形的增加，推進劑的泊松比單調遞增，這是因為隨著變形的增加，推進劑體積變形逐漸減小，泊松比增大，這與材料進入塑性狀態后，泊松比接近0.5原理相似。

(2)相同拉伸速率下，固體推進劑粘彈性泊松比隨著溫度的升高而增大，但是低溫下推進劑的泊松比更容易達到穩定狀態。這也說明當分析發動機點火增壓工況下藥柱的結構完整性時，溫度對推進劑泊松比的影響是不可忽略的。

(3)相同溫度條件下，推進劑泊松比隨著拉伸速率的增大而增大，并且拉伸速率越大，泊松比越趨近于某一常值，對于發動機點火增壓工況，因推進劑加載速率較快，此時可以將粘彈性泊松比視為一常數，但必須考慮藥柱的使用溫度，選擇合適的泊松比值。

(4)基于粘彈性材料的應變率-溫度等效原理，利用5組溫度條件下的泊松比的測量結果擬合得到了25 ℃時推進劑泊松比的應變率主曲線。